基于量感培养的小学数学教学设计

一、教材简析

“圆的面积”是人教版小学数学六年级上册教材中第五单元第三节的内容，主要讲解了圆面积的推导方式以及计算公式。在前几节课的学习中，学生已经理解了何为圆，并掌握了长方形面积以及圆周长的计算方式，实现了从直线图形向曲线图形的思维转变。在“圆的面积”的学习中，学生需要明白圆作为一个典型的曲线图形，其在计算面积过程中与直线图形的差异。此外，本节课要求学生完成数学思维的归纳与转化，能够依据丰富的课堂活动来深度探究圆面积的计算原理，最终完成从直观到逻辑、从具体到抽象的跃迁。

二、学情分析

六年级学生具有较高的概括能力以及观察能力，能够自主探究并吸收理解较为复杂的数学知识。但他们依然具有活泼好动的天性，因此，数学教师需采用更多元、灵活的教学方式来讲解抽象知识。在“圆的面积”的教学中，教师可利用参与性强、互动性高的教学活动（如小组合作）来提高学生的自主探究意识，进一步强化学生的沟通与反思能力。

三、教学目标

1.数据分析：在图形转化与面积计算的环节中观察、记录相关信息，能够巧妙运用上述信息自主推导并验证圆的面积公式。

2.数学运算：能够熟练使用圆的面积公式来解决相关数学问题，正确、高效地完成相关运算。

3.直观想象：基于想象能力完成长方形至圆形的转化。

4.数学建模：实现从直线图形向曲线图形的思维转变，掌握数学模型的构建方式。

5.逻辑推理：自主完成圆面积的推导任务，能够理解长方形至圆形的图形转化过程，能够运用所学知识来验证圆面积的计算公式。

四、教学重难点

教学重点：

1.熟练运用圆的面积公式来解决生活问题，能够基于不同的现实情境来正确运用圆的面积公式。

2.独立完成圆面积公式的推导任务，能够理解圆的面积公式中不同变量的含义。

教学难点：将已知图形（如正方形、长方形）转化为圆形，从而逐步推导出圆面积的计算公式，不断完善数学转化思想。

五、教学过程

（一）创设情境，培养学生的量感

师：（使用多媒体设备为学生播放关于体育器材室的短视频）同学们，我们在体育活动中会用到很多运动器材。今天跟随老师的脚步一起探索体育器材室中的奥秘，看有哪些大家学过的图形。（鼓励学生找出之前学过的梯形、三角形以及平行四边形等图形。）

生：足球和毯子的底部都是圆形，瑜伽垫是长方形，画框是正方形……

师：看来大家都拥有敏锐的观察力。我校体育器材室中放置了大量平行四边形、三角形形状的物品，同学们是否能说出上述图形的面积计算公式和周长计算公式？哪位同学还能够想起上述图形的面积推导方式？

（组织学生进行小组讨论，随后使用PPT向学生重现上述图形的面积推导过程。）

小结：在导入新课时，教师可引导学生在多媒体设备的辅助下巩固所学数学思想，即转化思想。通过移动、拼接、剪切的方式将三角形以及平行四边形转变为更为简单的正方形和长方形，进一步提高学生的图形转化能力。

师：某小学将举办篮球比赛。为了照顾到不同年级学生的感受，体育教师想要为学生购置一批大小不同的篮球。大家能否为体育教师提供采购建议呢？

（创设篮球比赛情境，引导学生发现体育教师的购买难题，进而思考不同大小篮球的直径有多大，面积又有多大。）

师：大家可以仔细观察自己课桌上不同的圆形物品，并摸一摸。尝试利用工具测量不同大小圆形物品的半径、直径，并利用我们之前学过的知识来探究圆面积的计算方式。

板书：圆的面积

小结：信息技术手段能够为学生直观展示梯形、平行四边形等面积的推导过程，在复习与巩固中组织学生再一次感受转化思想的内涵，继而为后续圆面积公式的推导打下基础，促使学生完成知识的迁移。此外，学生能够在用眼观察、用手触摸、用工具测量中实现多感官的配合，进而培养良好的量感。

