以问题设计为载体满足学生的思维需求

摘" 要：问题是学习的起点，是思维发展的工具，是教学的助推器. 高质量的教学需要高质量教学过程的优化及高质量问题的设计. 思维型教学理论强调教学目标要指向核心素养. 问题设计是体现教师素养、导向教学、满足学生思维需求的重要载体，是实施思维型教学的重要抓手. 以“线段的垂直平分线”专题复习课的教学为例，探讨以问题设计为载体，满足学生思维需求的教学模式.

关键词：思维型教学；问题设计；线段垂直平分线

中图分类号：G633.6" " " 文献标识码：A" " " 文章编号：1673-8284（2025）01-0012-04

引用格式：刘璇，于妍秋. 以问题设计为载体满足学生的思维需求：以“线段的垂直平分线”专题复习课的教学为例［J］. 中国数学教育（初中版），2025（1）：12-15.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中明确指出：“数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式. 通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系；能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系；能够运用符号运算、形式推理等数学方法，分析、解决数学问题和实际问题；能够通过计算思维将各种信息约简和形式化，进行问题求解与系统设计；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神.”数学思维的培养可以帮助学生形成逻辑思维能力，促进学生的创造性思维能力得到提升，同时发展学生的抽象能力，提高问题解决能力. 数学思维还可以培养学生的探索精神，它不仅对数学学科本身有着深远影响，而且对学生的综合素养提升和日常生活都有积极的影响. 因此，我们应该重视对学生数学思维能力的培养.

思维型教学理论引领下的课堂一般包括六大基本要素：创设情境，提出问题，自主探究，合作交流，总结反思和应用迁移. 这六大基本要素与培养学生的思维能力、提高学生的学习动机、促进素养的形成紧密关联. 如何以问题设计为载体，通过自主探究和合作交流满足学生的思维需求，促进学生的思维发展，下面以“线段的垂直平分线”专题复习课的教学为例展开研究.

专题复习课是指教师引导学生对所学的某一核心数学知识进行系统地归纳、总结、理解、巩固和综合运用，建立相关知识之间的纵横联系，帮助学生巩固所学知识，深化知识理解，实现思维进阶，培养学生综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力为任务和目标的授课形式. 本节“线段的垂直平分线”专题复习课源自人教版《义务教育教科书（五·四学制）· 数学》八年级上册的教学内容，包括线段垂直平分线的定义及其性质. 学生已经学习过全等三角形等相关知识，这为后续学习等腰三角形、等边三角形的相关知识和深刻理解对称变换等奠定了坚实的知识基础. 本节课以促进学生的思维发展为目标，通过不同形式的问题设计充分激活学生的思维，改善学生的学习方式，让学习活动真正发生.

一、设置递进性问题，引导学生结构化复习

问题是引领学生数学思考的基础. 在教学中，教师由浅入深地进行递进性问题设计，能引发学生思考，把学生的隐性思维显现出来，为教师了解学生的知识水平提供第一手资料. 学生的思维发展程度是有差异性的. 设置递进性问题，也能让不同层次学生的思维以低阶思维为起点不断丰富、发展和进阶.

例如，在“线段的垂直平分线”专题复习课中可以设置如下两个递进性问题作为复习回顾.

问题1：如图1，线段BC的垂直平分线DE与BC相交于点E. 由此你能得到哪些结论？

[B][C][E][D] [图1]

根据线段垂直平分线的定义，可以得到BE = EC，DE⊥BC；根据线段垂直平分线的性质，连接BD，DC，可得BD = DC.

【评析】问题1的设计旨在引领学生对线段垂直平分线的核心知识进行复习. 问题1的深度能满足大多数学生的思维需求.

问题2：如图2，以图1中的BC作为△ABC的边，边BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接BD，你能得到哪些结论？

[A][B][C][E][D][图2]

学生独立思考后进行小组合作交流. 小组汇报情况如下.

生1：根据线段垂直平分线的性质，得到BD = CD，从而可得△DBC是一个等腰三角形. 根据等腰三角形的性质，可得∠DBC = ∠C. 根据线段垂直平分线的定义，得BE = EC，DE⊥BC. 进一步得到△DBE ≌ △DCE. 根据三角形全等还可以得到∠BDE = ∠CDE.

生2：因为∠ADB是△DBC的外角，所以∠ADB = ∠DBC + ∠C. 因为∠DBC = ∠C，所以∠ADB = 2∠C.

生3：△ABD的周长 = AB + BD + AD = AB + DC + AD = AB + AC.

