关于L-代数中理想的一些注记

许多逻辑代数可以看成L-代数.讨论一些特殊的L-代数，给出其L-理想与格滤子之间的关系.刻画一类使得L-理想集与格滤子集相等的格L-代数，同时给出L-代数与蕴含格之间的一个等价刻画.进一步给出格序效应代数的理想与L-理想以及它的同余与L-同余的等价刻画.

L-代数; 格序效应代数; L-理想; 蕴含格; 滤子

O159 A 0270-09 02.012

L-代数^[1]的概念表示了一种量子结构，与braidings，非交换逻辑和Yang-Baxter方程^[2]有着密切的关系.Hilbert代数，locales，（left）hoops，（pseudo）MV-代数和格序锥是L-代数^[1].最近，Rump^[3]刻画了广义正交模格作为一类L-代数.Wu等^[4]给出了正交模格与LE-L-代数之间的一个等价刻画.文献[5]证明了如果一个L-代数L的理想格I（L）是分配的，那么I（L）也是一个L-代数甚至是一个spatial locale.换句话说，L的理想可以看作拓扑空间Spec L（即L的谱）谱中的开集.

效应代数是一个含有部分运算的代数结构，从量子系统方面来看，它是Hilbert空间中界于零算子和单位算子之间的自伴算子^[6].它们是在量子力学中出现的许多结构的推广^[7-8]，例如非交换测度理论中的正交模格和模糊测度理论中的MV-代数.Kpka等^[9]在模糊数学领域定义了一种新结构，即所谓的模糊D-集，并证明了D-集与效应代数等价.效应代数在量子逻辑的理论研究中有不可忽视的作用，所以关于其代数性质的研究是十分重要的.本文主要研究格序效应代数的理想与同余，一般而言，在效应代数中，其理想与同余之间并不存在序同构关系.Avallone等^[10]证明了如果I是效应代数中的Riesz理想，则～I（～I表示由I诱导的一个关系）是一个Riesz同余.反过来，如果～是一个Riesz同余，那么I=[0]～（[0]～={a|a～0}）是一个Riesz理想，并且～I=～.Wu等^[11]给出了格序效应代数与LE-L-代数之间的一个等价刻画，在此基础上，本文从L-代数的角度给出格序效应代数中Riesz理想与Riesz同余的一个序同构.

在逻辑代数的研究中，子代数与滤子理论起到了非常重要的作用，很多学者对此做了很多研究^[12-14].本文将讨论一些特殊的L-代数，研究其L-理想与格滤子之间的关系，证明∧-闭的格L-代数的L-理想集与格滤子集是相等的当且仅当它是一个蕴含格.受文献[10]的启发，本文讨论格序效应代数中的Riesz理想与L-理想之间的关系，以及格序效应代数中的Riesz同余与L-同余之间的关系.

1 预备知识

定义 1.1^[1]

一个L-代数（L，→）是一个（2，0）型代数，并且对x，y，z∈L满足以下条件：

x→x=x→1=1，1→x=x，

（1）

（x→y）→（x→z）=（y→x）→（y→z）， （2）

x→y=y→x=1x=y，

（3）

其中，条件（1）说明了1是一个逻辑单位，并且逻辑单位是唯一的.由文献[1]的命题2可知，存在一个偏序关系

x≤yx→y=1，

（4）

使得1是L的最大元.如果L有最小元0，那么称L是有0的L-代数.如果L在偏序下作成一个格，则称此时的L-代数为格L-代数.

由文献[1]的命题2可知，设（L，→）是一个L-代数，则对x，y，z∈L有x≤yz→x≤z→y成立.

定义 1.2^[5]

设L是一个L-代数，YL是一个L-子代数，如果x，y∈Y蕴含x→y∈Y.如果对x∈L，y∈Y有x→y∈Y成立，称Y是一个不变L-子代数.

定义 1.3^[1]

设（L，→）是一个L-代数，称IL是一个理想，如果对x，y∈L满足以下条件：

1∈I，

（5）

x，x→y∈Iy∈I，

（6）

x∈I（x→y）→y∈I，

（7）

x∈Iy→x∈I，y→（x→y）∈I.

（8）

如果L满足

x→（y→x）=1，

（9）

则条件（8）可以被替换.

命题 1.1^[1]

设（L，→）是一个L-代数，每个理想I都可以定义一个同余

x～y：x→y， y→x∈I.

