坐标系中的规律探索

房延华

探索型问题有助于我们在分析、推理、探索中提高数学思维能力和创新能力．下面以2007年的几道中考题为例，讲解一下与平面直角坐标系有关的探索型题目．

例1如图1，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横、纵坐标都为整数），其顺序按图中“→”方向排列，即（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…根据这个规律探索，可得第100个点的坐标为 ．

解析：观察图1中点的坐标的排列规律可知，当点的横坐标为偶数时，其排列顺序是按纵坐标由小到大的顺序排列；当点的横坐标为奇数时，其排列顺序是按纵坐标由大到小的顺序排列．再观察每一纵列，横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，横坐标为3的点有3个，…，横坐标为n的点有n个．

因1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 13 ＝ 91 ＜ 100 ＜ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 14 ＝ 105，故第100个点的横坐标应为14，而其纵坐标应为8，即第100个点的坐标为（14，8）．

点评：解本题的关键，是从图形中找出关于点的排列顺序和每列点的个数的规律．

例2如图2，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0绕O点按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为原来的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1绕O点按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2．如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）．

（1） 求点P6的坐标．

（2） 我们规定：把点Pn（xn，yn）（n ＝ 0，1，2，3，…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（xn，yn）称为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．

解析：（1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于Pn－1点到原点距离的2倍，故P6的坐标为（0，－ 26），即P6（0，－ 64）．

（2）由题意知，OP0旋转8次后回到x轴正半轴，在这8次旋转中，点Pn分别落在象限的角平分线上或x轴、y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn可分为三类情况：

①当n ＝ 8k或n ＝ 8k ＋ 4时（其中k为自然数），点Pn落在x轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（2n，0）．

②当n ＝ 8k ＋ 1或n ＝ 8k ＋ 3或n ＝ 8k ＋ 5或n ＝ 8k ＋ 7时（其中k为自然数），点Pn落在象限的角平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为

·2n，

·2n，即（2n － 1，2n － 1）．

③当n ＝ 8k ＋ 2或n ＝ 8k ＋ 6时（其中k为自然数），点Pn落在y轴上，此时，点Pn的绝对坐标为（0，2n）．

点评：本题寻找Pn点坐标规律时，要充分利用两个条件：①OPn长度为OPn － 1长度的2倍；②旋转角为45°．所以在做题时，首先要从题目中提炼有用的信息，这样再做题就容易多了．

例3实验与探究．

（1）在图3、图4、图5中，▱ABCD的顶点A、B、D的坐标已给出．图 3、图4、图5中的顶点C的坐标分别是，，．

（2）在图6中，▱ABCD的顶点A，B，D的坐标已给出，求顶点C的坐标（用含a、b、c、d、e、f的代数式表示）．

（3） 通过对图3～图6的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论▱ABCD处于平面直角坐标系中哪个位置，4个顶点的坐标之间都存在着某个不变的关系．如图6，当▱ABCD的顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）时，4个顶点的横坐标a、c、m、e之间的等量关系为；纵坐标b、d、n、f之间的等量关系为．（不必证明）

解析：（1）根据平行四边形的性质，可求出图3、图4、图5中的顶点C的坐标分别是（5，2），（e ＋ c，d），（c ＋ e － a，d）．

（2）如图7，分别过点A、B、C、D作x轴的垂线，垂足分别为A1、B1、C1、D1．分别过A、D作AE⊥BB1于点E，DF⊥CC1于点F．在▱ABCD中，CD ＝ BA，又因为BB1∥CC1，所以∠EBA ＝ ∠FCD．

因为∠BEA ＝ ∠CFD ＝ 90°，所以△BEA ≌ △CFD．

所以AE ＝ DF ＝ a － c，BE ＝ CF ＝ d － b．

设C点的坐标为（m，n）．由e － m ＝ a － c，得m ＝ e ＋ c － a．由n － f ＝ d － b，得 n ＝ f ＋ d － b．所以C点的坐标为（e ＋ c － a， f ＋ d － b）．

（3）由（1）、（2）易得4点坐标之间的关系为m ＋ a ＝ c ＋ e，n ＋ b ＝ d ＋ f，或表示为 m ＝ c ＋ e － a，n ＝ d ＋ f － b．Y