（二）探索实践，多维度分析圆的面积

师：观察图1能够发现，ABCDEF为圆内接正六边形，若同学们分别取弧FA、EF、DE、CD、BC、AB的中点，并将其依然标注成F1、E1、D1、C1、B1以及A1。通过将中点进行连接后我们就能够得到一个圆内接正十二边形。

师：请大家认真观察这两个圆内接多边形，并思考二者存在怎样的大小关系。

生：正十二边形的面积一定大于正六边形的面积。

师：回答正确。下面请大家继续动脑筋思考。若我们一直重复上述步骤，不断找出弧线的中点，那么就能够画出正二十四边形、正四十八边形……如此，圆内接多边形的面积就会变得越来越大。若我们将这些正多边形的面积与圆的面积进行对比，谁的面积更大呢？

生：虽然圆内接多边形的边数逐渐增多，其面积的数值也应当逐渐增大。但是这些内接多边形的面积再大也不会大于圆的面积。

师：是的。我国魏晋时期有一名伟大的数学家刘徽，他就是使用了刚刚同学们探究的方式来推导圆的面积的。刘徽将这一方式称之为割圆术，即通过不断增加圆内接多边形的边数来分析圆面积的计算公式。图2至图4为大家演示了割圆术的具体步骤。

师：同学们一定在阅读课外资料时了解过《海岛算经》以及《九章算术注》，这两本书均为刘徽所著。割圆术、重差术、牟合方盖也是由刘徽提出的。如今我们依然可以借鉴他的很多计算方法以及数学理论。

师：大家已经了解了割圆术的具体操作方式，现在同学们能否效仿刘徽，摸索出另外一套逼近方法呢？大家讨论，稍后各小组成员展示。

笔者班级中的学生主要展示了两种图形逼近的方式（见图5、图6）。

【方法一】利用三角形进行逼近

【方法二】利用正方形网格进行逼近

师：我们给这几个小组的同学以掌声。虽然这几个小组同学采用的图形逼近方式不同，但均是逐步向圆靠近的。若我们一直这样操作下去，是否能够计算出圆的面积数值呢？

生：是的。只要不断地进行逼近，我们就能够准确算出圆的面积。

小结：本环节利用多媒体设备向学生直观演示割圆术的过程，让学生跨越历史的长河与刘徽产生共鸣。通过不断增加圆内接多边形的面积，让学生明白其能够无限接近于圆形，继而通过计算多边形的面积来得出圆面积的数值。该方式向学生渗透了数学中的极限思想。在讲解结束后，我们鼓励学生自主进行分割操作，引导学生站在巨人的肩膀上进行创新思考。

（三）利用所学知识完成圆面积的推导

本环节依然以小组为单位，组织学生沿半径对圆进行切割，并将切割后的图形重新拼接为长方形。教师可在PPT中为学生展示问题（见图7），要求学生在实践操作中推导圆面积的计算公式。

师：大多数同学在操作中是将圆切割为一个个近似的三角形，并将这些三角形重新拼接为大家熟悉的图形。

生：如果我们能够将圆细分成足够多的近似三角形，那么最终拼接形成的图形就更像一个长方形。

师：回答正确。因此，我们能够通过剪切和拼接的方式将圆形转变成长方形。

小组讨论结束后派代表汇报结果，最终由教师展示圆面积的推导过程，具体见图8所示。

师：通过观察图8我们能够发现，只要掌握了圆半径的数值，就能够算出它的面积。

小结：本环节主要通过小组合作来完成剪切、拼接的实践活动，再通过多媒体演示来让学生发现圆与长方形间的关系，继而通过计算长方形的面积来推导圆面积的计算公式。

（四）利用圆面积的计算公式来实现深度学习

师：在上一环节的探究中，同学们已经掌握了圆面积的计算公式，即将圆形转变为长方形进行推导与运算。请大家思考，能否将圆转变为其他熟悉的图形？

【方法一】将圆形转变成平行四边形后计算面积

师：请大家发动脑筋想想，如何将圆形剪切、拼接为一个平行四边形？

生：同样需要将圆剪切为尽可能多的近似三角形，随后通过图9的方式进行拼接转化。

【方法二】将圆形转变成三角形后计算面积

师：那我们现在如何将圆形拼接成一个三角形呢？

生：保证圆的直径不变，可以将圆形想象为由无数圆环构成的图案，将每一环展开后进行拼接，就能够得到一个无限接近于三角形的图案（见图10）。

师：下面请同学们分析圆的半径与转化后图形间存在怎样的联系，并自主推导圆面积的计算公式。

生：若依据方法一的逻辑，由于平行四边形面积为高乘以底，因此平行四边形的底应当为圆周长的一半，即πr。而平行四边形的高则应当等于圆的半径，即r。最终根据平行四边形的面积公式能够推导出圆的面积公式，应当为πr2。