反过来，每个同余～定义一个理想I：={x∈L|x～1}.

推论 1.1^[1]

对于一个L-代数L，当L/～是一个L-代数时，理想和同余～之间存在一个一一对应.

尹丽云，等：关于L-代数中理想的一些注记

注 1.1

设L是一个L-代数，由文献[1]中的推论1的证明可知，L/～是一个L-代数当且仅当满足

x～y（x→y）～（y→x）～1.

（10）

定义 1.4^[1]

一个幺半群H带有另一个二元运算→被称为是一个left hoop，如果对a，b，c∈H满足以下条件：

a→a=1，

（11）

ab→c=a→（b→c），

（12）

（a→b）a=（b→a）b.

（13）

每一个left hoop H都可以生成一个L-代数（H，→）.

left hoop H的公理（12）意味着

ab≤ca≤b→c

（14）

对a，b，c∈H都成立.因此，H是由它潜在的L-代数结构完全决定的.

定义 1.5^[1]

称一个L-代数（L，→）是自相似性的，如果对x∈L，左乘yMT ExtraaA@x→y是下集↓x→L上的一个双射.

每一个自相似性L-代数都是一个left hoop，对a，b∈H定义

a∧b：=（a→b）a，

（15）

则式（15）是一个下确界，而且对a，b，c∈H有

a→（b∧c）=（a→b）∧（a→c）.

（16）

由文献[1]的定理3可知，在left hoop的同构意义下，每一个L-代数都有唯一的一个自相似性闭包S（L）.相关概念见文献[1].

定义1.6^[15]

设L是一个L-代数.定义L的一个∧-闭包C（L）是一个L-代数，使得L是C（L）的一个L-子代数，并且C（L）中的每一个元素a∈C（L）都满足a=x1∧…∧xn，其中xi∈L.

定义 1.7^[16]

称一个L-代数L是∧-闭的，如果L=C（L）.

定义 1.8^[17]

一个Hilbert代数L是一个具有二元运算→和常元1的集合，并且对x，y，z∈L满足以下等式：

x→x=1，

（17）

1→x=x，

（18）

x→（y→z）=（x→y）→（x→z），

（19）

（x→y）→（（y→x）→x）=（y→x）→（（x→y）→y）.

（20）

由文献[18]的命题3可知，每一个Hilbert代数都是L-代数.

定义 1.9^[2]

称一个L-代数L的元素p是素的，如果对x∈L满足x≤p或者x→p≤p.如果p∈L都是素的，则称L是一个素L-代数.

注 1.2

设L是一个有最大元1的偏序集，通过定义如下的二元运算

x→y：=

1， 如果x≤y，

y， 如果x≤/y，

（21）

其中，x，y∈L，则可以将（L，→）看成一个L-代数.由文献[2]的定义1可知，素L-代数都是这样的.

2 格L-代数的理想与格滤子

定义 2.1^[19]

设（L;∧，∨）是一个格，若L的非空子集F满足以下条件：

a∈F， x∈L， a≤xx∈F，

a∈F， b∈Fa∧b∈F，

则称F是L的滤子.显然滤子是一个升集.

设I是L-代数L的一个理想，由条件（5）和（6）可知，当x∈I，y∈L，x≤y时，有y∈I成立，即I是一个升集.本节主要讨论一些特殊的L-代数，研究它的理想与格滤子之间的关系.

设L是一个格L-代数，将L的所有L-理想的集合记为I（L），L的所有格滤子的集合记为F（L），L的所有L-同余的集合记为Con（L）.

定义 2.2^[19]

一个格L称为蕴含格，或Brouwer格，如果对任意L中的元素a，b，集合{x∈L|a∧x≤b}包含最大元.这个最大元称为a在b中的余、相对伪补或实质蕴含，记作a→b.如果Brouwer格有最小元0，元素a→0称为a的伪补.

引理 2.1^[19]

设L是一个蕴含格，则对a，b，c∈L有以下性质：

b≤a→b，

（22）

a→（b→c）=（a∧b）→c=b→（a→c），

（23）

a→（b→c）=（a→b）→（a→c），

（24）

a→（a∧b）=a→b，

（25）

a∧b≤ca≤b→c，

（26）

a∧（a→b）=a∧b，

（27）

a∧（b→c）=a∧[（a∧b）→（a∧c）]，

（28）

L是分配格.

