高中代数核心思想“模式”的教学研究

王竹婷　曹一鸣

代数与几何相比没有可见的形象，显得枯燥乏味，从学生心理接受能力角度来说，在代数教学中引入适当的直观、注重利用贴近生活的形象思维是代数教学中的一项重要任务[1].需要在教学中使用模式，使得学生能够易于把握和理解更加抽象、深刻的思维对象[2].

在模式思想对代数教学的理论探讨基础上，为了获得第一手的资料，本文以北京某重点中学高一年级两个班的学生为研究对象，从实际、直观问题出发，描述学生的解题过程，与学生对话，追问他们的思维过程，通过问卷调查，探讨代数中模式这一思想的发生和发展过程，为高中的代数教学如何对“模式”这一核心思想进行教学提供参考、建议.

1 问卷设计

问卷共2道题，要求学生尽量详细地写出解题过程、思路、遇到的困难(包括解决的和未解决的)，利用课余时间完成，不严格限时，并记下所用的时间，自愿写出解题感想.这2道题在提问上，相对比较开放，不严格规定学生必须使用数学语言或表达形式，答案呈现方式也不作统一规定，给学生更大的思维空间，检测学生能否自觉地使用数学表达方式.

第一题改编自全美数学教师理事会官方网站（www.nctm.org）上的教学案例，是递归函数，写出函数表达式需要一定的技巧，可以用列表或图象的形式解决，对于能力较强的同学，也可以写出函数表达式.这种递归模式在我国目前高中代数教学有所涉及，在实际问题中却比比皆是.

假如你去某店打工，老板提出了如下要求：

第一天早晨，我付你100元薪水.当天晚上，你必须付我10元回报.第二天，我会付你前一天所挣钱的2倍，但你付我的回报必须是前一天回报的2倍.依此类推，你愿意为我工作1个月（30天）吗？

1．你将如何回答？为什么？

2．若老板刚开始付你1000元薪水，其余条件不变，你又将如何？为什么？

此题可由列表法、图象法、解析式法等多种途径解决.解析式采用了较多的数学符号和一些求解递归函数的技巧，其对第2问的有效解释显示了这种方法的优越性.另外，此题1、2问的设置，意在考察学生是否能清晰地认识到初始值的变化对结果的影响.

第二题所给出的数表包括了数字模式和视觉模式.从数字模式看，它是由从1开始的自然数列组成的.从视觉模式看，它是呈“之”字形的重复模式，每两行可看作一个循环节.这两种模式分开看都不难，但二者结合在一起，对学生来说具有挑战性.

以下给出的是一个数表的前20项，根据下图，回答问题.

1234

876 5

9 1011 12

1615 1413

171819 20

……

1．如何将这一数表继续写下去？

2．你能预知50、86、187、546都在什么位置上吗？

3．给定任何一个整数，如何预知它在其中的位置？解释你的策略.

此题设计了3个小问，是为了能使学生逐步深入思考，3问也体现了不同的抽象层次.提问方式较为开放，希望学生能尽可能开拓思路，采取多种方法.问卷不要求学生回答到某种程度，尽力而为就可.本文关注的是学生解答的过程，而不是最后的结果，也并不对学生做层次的划分和成绩的评定.

2 研究结果及分析

2.1 试图寻找关系式

问卷中体现了学生们都试图寻找一种简洁关系，或者说是特定的公式，可以将问题转化为一种定式.由于第一题在计算上十分繁琐，这种愿望就更加强烈，即使是那些没有找到这种关系而只用了单纯的列表计算的学生也并不表示他们没有这样的想法.相对第一题，第二题在计算量上要少很多，学生们反映比第一题简单.他们也没有如此强烈的愿望要将结果表示成一个或一组公式，对使用文字描述也比较满意.这说明了，学生意识到寻找问题情境中的模式，使用代数运算，可以帮助他们更好、更快捷地解决问题.