【评析】从学生的回答来看，生1基本还停留在问题1的思维水平，生2和生3的回答已经能将线段垂直平分线的核心知识与三角形知识关联起来. 此时，教师要趁机引领学生构建结构化知识体系，使学生认识到研究几何图形的一般方法，即线段之间的数量关系和位置关系，角之间的数量关系，三角形之间的关系，形成数学研究的一般观念.

递进式问题的设计不仅能让学生对核心知识进行巩固，而且能让学生的思维从“知道”“领会”到“应用”. 通过学生的自主发现、自主反思、教师引领，让学生实现知识的重组、建构和生成，促使学生从“学会”到“会学”.

二、设置开放性问题，促进知识建构化应用

《标准》中强调了通过数学教学培养学生的创新意识. 因此，教师要改变传统的数学教育理念，创新教学方法和手段，有效培养学生的创新意识. 创新的本质在于思维的创新，数学的本质在于思维，而人的发散思维能力与其所具有的创造力是成正相关的. 设置有价值的开放性问题，能使学生的发散性思维得到发展. 教师要注重引导学生经历分析和解决问题的过程. 问题是由学生自己或与他人交流中提出的，解决问题的过程要与提出问题的过程有机结合，使学生积累解决实际问题的经验.

例如，本节课通过问题1的结构化复习引入，能让学生形成数学研究的一般观念. 那么学生对知识理解、应用得怎么样？对此，教师可以设置如下问题.

问题3：如图3，△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于点F，交BC于点E，若" " " " ，求" " " " .试将题目补充完整，并尝试解答.

[A][B][C][E][F][图3]

学生根据不完整条件先提出问题再分析和解决问题，实现学习过程的思维可视化. 学生提出了很多有思维含量的数学问题，教师可以选择一些问题展开教学，如选择添加“若BF = AC，∠A = 80°，求∠B的度数”这一问题.

针对此问题，有的学生先连接CF（如图4），得出△FBE ≌ △FCE. 得到FB = FC. 由FB = AC，FC = AC，得到∠AFC = ∠A = 80°. 由∠AFC = 2∠B，求得∠B = 40°.

[A][B][C][E][F][图4]

【评析】显然，这样解决问题的学生对线段垂直平分线的性质的应用还不熟练，没有对线段垂直平分线的核心知识完成建构. 这也是学生思维固化的常见表现形式. 学生学习的过程是将教学内容转化为自我认知的过程. 在教学中，通过有针对性地设计开放性问题，引领学生将新知识内化和建构并灵活应用是至关重要的.

设计开放性问题，既可以选择条件开放，也可以选择结论开放、策略开放等. 开放性问题不仅能促进学生对知识的掌握和思想方法的理解，更能给学生提供发散思维的机会. 而创新能力的培养与发散思维有直接关系. 因此，在教学中适当地运用开放性问题促进学生的发散思维发展是值得重视的.

三、设置求异性问题，实现思维多元化进阶

求异性问题可以加深学生对题目的形式、组成元素及题目中隐含的逻辑关系的认识，加深学生对数学原理、通性通法的认识，给学生提供自主思考并表达的机会，使学生学会从多角度分析和解决问题，从而培养学生的数学洞察力和推理能力，拓宽解题思路，培养学生的求异思维和发散思维.

例如，本节课可以通过设置如下的求异性问题达成教学目标.

问题4：如图5，已知在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点F，交∠BAC的外角平分线于点G. 若∠C = 3∠B，你能找出图形中相等的线段吗？尝试说明理由.

[图5] [A][B][C][E][F][P][G]

学生从不同角度找到了解决问题的突破口，具体如下.

生4：根据线段垂直平分线的定义，可以得到BE = EC. 设∠B = x，则∠C = 3x. 如图6，连接FC，得到BF = CF，∠B = ∠FCB = x，∠ACF = 2x. 根据外角的性质可得∠AFC = 2x. 从而得到∠ACF = ∠AFC，即AF = AC.

[图6] [A][B][C][E][F][P][G]

生5：根据∠FEB = 90°，求得∠AFG = ∠BFE =[90°-x]. 利用外角的性质可以求得∠FAP = 4x. 根据角平分线的性质，可得∠GAF = 2x. 利用三角形内角和定理求出∠AGF = 180° -[90°-x]- 2x =[90°-x]，得到∠AGF = ∠AFG，即AG = AF.