（29）

如果1是L的最大元，则

a=1→a，

（30）

a≤b当且仅当1=a→b.

（31）

命题 2.1^[18]

每一个Brouwer半格都是一个Hilbert代数.一个Hilbert代数L是一个Brouwer半格当且仅当L=C（L）.

命题 2.2

设L是一个蕴含格，则L是一个KL-代数.

证明

由定义2.2可知，a→a=1，a→1=max{x∈L|a∧x≤1}=1.根据式（30）可知1是一个逻辑单位.由式（23）和（24）可得

（a→b）→（a→c）=a→（b→c）=

b→（a→c）=（b→a）→（b→c），

所以L满足条件（2）.下证L满足条件（3），设a→b=b→a=1，则由式（31）可知a=b，所以L是一个L-代数.此外，通过式（22）可知，L满足条件（9），故L是一个KL-代数.

定义 2.3^[20]

一个MV-代数（A，，，0）是一个带有二元运算，一元运算以及一个特殊元0的一个集合A，并且对x，y，z∈A满足以下条件：

x（yz）=（xy）z，

（32）

xy=yx，

（33）

x0=x，

（34）

x=x，

（35）

x0=0，

（36）

（xy）y=（yx）x.

（37）

引理 2.2^[20]

以下等式在每一个MV-代数中都成立：

x（y∧z）=（xy）∧（xz）.

（38）

引理 2.3

设L是一个格，则L的任意一个升集都是滤子当且仅当L是一个链.

证明

必要性 设L的任意一个升集都是滤子，L不是一个链，则存在a，b∈L使得a与b不可比.令A=a↑∪b↑={y∈L|y≥a或y≥b}，其中a↑和b↑都是L的升集，则A是一个升集.事实上，设x∈L，y∈A，x≥y，当x≥y≥a时，有x≥a，即x∈A;类似地，当x≥y≥b时，有x≥b，即x∈A，所以A是一个升集.由假设条件可知，A是一个滤子，所以a，b∈A蕴含a∧b∈A，也就是说，a≤a∧b≤a或者b≤a∧b≤b，当a∧b=a时，有a≤b，这与a与b不可比是矛盾的.同理可证，当a∧b=b时，与a与b不可比也是矛盾的，因此L是一个链.

充分性 设L是一个链，则L中的所有元素都可比.设A是L的一个升集，那么A中的元素也都可比.下证A是对∧封闭的.对x，y∈A，当x≤y时，有x∧y=x∈A;当y≤x时，有x∧y=y∈A.因此，A是L的一个滤子.

例 2.1

设（L，→）是一个素L-代数，则I是L的L-理想当且仅当I满足条件（5）和（6）.

事实上，必要性显然.

充分性 素L-代数当中的→由注1.2给出，设I满足条件（5）和（6），只需证I满足条件（7）和（8）.对于条件（7），设x∈I，y∈L，当x≤y时，有

（x→y）→y=1→y=y，

由条件（5）和（6）可知，I是一个升集，所以

y=（x→y）→y∈I;

当x≤/y时，有

（x→y）→y=y→y=1∈I.

因此，满足条件（7）.对于条件（8），因为y→（x→y）=1y≤x→y，即满足条件（9），所以满足条件（8）.因此，I是L的L-理想.进一步地，当L是一个格素L-代数，则它的升集与L-理想是一样的.事实上，由上面论述可知，L-理想是一个升集.反过来，设A是L的任意一个升集，则A=A↑={y∈L|（x∈A）y≥x}，因为1∈A，即满足条件（5）.又因为x∈A，x≤y蕴含y∈A，即满足条件（6），故A是一个L-理想.又因为L的格滤子都是升集而且对∧封闭，故每一个格滤子都是L-理想，但反之未必.

反例 2.1

设（M5，→），其中→由注1.2给出，从而可知（M5，→）是一个素L-代数，此时{a，b，1}是升集，但是a∧b=0{a，b，1}，对∧不封闭，故{a，b，1}不是格滤子（图1）.

命题 2.3

设L是一个MV-代数，由文献[11]的定理4.8可知，L是一个L-代数，其中x→y：=xy，则I是L的L-理想当且仅当I满足条件（5）和（6）.

