APP下载

两类几何体求值问题的极限解法

2008-07-31张京林

中学数学杂志(高中版) 2008年4期
关键词:棱锥正三角形三棱锥

张京林

根限是高中数学的重要概念之一,是进一步学习高等数学的工具.平时学习中多重视求极限和证明极限问题,对于作为一种重要的思想方法则缺少关注,特别在立体几何的学习中,通过观察动态过程中所处位置的极端状态(极限情况),即当一个变量无限地接近一个定量时,此时的变量可看作此定量,本文中的几何体求值问题尤其是这样,可以避开逻辑推理和复杂运算,得到简洁理想的解题效果.

1 求取值的范围

在求几何体某些基本量的取值范围时,可循变化的趋势和范围,确定两个极限点,然后求出相应的值.

例1 正三棱锥相邻两个侧面所成的角为α,则α的取值范围是()

A.(0,π)B.(0,π3)

C.(π3,π2)D.(π3,π)

解析 如图所示,O为正三角形ABC的中心,SO为正三棱锥S-ABC的高,把O看作定点,S看作动点,当OS→0时,两相邻侧面趋向于一个平面,此时相邻两侧面的夹角α→π;当OS→∞时,正三棱锥无限趋向正三棱柱,两相邻侧面的夹角愈来愈小,趋向于底面三角形ABC的一个内角,即α→π3. 故有α∈(π3,π). 选D.

同法可以推证正n棱锥相邻两个侧面所成角的范围是((n-2)nπ,π).

例2 正三棱锥P-ABC的底面边长为2a,E、F、G、H分别是PA、PB、BC、AC的中点,则四边形EFGH面积的取值范围是()

A.(0,+∞)B.(33a2,+∞)

C.(36a2,+∞)D.(12a2,+∞)

解析 如图,易证明四边形EFGH为平行四边形.O为底面正三角形ABC的中心,PO为三棱锥的高,同例1,当OP→0时,平行四边形EFGH趋近于平行四边形E1F1GH(E1、F1分别是AO、BO的中点),易求平行四边形E1F1GH的面积为33a2,此时平行四边形EFGH的面积S→33a2;当OP→∞时,易知平行四边形EFGH的面积S→+∞,故选B.

例3 如图所示,三棱锥S-ABC中,底面三角形ABC是边为a的正三角形,且SB=SC=a,则SA的长度的取值范围是多少?

解析 SA的长度由二面角S-BC-A的大小来决定.当二面角S-BC-A趋向于O,即S→A,此时SA→0;当二面角S-BC-A趋向于π时,三棱锥趋向菱形ABCS.此时SA为菱形的对角线,长度为3a,即SA→3a. 所以SA的长度的取值范围是(0,3a).

2 求定值

当几何体中某些基本量变化,但不影响所求几何量仍为确定值时,可通过取一个极限点得解.

例4 已知正四棱锥S-ABCD相邻两侧面所成二面角的大小为α,侧面与底面所成二面角的大小为β,则2cosα+cos2β的值为.

解析 如图所示,O为底面中心,SO为正四棱锥的高.当OS→∞时,正四棱锥趋向于正四棱柱,此时α→π2,β→π2,则2cosα+cos2β→2cosπ2+cosπ=-1. 所以2cosα+cos2β的值为-1.也可由OS→0,此时α→π,β→0来求.

例5 若P是正四面体内一点,则点P到各面距离之和等于()

A.正四面体的棱长

B.正四面体的斜高

C.正四面体的高

D.正四面体相对棱的距离

解析 可取正四面体的顶点为点P的极限点,顶点到各面距离之和就是顶点到底面距离,即为高.因而P到各面距离之和为正四面体的高.选C.

例6 正三棱锥A-BCD中,点E在棱AB上,点F在棱CD上,并且AEEB=CFFD=λ(λ>0),设α为异面直线EF与AC所成的角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+β的值是()

A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析 因为动点E、F的位置变化,不改变α+β的值.可考虑当λ→0时,E→A,F→C,即EF→AC.因为AC⊥BD,所以α→0,β→π2,即α+β→π2. 故选D.

例7 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B-APQC的体积为()

A.16V B.14V C.13V D.12V

解 将P、Q置于特殊位置:P→A,Q→C1,此时仍满足条件PA=QC1(=0),易算得:V瑽-APQC=V瑽-ACC1=13V.故选C.

综上所述,遵循变量变化的规律与趋势,取变量为其中的极限状态,可以巧妙求出上述两类几何体的取值范围与定值问题.迅速、利落地解决选择、填空题问题.在平时课堂教学中,教师要不断渗透这种数学的思想与方法,不仅可提高学生的解题速度和解题能力,而且对学生的数学素养的提高也是大有裨益.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”

猜你喜欢

棱锥正三角形三棱锥
空间几何试题精选
无限追踪(二)
例说无交点线面角的求法
三棱锥中的一个不等式
一道不等式擂台题的改进与相关问题
让三角形倒立
对正棱锥角的研究所得
道砖为何采用正六边形
两道三棱锥题目的探究
侧面两两垂直的三棱锥的一个性质