问卷中两个题目中的模式虽是学生们比较常见的，而又比较隐蔽，提问形式上对于中国学生也比较陌生.然而学生们还是比较喜欢这类问题的，根据观察，很多学生在交卷后会继续与其他学生讨论，有学生在最后留下解题感想时写到，“这两道题挺好玩的，至少比平时作业题有趣多了”.题目中的模式与学生们平日所学有密切的联系，所以是他们有能力解决的.在情境中经历发现模式、表征模式、应用模式的一系列过程也可以使得他们认识到代数不是枯燥的符号游戏，提高学习代数的兴趣.

2.2 适当的表征方式可以帮助发现模式

表征方式不仅可以将发现的模式表征出来，而且在表征过程中将未发现的模式挖掘出来.例如第一题，学生们并不是先认识到其中的增长模式才将它用列表的方式表征出来，而是在尝试计算几天的情况，列表之后才能对这一增长模式有清晰的认识.列表能有助于发现增长模式，在计算每一个数值时，通过反复迭代，对发现迭代模式会起到直接的启发作用.问卷调查中，有8份使用比例模式，都是在列表过程中发现的.另外，对于列表这种表征方式来说，操作上也是有差别的.有的问卷中将天数、当天的薪水、当天的回报、当天的收入几个量均详细列出了，这样计算方便，而且对几个量之间关系的把握都是有帮助的.而有的问卷只列出了天数和当天的收入，这样工作量也并不比都列出来小，而且因为当天的收入与天数的关系不是中学里学习的增长模式类型（线性增长、指数增长等），不易发现规律，造成了解决问题的困难.

对于迭代模式，学生在进行具体数值计算时也许会有所体验，但只有在将其表示成代数符号时，才能真正识别和使用这种模式.在符号表征中，对于符号意义的理解是特别重要的.递推公式中的a_n和a_n-1实质上是表示的任意（n>1,n∈N*）两项之间的关系，并不是两个特殊的项之间的关系，n可以看作自变量，a_n是它的函数.理解到这层意义后，才有可能反复利用递推公式，从而使用迭代模式.

2.3 多种方法体现思维的灵活性

多份问卷对第一题或第二题给出了不同的方法，这些方法体现出了答卷者思维的灵活性.21号问卷的学生认为第二题可以有多种方法，他自己想到了以4个元素为循环节和从列的角度看的方法，以及他还提到可以将偶数行的元素都往右移动一个格，从而组成的图形比较整齐.另外，他还提到第二题的问题是要求给定正整数求其在数表中的位置，其实利用得到的策略，还可以给定数表中的位置求将会出现的正整数.这种逆向思维同样是思维灵活性的表现之一.

3 模式思想指导下的代数教学

历史上，代数的发展经历了三个阶段[3]：(1)语言表述阶段，即用通常的语言来描述求解特定类型的问题；(2)缩记代数阶段，用相应词语的缩写字母表示未知数，当时代数学家关心的是使用符号表示具体的某个量，而不是一般的量；(3)符号代数阶段，开始用任意的字母表示已知量，将方程的一般解表示出来，代数作为工具来证明决定数值关系的规则.格劳斯认为代数的历史发展的这几个阶段可以看作是从方法性代数到结构性代数的进化，学生的代数学习同样需要经历类似的三个阶段，而且学生学习代数的两个主要问题，一是方法性的理解超过了结构性的理解，二是代数的结构性概念的理解存在很大困难.针对这样两个问题，在课堂教学中，首先要为代数的结构性概念理解创立一个坚实的基础，也就是要在方法性概念上花费更多的时间，学生需要有一定的经验积累才能从方法性概念转化为结构性概念，这样还可以使代数活动变的更易理解且有意义.其次，通过一系列活动促成学生从方法性概念到结构性概念的转换.