证明

必要性 显然.充分性 设I满足条件（5）和（6），只需证I满足条件（7）和（8）.对于条件（8），因为

x→（y→x）=x（yx）=

（xx）y=1y=1，

所以，对x，y∈L，有x≤y→x成立，即满足条件（9），故满足条件（8）.对于条件（7），设x∈I，y∈L，又因为

（x→y）→y=（xy）y=

（yx）x=

（y→x）→x，

由条件（8）可知，（y→x）→x∈I，即满足条件（7），因此I是L的L-理想.

例 2.2

设L是一个MV-代数，则它的L-理想都是格滤子，但反之未必.事实上，设I是L的一个L-理想，x∈I，y∈L且x≤y，则有x→y=1∈I.由条件（5）和（6）可知y∈I，所以I是升集.设x，y∈I，由引理2.2和条件（8）可知x→（x∧y）=x（x∧y）=（xx）∧（xy）=x→y∈I成立.再由条件（6）可知x∧y∈I，即对∧封闭，所以I是格滤子.

反例 2.2

已知在实单位区间[0，1]={x∈R|0≤x≤1}上定义运算xy=min{1，x+y}和x=1-x，则[0，1]=（[0，1]，，，0）是一个MV-代数.因为实单位区间[0，1]是一个链，所以由引理2.3可知[12，1]是升集，也是格滤子.

设x∈[12，1]，因为x→y=min{1，1-x+y}∈[12，1]，但是当x=12，y=0时，有x→y=12→0=12∈[12，1]，此时y=0[12，1]，即不满足条件（6），所以[12，1]是格滤子，但不是L-理想.

命题 2.4

设L是一个蕴含格，则I是L的L-理想当且仅当I满足条件（5）和（6），并且L的L-理想与滤子是一样的.

证明

必要性 显然.充分性 设I满足条件（5）和（6），只需证I满足条件（7）和（8），因为蕴含格满足条件（9），故满足条件（8）.对于条件（7），设x∈I，y∈L，由式（23）可得

x→（（x→y）→y）=（x→y）→（x→y）=1∈I，则由条件（6）可知（x→y）→y∈I，即条件（7）成立，所以I是L的L-理想.

下一步证明L的L-理想与滤子是一样的.首先，设I是L的一个L-理想，x∈I，y∈L且x≤y，则有x→y=1∈I.由条件（5）和（6）可知y∈I，所以I是升集.设x，y∈I，由式（25）和条件（8）可知

x→（x∧y）=x→y∈I，

由条件（6）可知x∧y∈I，即I对∧封闭，所以I是格滤子.反过来，设F是L的一个格滤子，则有1∈F，满足条件（5），设x，x→y∈F，则由式（27）可知

x∧（x→y）=x∧y∈F，且x∧y≤y，再由F是滤子可知y∈F，则满足条件（6），所以F是L-理想.

命题 2.5

设L是一个具有最大元1的格，→是L上的一个二元运算，且对x，y，z∈L满足

x∧y≤zx≤y→z，

（39）

则L是一个蕴含格.

证明

设L是一个具有最大元1的格，x，y，z∈L，则由条件（39）可知，y→z是集合{a∈L|a∧y≤z}上的最大元，即满足定义2.2，故L是一个蕴含格.

定理 2.1

L是一个蕴含格当且仅当L是一个∧-闭的格L-代数且I（L）=F（L）.

证明

设L是一个蕴含格，由定义1.7和命题2.1可知，L是一个∧-闭的Hilbert代数.因为每一个Hilbert代数都是L-代数，所以L是一个∧-闭的L-代数.又因为L在偏序下作成一个格，所以L是一个∧-闭的格L-代数，再由命题2.4可知，必要性是成立的.下证充分性.设L是一个∧-闭的格L-代数且I（L）=F（L）.由命题2.5可知，只需证明x，y，z∈L，有x∧y≤zx≤y→z成立.设x，y，z∈L，x∧y≤z，则有y→（x∧y）≤y→z.因为L是一个∧-闭的L-代数，所以（16）式在L中是成立的，再由式（16）可知y→（x∧y）=（y→x）∧（y→y）=y→x，又因为x^↑是一个格滤子，且I（L）=F（L），则x^↑也是一个L-理想，所以由条件（8）可得y→x∈x^↑，进而有y→z∈x^↑，即x≤y→z.另一方面，设x，y，z∈L，x≤y→z，因为x∧y≤x≤y→z，所以

y→z∈（x∧y）^↑， y∈（x∧y）^↑.

