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关注反比例函数与一次函数的综合题

2008-08-19

关键词:正比例综合题过点

张 雷

反比例函数是中考命题的主要考点,近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程(组)等综合编拟的解答题.其中,将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向.

例1已知正比例函数y = kx与反比例函数y = 的图象都过点A(m,1),求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标.

分析:由A点坐标满足y = 可求得m值,再将A点坐标代入y = kx可求得正比例函数解析式,联立方程组可求得另一交点坐标.

解:因y = 的图象过A(m,1),即1 = ,故m = 3,即A(3,1).将A(3,1)代入y = kx,得k = ,所以正比例函数解析式为y = x.

联立方程组,得y =

y =

x,解得x1 = 3,

y1 = 1或x2 =- 3,

y2 = - 1.

故另一交点坐标为(- 3,- 1).

点评:解此类题时,一般是先构造方程或方程组,再来解决问题.

例2如图1,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线.直线AB与双曲线的一个交点为C,CD垂直x轴于点D,OD = 2OB = 4OA = 4.求一次函数和反比例函数的解析式.

分析: 由已知三条线段之间的关系,可求得A、B、C三点的坐标,由此利用待定系数法求出函数解析式.

解:由已知OD = 2OB = 4OA = 4,得A(0,- 1)、B(- 2,0)、D(- 4,0).

设一次函数解析式为y = kx + b.点A、B在一次函数图象上,所以b = - 1,

- 2k + b = 0,即k = -

b = - 1.则一次函数解析式是y = -x - 1.

点C在一次函数图象上,当x = - 4时,y = 1,即C(- 4,1).

设反比例函数解析式为y = .点C在反比例函数图象上,则1 =,得m = - 4.故反比例函数解析式是y = - .

点评:反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件,这些几何图形的边长常常与某些点的坐标相关.这类题体现了在知识交汇处命题的特色.

例3如图2,反比例函数y = 的图象经过点A(- ,b),过点A作AB垂直x轴于点B,△AOB的面积为.

(1) 求k和b的值.

(2) 若一次函数y = ax + 1的图象经过点A,并且与x轴相交于点M,求AB ∶ OM的值.

分析:以面积为突破口,可求出A点纵坐标b和系数k,结合A点的双重特性(A点既在直线上,又在反比例函数图象上)求解相应问题.

解:(1)∵AB⊥BO,A点坐标为(- ,b),

∴ S△AOB = AB·BO = ,即b · | - | = .

∴ b = 2.

又点A在双曲线y = 上,

∴k = 2 × (- ) = - 2.

(2)∵点A在直线y = ax + 1上,

∴ 2 = - a + 1.

∴ a = - .

∴ y = - x + 1.

当y = 0时,x = .所以M点的坐标为(,0).

∴ AB ∶ OM = 2 ∶ .

点评:纵观近年来的中考试题,关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合,做题时常利用交点的双重特性来构造方程(组)解决问题.

例4Rt△ABC中,∠A = 90°,∠B = 60°,AC = ,AB = 1.将它放在直角坐标系中,使斜边BC在x轴上,直角顶点A在反比例函数y = 的图象上,求点C的坐标.

分析:通过画图可发现,点A的位置有2种情况(在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上),点B、C的位置也有2种情况(可能点B靠近原点,也可能点C靠近原点),解题时要注意利用反比例函数图象的对称性.

解:本题共有4种情况.

(1)如图3,过点A作AD⊥BC1于D,

∵ AB = 1,∠B = 60°,

∴ BD = ,AD = .

∴ 点A的纵坐标为.将其代入y = ,得x = 2,即OD = 2.

在Rt△ABC1中,DC1 = 2 -= .所以OC1 = ,即点C1的坐标为

,0.

根据双曲线的对称性,得点C3的坐标为

-,0.

(2)如图4,过点A作AE⊥BC2于E,则仿(1)可求得AE = ,OE = 2,C2E = .

所以OC2 = ,即点C2的坐标为

,0.

根据双曲线的对称性,得点C4的坐标为-

,0.

所以点C的坐标分别为:

,0、

,0、

-,0、-

,0.

点评:根据题意,进行分类,是解决本题的突破口.此题涉及与反比例函数相关的许多问题,能较好地展示同学们的思维过程和思维方式,考查同学们灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力,具有较好的选拔功能.

[即学即练]

1. 如图5,反比例函数y = - 与一次函数y = - x + 2的图象交于A、B两点.

(1) 求A、B两点的坐标.

(2) 求△AOB的面积.Y

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