提升解决“方程与销售类实际问题”能力的策略

应用方程解决“销售类”实际问题，在初中数学中非常重要，从建立一元一次方程模型开始，经历了建立二元一次方程组、分式方程、一元二次方程等模型的探究过程，难度层层递进，笔者通过教学实践发现，学生掌握起这些模型来并不容易。如何提升应用方程解决“销售类”实际问题的能力？通过教学实践，我总结了以下三个策略：

一、理解销售类问题的基本概念与关系式

（1）基本概念。五价：原价、标价、售价、进价、成本价。两利：单件利润、总利润。一量：销售数量

一折：折扣。两率：折扣率、利润率

（2）基本关系式。①售价=原价×折扣率，②折扣率= ×100% ，③单件利润=售价﹣进价，④利润率= ×100% .⑤总进价=单件进价×销售数量，⑥ 总利润=单件利润×销售数量.

二、建立销售类问题对应的方程模型

1.一元一次方程与销售

例1：某种商品的标价为200元，为了吸引顾客，按九折出售，这时仍要盈利20%求该商品的进价．

解：设这种商品的进价是x元

200×0.9x- x﹦20%，解得 x-150

答：这种商品的进价是150元．

一元一次方程与销售问题涉及的关系式主要有①②③④，等量关系较为简单，利用等号左右两边均表示单件利润进行列方程。

2.二元一次方程组与销售

例2：某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：

类别 成本价 元/箱

销售价 元/箱

甲

乙

求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱

（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元．

解：（1）设购进甲矿泉水 x箱，购进乙矿泉水 箱，

依题意，得 解得

答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．

（2）（35-25）×300+（48-35）×200=5600（元）

答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．

二元一次方程组与销售问题涉及的关系式主要有③⑤⑥，销售数量在原来的基础上参与较多， 涉及到总进价和总利润。

3.分式方程与销售

例3：某电器商场销售甲、乙两种品牌的节能热水器，已知每台乙种品牌热水器的进价比每台甲种品牌热水器的进价高20%，同样用6000元购进的乙种品牌热水器数量比甲种品牌热水器数量少1台。求甲、乙两种品牌热水器的进货价.

解：设甲种品牌热水器的进货价为 x元／台，乙种品牌热水器的进货价为1.2x元／台，" =1，解得：x=1000，经检验是原方程的解且符合题意，1.2 x=1200.

答：甲种品牌热水器的进货价为1000元／台，乙种品牌热水器的进货价为1200元／台.

分式方程与销售问题涉及的关系式主要有③⑤⑥，销售数量在原来的基础上参与较多， 涉及到总进价和总利润。

4.一元二次方程与销售

例4（降价销售）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂以25元／件购进某款冰墩墩钥匙扣，如果按照37元／件销售，平均每天可售4件．冬奥会临近结束时，网店打算把该款钥匙扣调价销售，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件。销售价定为每件多少元时，才能使该款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

法一：解：设该款钥匙扣的售价定为 元，（ -25）[4+2（37- ）] =90，解得 ， ．

答：将销售价定为每件 元或 元时，才能使该款钥匙扣平均每天销售利润为 元．

法二：解：设降价x元。

[ 37-x-25] ，解得 ， ，售价为37-3=34，或37-7=30.

答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使该款钥匙扣平均每天销售利润为90元。

例5：（涨价销售）某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元．试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？

本题可以类比例4，设销售售价x元或者涨价x元，根据“总利润=单件利润×销售数量”列方程求解。

这两种销售比前4个题目涉及的量多，情况复杂。主要是销售方式出现了变化，销售价格不再固定，销售数量也不再固定，学生理解起来比较困难。要想突破此类题，首先理解这两个题的两个共同点，一是价格变动前有一个销售基础，即销售单价为……元时，每天可售出……件；二是价格变动后明确了一个关系，即随着价格变化，每天销量也跟着变化。其次设未知数表示变化后的单件利润和变化后的销售数量。设未知数时，可以直接设变化后的销售单价，也可以间接设涨价或降价。这两种设法在表示单件利润和销售数量时不同，结合例4的两种解法理解。这一点必须引起学生重视，只有这两个量表示正确，才能根据“总利润=单件利润×销售数量”列方程求解。

例6：（与一次函数融合销售） 某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台 每台售价为45万元时，年销售量为550台 假定该设备的年销售量 （单位：台）和销售单价x（单位：万元/台）成一次函数关系．

（1）求年销售量 与销售单价x的函数关系式．

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元／台，如果该公司想获得10000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元／台？

解： 设年销售量 与销售单价x的函数关系式为 ，将（40，600）、（45，550）代入 ，得 解得

∴年销售量 与销售单价x的函数关系式为 =-10x+1000

设该设备的销售单价为x万元／台，根据题意，得，（x-30）（-10x+1000）=10000，整理，得 -130 x+4000=0，解得 ， ．∵此备的销售单价不得高于70万元，∴x=50

答：该设备的销售单价应是50万元／台．

与一次函数融合的销售问题，根据一次函数的知识表示销售数量，再利用“单件利润×销售数量=总利润”列方程。

三、深化知识联系，优化认知结构

在每个阶段学习“方程与销售问题”时，需要教师引导学生将一些知识建立关联，让学生从新的角度看待原有的知识，从而引发深度思考，提升其探究综合问题的能力.

总之，解决“方程与销售问题”时，理解基本概念和关系式是基础，建立销售类问题对应的方程模型是支撑，通过题目深化理解方程模型之间的联系是根本。掌握了这三个方面，学生从各个角度加工配置信息的能力就越强，解决问题的方法就越多，拓展思维的广度和深度，从而优化数学认知结构，为培养核心素养奠定基础。