一类规律探索问题的多种解法

郭　萍

规律探索型问题是近年来各地中考热点问题之一，这类问题题型多，内容复杂，不易发现规律.现就其中一类具有特殊规律——增量为定值的探索问题举例分析，希望能对同学们有所帮助.

问题：如图1，某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个端点）有n（n>1）盆花，设这个花坛边上花盆的总数为S，请观察下列图形的规律：

按上述规律推断S与n的关系式是.

解法1：表格法.

刚进入七年级时就会遇到这类问题，通过观察可发现S与每边上的花盆数n的多少有关，利用表格分析很容易找到其规律.

所以，S与n的关系式是S=6n-6.

解法2：方程法.

经过七年级的学习，同学们已经熟悉了一元一次方程的解法，根据S的变化规律——增量为定值，S与n的关系一定为S是n的6倍再加上一个常数x，即S=6n+x，当n=2时，S=6，代入可得x=-6，所以S=6n-6.

解法3：函数法.

进入八年级后，同学们学习了一次函数相关知识，对于这类问题，可以利用一次函数来求解.

设S与n的关系为S=kn+b.

∵ n=2时，S=6，n=3时，S =12，

∴6=2k+b，

12=3k+b.解得k=6，

b=-6.

∴ S与n的关系式是S=6n-6.

解法4：数列法.

等同学们上了高中，学习了数列的有关知识后，还可以用等差数列的通项公式求解，这里略.

总之，在分析这类问题时，注意把握其变化的规律——增量是常量这一基本特点，利用归纳猜想、代值验证的数学思想求解，就会使问题显得简单.

[即学即练]

1. 观察数据1，，， ，，试猜想第6个数与第n（n为正整数）个数分别是，.（用含n的式子表示）

2. 用火柴按图2所示的方法搭三角形.

（1） 填写下表：

（2） 照这样的规律搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴？

（3） 如果有1 113根火柴，能不缺少也不剩余地搭出这样的三角形吗？若能，能搭几个？若不能，说说你的理由.L