生：若依据方法二的逻辑，三角形的面积为高乘以底的一半。因此，这里底应当为圆的周长，即2πr。而高应当等于圆的半径，即r。最终根据三角形的面积公式能够推导出圆的面积公式，应当为πr2。

小结：本环节活动引导学生尝试从不同的角度推导圆面积的计算公式，进一步加深学生对基础知识的理解。

师：同学们，请大家观察课件中的游泳池、井盖以及硬币图片，结合自己的生活经验来猜测三个圆形的半径有多长，并利用这一信息来估算三者的面积大小。

生：我认为圆形泳池、井盖以及硬币的半径约为10 m、50 cm以及1 cm。依据圆的面积公式能够推算出三者的面积应当分别为314 m2、7850 cm2以及3.14 cm2。

小结：随堂训练环节旨在强化学生对本节知识的理解，要求学生在掌握圆面积的计算方式后，进一步思考圆环的面积推导方式，为后续圆环面积以及扇形面积的讲解打基础。该环节要求学生结合生活经验，在使用工具的情况下估算不同圆的半径数值，有效锻炼学生的量感。

（五）课堂总结

1.在本节课学习中你掌握了哪些数学思想？理解了哪些数学知识？

2.你能否找出不同的分割方式？你能否将最终分割后的图形转化为其他已知图形？

3.本节课中你还有哪些疑惑？

小结：课堂总结能够帮助学生将本节新学的内容纳入原本的认知体系中，充分锻炼学生的总结与归纳能力。

（六）作业布置

【巩固型作业】（要求学生独立完成）

1.判断题。

（1）若将圆的半径数值扩大至原本的三倍，那么其面积也应会扩大至原本的三倍。（ "）

（2）已知圆的半径数值是2 cm，那么其面积应当与周长数值相等。（ "）

2.给出如下已知条件，请计算出圆的面积。

（1）l=20π cm " "（2）d=0.8 cm " "（3）r=6 cm

3.校园内某一圆形花坛的周长为50.24 m，请问这一片花坛的占地面积为多少？

4.（1）有两个圆形图案，已知甲的半径长度与乙的直径长度相等，且已知两个圆的面积总和为100 cm2，请计算甲的面积。

（2）有两个圆形图案，已知甲的周长数值为乙周长的二倍，且两个圆的面积之差为209 cm2，请计算乙的面积。

【跨课时作业】

尝试从不同的角度探究圆的分割方式，继续推导圆面积的计算方案。

【跨学科作业】

生活中大多数树干的横截面均为圆形。王同学与李同学在学习完本节内容后，想要计算校园内某一树干的横截面积，请问他们二人需要使用哪些工具，测量哪些数据呢？

小结：不同类型的课后作业能够开阔学生的学习眼界，让学生发现生活中的数学，并将不同学科的知识结合起来，进而满足个性化教育的需求。

（七）教学评价

教师能够基于学生的学习反馈来进一步反思自身的教学方案，这不仅能够全面了解班级学生的学习进度，还能够作为优化教学模式的依据。“圆的面积”课堂中，教师可从三个维度进行评价。

1.诊断型评价：主要用于课前环节，依据班级学情来合理安排教学内容。

2.形成型评价：主要用于课上环节，依据师生互动、小组交流来发现学生的学习问题，通过及时调整课堂活动以及教学措施来完善探究。

3.总结型评价：主要用于课后环节，通过生生互评以及教师点评来及时进行补充，将评价结果认真反馈给学生，进一步增强学生学习数学的信心。

（作者单位：福建省福州市闽侯县甘蔗瀛洲小学）

编辑：常超波