又因为（x∧y）^↑是一个滤子，因此也是一个L-理想，由条件（6）可知，z∈（x∧y）^↑，即x∧y≤z.因此，x∧y≤zx≤y→z，故L是一个蕴含格.

3 LE-L-代数的理想与同余

定义 3.1^[6]

一个效应代数是一个集合E带有2个特殊元0，1∈E，称为零和单位，并且有一个部分二元运算，使得对p，q，r∈E满足以下条件：

1） （交换律） 如果pq有定义，那么qp有定义，并且pq=qp;

2） （结合律） 如果pq有定义，（pq）r有定义，那么qr和p（qr）有定义，而且有p（qr）=（pq）r;

3） （正交补律） 对每一个p∈E都存在唯一一个q∈E使得pq有定义，并且pq=1，这个唯一的元q记为p′并且称为p的正交补;

4） （0-1律） 如果p1有定义，那么p=0.

如果ab有定义，那么称a和b是正交的，记为a⊥b.

设（E，，0，1）是一个效应代数.在E上定义一个二元运算

a≤b如果对于某个c∈E，有ca=b.

（40）

这是在E上的一个偏序，使得0和1分别是E的最小元和最大元.如果偏序集（E，≤）是一个格，那么E被称为一个格序效应代数.

效应代数与D-posets等价^[6].

定义 3.2^[6]

D-poset是一个系统（P，≤，，0，1），其中P是一个具有最小元0和最大元1的偏序集，是P上的一个部分二元运算，对a，b，c∈P满足以下条件：

1） ba被定义当且仅当a≤b;

2） a0=a;

3） 如果a≤b≤c，则cb≤ca并且（ca）（cb）=ba.

如果（P，≤）是一个格，称P是一个D-lattice.

效应代数与D-posets的对应关系如下：如果（E，，0，1）是一个效应代数，则（E，，0，1）是一个D-poset，其中

ab：[KG-*1/5]=[KG-*1/5]ca[KG-*1/5]=[KG-*1/5]bc;

反过来，如果（P，≤，，0，1）是一个D-poset，则（P，，0，1）是一个效应代数，其中

ab：=cb≤c， cb=a.

引理 3.1^[21]

设L是一个格序效应代数，a，b∈L，则具有以下性质：

ab有定义a≤b′并且a≤b′a≤ab，（ab）a=b;

（41）

a≤bb′≤a′;

（42）

aa′=1;

（43）

（a∧b）′=a′∨b′，（a∨b）′=a′∧b′;（44）

a≤bb=a（ba）;

（45）

如果a≤b′，那么（ab）′=a′b=b′a;

（46）

a≤b≤c′ac≤bc，（bc）（ac）=ba.

（47）

定义 3.3^[10]

设（E，，0，1）是一个效应代数，如果≠IE使得对a，b∈E满足以下条件：

如果a，b∈I并且a⊥b，则ab∈I;

（48）

如果a∈I并且b≤a，则b∈I，

（49）

称I是E的一个理想.

给定一个理想I，可以定义效应代数E上的一个关系～I如下：

a～Ib则存在i，j∈I：i≤a，j≤b，ai=bj.

（50）

定义 3.4^[10]

设（E，，0，1）是一个效应代数，如果E的一个理想I，使得对a，c，d∈E满足：

如果a∈I，cd≥a，则存在h，k∈I，h≤c，k≤d，而且hk≥a，

（51）

其中c⊥d，则称理想I为Riesz理想.

设L是一个效应代数，将L的所有Riesz理想的集合记为RI（L）.

定义 3.5^[10]

设（E，，0，1）是一个效应代数，则E上的同余是一个等价关系～，使得对a，a1，b，b1∈E满足以下条件：

如果a1～a，b1～b，a⊥b，并且a1⊥b1，则a1b1～ab;

（52）

如果a1～a，a⊥b，则存在b0∈E，而且a1⊥b0，b0～b.

（53）

命题 3.1^[10]

给定效应代数E上的一个同余～，则以下条件对a，a1，b，b1，c∈E成立：

如果a～b，则a′～b′;

（54）

如果a1～a，a⊥b，a1⊥b1，并且a1b1～ab，则b1～b;

（55）

如果b⊥c，bc～a，则存在b0，c0∈E，b0⊥c0，b0c0=a，使得b0～b，c0～c.

