探究一道圆锥曲线中线段恒等式的证明题
2025-03-03王东海
摘 要：文章以2024年3月湖北七市州调考圆锥曲线题为例，阐述对它的拓展推广及高考溯源，引导学生对问题进行深层次的探究及引申，充分挖掘题目的内涵和外延，使学生能够用更高的观点去看待问题.
关键词：圆锥曲线；线段恒等式；拓展推广；追本溯源
中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2025）01-0082-04
收稿日期：2024-10-05
作者简介：王东海，从事中学数学教学研究.
基金项目：安徽合肥市教育信息技术2023年度课题“智慧课堂下利用GGB培养高中生数学探究能力的实践研究”（项目编号：HDJ23017）.
圆锥曲线的证明问题是高考中的热点，常见的有点线位置关系的证明和数量关系相等、不相等证明两类，其处理手段主要是利用图形的几何性质、代数式的恒等变形以及必要的数值计算进行证明，但此类问题思维量及运算量较大，往往费时费力难以攻破，困扰着一部分学生.本文以一道调考题为例，谈谈其一般性推广及高考溯源，以期对圆锥曲线备考有所启发.
1 考题呈现
题目 如图1，O为坐标原点，F为抛物线y2=2x的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，直线AO交抛物线的准线于点D，设抛物线在点B处的切线为l.
（1）若直线l与y轴的交点为E，求证：|DE|=|EF|;
（2）过点B作l的垂线与直线AO交于点G，求证：|AD|2=|AO|·|AG|.
分析 利用点参法易证得第（1）问|DE|=
|EF|；第（2）问既可以利用点参法结合比例性质，也可借助几何法等手段证得|AD|2=|AO|·|AG|.试题内涵丰富，具有很好的探究价值.
2 一般性探究
波利亚曾说：“在你找到第一个蘑菇时，继续观察，就能发现一堆蘑菇.”细品两个小题的结论，笔者思考该题的结论是偶然还是必然呢？尝试将第（1）（2）问推广至一般的情形.
结论1 已知F为抛物线y2=2px（pgt;0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，直线AO交抛物线的准线于点D，则直线BD平行于抛物线的对称轴［1］.
证明 如图1所示，设点A（y202p，y0）（y0≠0），则直线OA：y=2py0x，联立抛物线的准线方程x=-p2，可解得点D纵坐标yD=-p2y0.
当直线AB斜率存在时，即y20≠p2时，直线AB的方程为y=2py0y20-p2（x-p2）.
再与抛物线方程联立并消去x，得
y0y-（y20-p2）y-y0p2=0.
故由韦达定理知yAyB=-p2.
所以yB=-p2y0.
所以yB=yD.
于是BD∥x轴.
当直线AB的斜率不存在时，即y20=p2时，易知BD∥x轴，所以BD平行于对称轴.
考虑抛物线的焦点和准线是一对特殊极点极线，能否将其推广到一般的极点和极线呢？
结论2 已知抛物线y2=2px（pgt;0），点T（t，0）（tgt;0），过点T的直线交抛物线于A，B两点，直线AO交点T的极线x=-t于点D，则直线BD平行于抛物线的对称轴.
证明类似结论1.
6 结束语
通过对这道线段恒等式证明题的探究，启发考生在平时的高考备考中，要尝试学会研题，尝试对经典高考真题进行解法探究、变式探究及推广探究.通过多解探究，可以开阔自己的解题视野，打破思维定式，提升自己的推理论证能力及数学运算能力；通过推广探究可以探究出问题的本质，从而达到“解一题通一类会一片”的效果.
参考文献：
［1］ 王东海.一道解析几何分点弦问题的深入探究［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2023（15）：29-31.
［2］ 王东海.一道联考试题的解法探究、背景分析及拓展推广［J］.数学通讯，2023（08）：41-43，61.
［3］ 王东海.对一道解析几何最值问题的深入探究［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2023（21）：19-21.
［责任编辑：李慧娇］