生6：如图6，当发现AF = AC之后，图中就出现了一个基本图形——等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边，即AG∥FC. 可以得到∠AGF = ∠CFE. 因为∠BFE = ∠CFE = ∠AFG，所以∠AGF = ∠AFG，AG = AF.

生7：如图7，过点A作AH⊥FG于点H. 因为AH∥BC，所以∠HAF = ∠B = x. 因为∠GAF = 2x，所以∠HAG = ∠HAF. 通过证明△AGH ≌ △AFH，得到AG = AF.

[A][B][C][E][F][P][G][H][图7]

生8：我们组还找到了一组相等的线段. 因为AF = AC，AG = AF，根据等量代换可以得出AG = AC.

【评析】学生给出的方法多样，表述清晰. 他们的汇报让人感到惊喜. 可见，给学生一个开放的问题和探究的空间，他们会给我们更多惊喜. 这个求异性的问题搭建起了学生思维发展进阶的桥梁. 学生基于自己的思维水平选择多元的解法，使得问题得以解决，但此时学生的思维还仅限于自己的解法中.

为了增加学生思维的广阔性和深刻性，教师适时追问：在这些方法中，你喜欢用哪种方法来解决问题？理由是什么？然后学生展开了激烈的争辩.

生9：平行线的性质是证明角相等的重要依据，发现AG∥FC就能让问题得到解决. 我喜欢这种方法.

生10：我同意生9的观点. 看到线段的垂直平分线，连接FC，是比较常规的思路. 而刚才在研究基本图形结论的时候就得出了∠BFE = ∠CFE. 平行线比较容易发现，可以通过证明角相等来证明线段相等.

生11：我认为通过计算导角的方法也挺好的. 题中给了角的倍数关系，我们可以通过设元导角，把图形中的角用含x的式子表示出来，利用等角对等边获得相等的线段. 这样从已知条件出发解决问题，思维含量比较小，只要细心计算便可以很容易解决.

生12：我不同意前面几名同学的观点. 全等是证明线段相等的常用方法. 通过直观观察可以猜想AG = AF，就说明△AGF是等腰三角形，可以将△AGF当成背景图形来分析. 遇到等腰三角形，常常根据等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线，这道题是它的逆运用.

【评析】教师的追问使得学生在原有经验的基础上，通过倾听其他学生喜欢不同方法的理由，养成讲道理、有条理的思维习惯，对“证明线段相等的常用方法”“不同方法适合在什么情况下使用”“解决问题的一般思路”等方面进行深入思考，用数学的思维与数学的语言分析和解决问题，掌握证明线段相等的一般方法，把握问题的本质，形成方法体系，明晰问题解决的路径，拓展了思维的广度和深度.

突破思维定式和固化思维的直接路径就是培养学生的求异思维. 求异性问题的设计能开拓学生的思路，突破常规思维的束缚，让学生从多角度、多方向、多层次思考问题，并能创造性地解决问题，启迪学生的创新意识，发展学生的数学核心素养.

四、结束语

本节课以问题设计为载体，启发学生遵循有序的思维过程解题，完善学生的知识结构，促进了学生对基础知识和基本方法的深度理解与灵活应用，为学生思维的发展提供了坚实的基础. 同时，将学生从“客体”学习状态转化为“主体”学习状态，充分调动了学生思维的积极性，帮助学生积累活动经验，使学生的思维始终保持活跃状态. 同时，教师适切的追问和梳理总结指导学生掌握了正确的思维方向，即正确地分析、综合、判断和推理，形成科学的思维习惯，使学生的思维更广阔、更深刻、更灵活，也更富有逻辑性和敏捷性. 通过独立思考、合作探究等活动培养学生的创造性思维，能使不同层次的学生都能实现思维进阶.

参考文献：

［1］胡卫平. 科学思维的理论与培养［M］. 石家庄：河北人民出版社，2010.

［2］林崇德，胡卫平. 思维型课堂教学的理论与实践［J］. 北京师范大学学报（社会科学版），2010（1）：29-36.

［3］喻平. 发展学生数学核心素养的教学与评价研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.

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［5］吴晓红，谢海燕. 基于学科核心素养的数学教学课例研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2020.

［6］曹一鸣，冯启磊，陈鹏举. 基于学生核心素养的数学学科能力研究［M］. 北京：北京师范大学出版社，2017.

基金项目：黑龙江省教育科研规划教研专项重点课题——基于新课程标准的初中数学思维型教学实践研究（JYB1423072）.

作者简介：刘璇（1971— ），男，副研究员，主要从事中学数学教育和课堂教学改革研究；

于妍秋（1972— ），女，高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.