根据上述代数认知规律，在理论研究和实证研究的基础上，在模式思想指导下的代数教学过程可以呈现为下图的形式：

(1)模式的感知与模式的表征由于模式是隐含在现实情境和数学情境中的，在代数课堂上这一情境是由教师创设的.学生在对教师创设的情境有所了解后，需要先对其中的模式进行初步的感知，并伴随着对感知模式的初步表征.表征方式可以先是口头的、描述性的，进而随着感知的逐步深入可能是直观的图象和符号化的语言，教师应该鼓励学生采用多种表征方式.学生对模式的感知和表征并不是截然分开的，而是相互作用、相互促进的.因此，在教学过程中，也不能将二者截然分开.学生可以独立活动或在教师的引导下，一边感知模式，一边表征模式.这一过程必须充分发挥学生的主体作用，因为只有学生亲身感受、自主参与，才能形成对模式的感知和有效的表征，这是教师无法包办代替的.当然，也要注意发挥教师的主导作用，教师应适时地引导学生.这时，学生头脑中，模式的画面逐渐清晰起来，但还需要进行模式的抽象，使之不受情境的束缚，更具一般性.

(2) 模式的抽象

由于学生个体存在差异，因此对模式的感知也存在差异，并且同一模式可以通过不同的方式表征，这就需要揭示模式的本质属性.模式的本质是这个模式所固有的根本属性，不拘泥于其外在的表现形式，也不受最初情境的限制.这对于高中学生的思维水平来说，具有一定的难度，需要教师的引导，但不是直接地告诉学生，仍然要注意学生的主体作用与教师的主导作用相结合.然而，这里所说的模式的抽象，并不是要对某一种模式下一个定义，提倡的是在模式思想指导下的代数教学，不是教授某种模式，所以只需要使学生认识到代数内容中蕴涵的模式.这时，虽然经过了抽象，学生可能还停留在方法性认识上，这就需要对模式进行进一步的分析.

(3) 模式的分析

模式的分析是为了帮助学生更全面地认识模式，更深刻地理解模式，使学生从方法性认识上升到结构性认识.这一过程，首先需要帮助学生对前面两个过程进行反思总结，从中领悟蕴涵的数学思想方法，体会代数思维在其中的作用.其次，分析模式的适用条件和功能，为模式的应用打好基础.模式虽然经过抽象，具有一般性，但仍有其特定的适用范围，不同的模式具有不同的功能.例如，指数增长模式适用于描述增长速度逐渐增加的情境，而线性模式只能适用于增长速度不变的情境.不同模式或相近模式间的对比分析，也会对深入理解模式有所帮助.另外，使学生认识到模式的各种表征方式间的相互联系与各自的优势，也可以促进学生更灵活地掌握模式.通过分析模式，学生对模式的认识不再只停留在方法性上，而是将模式作为一个研究对象，从而上升到结构性的认识.

(4) 模式的应用

模式的应用是建立在前面3个过程的基础上的，并且有巩固教学效果、提升学生能力的作用，在教学中也是不可或缺的一环.学生在应用模式时，首先要进行模式的识别.能不能识别出情境中的模式，能不能使用最恰当的方式表征出模式，这就要看前面3个过程的教学效果如何.同时，学生在识别模式中，需要用到类比、化归、数形结合等多种数学思想方法，从而可以在这一过程中，培养代数思维能力.

最后，需要说明几点：(1)这一教学过程并不是唯一的、固定不变的，只是本研究的建议，根据具体的教学内容和学生的认知水平，不可按部就班，需要灵活处理；(2)教学过程可以结合多种教学方法，如中学常用教学方法——讲授、问答、读书指导等等；(3)这一过程提倡的是在模式思想指导下的代数教学，而不是教授某种模式，中国高中《标准》中，模式不是代数内容中的一部分，但是模式溶入在其中许多代数内容当中，教师不必舍弃课本中的内容，而只是需要在模式的思想下，将其稍加提炼；(4)提出的这一教学过程还比较笼统，每一部分还可以细分，但需要对学生的心理活动做进一步细致的研究.

参考文献

[1] 张奠宙、张广祥主编．中学代数研究[M]．北京：高等教育出版社，2006：2

[2] 张广祥、张奠宙．代数教学中的模式直观[J]．数学教育学报，Vol.15, No.1，1-4

[3] 陈昌平等译．[美]D.A.格劳斯主编.数学教与学研究手册[M]．上海：上海教育出版社，1999：4