浅谈几何概型的交互性

刘晓东

几何概型是新课程高中数学概率部分新增加的内容，其特点鲜明，令人赏心悦目,其强大的交互性则充分体现了数学的美,所以几何概型一出现便倍受广大师生的喜爱，同时也引起了高考命题专家的高度关注，本文仅对新课程中几何概型的交互性功能进行简单剖析.

根据几何概型的定义，我们不难发现，几何概型的问题主要分为三类，即一维空间问题、二维空间问题和三维空间问题，总是与长度、面积、体积等相关联.

1 几何概型与几何的交汇

几何概型原本就是建立在几何模型的基础上，所以它与几何问题有着密切的联系，无论是长度、面积还是体积，我们都能体会到几何概型的交互功能.

例1 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r

解 记事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，参看图1，这样线段OM长度(记作|OM|）的取值范围是[0，a]，只有当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，

所以P(A）=(r,a]的长度[0,a]的长度=a-ra.

这是典型的几何中的线段长度.对于几何长度，除了常见的线段长度，也可以是弧长、区间、角度、时间等等，所以在处理几何概型问题时，对长度的理解一定要准确，合理构建几何模型.

例2 如图2，以正方形ABCD的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣. 现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率.解 此类问题是典型的二维空间问题,这类题型中，试验全部结果的区域与构成事件A的区域，都直接由题中条件给出，,只要是正确计算花瓣的面积.从而易解.设飞镖落在花瓣内为事件A，设正方形边长为2r，则

P(A)=S花瓣S瑼BCD=12πr2×4-(2r)2(2r)2

=π-22

所以，飞镖落在花瓣内的概率为π-22.

例3 抛阶砖游戏：参与者将手上的“金币”抛落在离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的硬币刚巧落在任何一个阶砖的范围内(不压阶砖相连的线）获胜．当正方形阶砖的边长为5cm，金币直径为2.5 cm时，请你计算“金币”落在阶砖范围内的概率．(圆心落在正中间边长为2.5cm的正方形内，游戏获胜）

解 设A为“金币落在阶砖内”，

则P(A）=2.5×2.55×5=14．

这二个例题都是几何概型中的面积问题，很具有代表性，例2主要考虑面积的计算，而例3抛阶砖游戏，是几何概型的经典应用，问题的关键则是几何模型的构造，根据问题情境，合理构造模型，是几何概型的一个重要特征.

例4 如图4，在三棱锥内任取一点P，使其与底面ABC构成一个新的三棱锥，求新三棱锥体积不超过原体积一半的概率.

解 过三棱锥S-ABC的高SO的中点O1作平行于底面ABC的面A1B1C1，

则由题意易知，只要点P落在棱台A1B1C1—ABC的内部即可.

所以P(A)=V璖-ABC-V璖-A1B1C1V璖-ABC=1-(SO1SO)3

=78,

几何中的体积问题,一般来说背景较为清晰,只要准确理解题意,问题不难解决.

2 几何概型与代数的交汇

几何概型虽是以几何模型为基础,但是它与代数也有着很强的交互功能，特别是与不等式的交汇.其交汇点仍是长度、面积与体积，如何构造交汇点模型，成为解题的关键.

例5 函数f(x）＝x²－x－2，x∈[－5，5]，那么在区间[－5，5]上任取一点x0，求f(x0）≤0的概率.

解 由函数f(x）＝x²－x－2，x∈[－5，5]的图像可知使得f(x)≤0的x取值范围是-1≤x≤2.于是使f(x0）≤0的概率为：

P(A）=2-(-1)5-(-5)=310.

本题虽小，但很有特点，几何概型与二次函数巧妙结合，令人赏心悦目.

例6 把长度为a的线段在任意两点折断为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率.

解 取此线段为数轴，折断点的坐标为x,y，则三线段长分别是，x,y,a-x-y,且x>0,y>0,x+y2