（56）

定义 3.6^[10]

设（E，，0，1）是一个效应代数，如果E上的同余～对a，b∈E满足以下条件：

如果a～b，则存在c∈E使得c⊥a，c⊥b，并且ac～1～bc，

（57）

则称同余～为Riesz同余.

引理 3.2^[10] 1） 如果I是一个Riesz理想，则～I是一个Riesz同余，而且[0]～I=I;

2） 如果～是一个Riesz同余，则I=[0]～是一个Riesz理想，而且～I=～;

3） 赋予每个Riesz同余0等价类的映射是所有Riesz同余格和Riesz理想格之间的序同构，它的逆映射是IMT ExtraaA@～I.

定义 3.7

设L是一个格序效应代数，若一个集合FL满足以下条件：

1∈F;

（58）

如果x∈F，x≤y，则y∈F;

（59）

如果x，y∈F，y′≤x，则（x′y′）′=xy′∈F，

（60）

称F是一个格序效应代数滤子.

引理 3.3^[11]

一个格序效应代数（L，，0，1）可以看成一个LE-L-代数，其中

x→y：=（x∧y）x，x′=x→0=x.

反过来，一个LE-L-代数（L，→，0，1）可以被转化为一个格序效应代数，其中xy有定义当且仅当x≤y′，xy：=y′→x，且在LE-L-代数中有

x∧y=（（x→y）→x′）′，x∨y=（x′→y′）→x.

由文献[5]的命题12可知，对于一个格序效应代数L来说，IL是L的L-理想当且仅当I是一个满足条件（6）的不变L-子代数.下面给出另一种证明.

命题 3.2

设L是一个格序效应代数，则I是L的L-理想当且仅当I满足（5）、（6）和条件

x∈Iy→x∈I.

（61）

证明

必要性 显然.充分性 设I满足条件（5），（6）和（61），只需证明I满足条件（7）和（8）.首先考虑条件（8），设x∈I，y∈L，由文献[11]的定理3.3可知

（y→x）→[y→（x→y）]=（y∧x∧（x→y））（y′∨x′）=

（x∧y）（x∧y）′=1∈I.

又因为y→x∈I，再由条件（6）可知y→（x→y）∈I，所以满足条件（8）.

其次考虑条件（7）.设x∈I，y∈L，因为

（x→y）→y=[（（x∧y）x′）∧y][（x∧y）x′]′.

利用式（47）可得（x∧y）[（x∧y）x′]′≤（x→y）→y，再利用式（45）和（46）可得

（x∧y）[（x∧y）x′]′=（x∧y）[x（x∧y）]=x，

即x≤（x→y）→y，所以（x→y）→y∈I，故满足条件（7），因此I是L的L-理想.

命题 3.3

设L是一个LE-L-代数，则L满足条件（10）.

证明

设（x→y）～（y→x）～1，则

x∧y=（（x→y）→x′）′～（1→x′）′=x.

因为y′=1→y′～（y→x）→y′=（x∧y）′，所以y～y∧x，即x～x∧y～y.反过来，设x～y，则有

1=x→x～y→x， 1=x→x～x→y，

所以1～（y→x）～（x→y）.因此L满足条件（10）.

推论 3.1

设L是一个格序效应代数，则它的L-理想与L-同余是序同构的.

证明

由命题3.3和推论1.1可知，格序效应代数L的L-理想与L-同余是一一对应的.其中对应关系由以下映射给出，设α：IMT ExtraaA@θI是I（L）到Con（L）上的一个映射，β：θMT ExtraaA@[1]θ是Con（L）到I（L）上的一个映射，其中aθIba→b，b→a∈I，[1]θ={x∈L|xθ1}，αβ=1Con（L），βα=1I（L）.下证α和β均为保序映射.设I，J∈I（L），IJ，因为aθIba→b，b→a∈I，从而推出a→b，b→a∈JaθJb，即θIθJ，所以α是保序的.设θ1，θ2∈Con（L），θ1θ2，因为a∈[1]θ1（a，1）∈θ1，又因为θ1θ2，所以[1]θ1[1]θ2，所以β是保序的.因此，L的L-理想与L-同余是序同构的.

注 3.1

由引理3.2可知，在格序效应代数中，Riesz理想与Riesz同余之间存在一个序同构.根据引理3.3及推论3.1，从另一个角度给出了格序效应代数中的L-理想与L-同余是同构的.下面考虑格序效应代数（LE-L-代数）中的Riesz理想与L-理想，Riesz同余与L-同余之间的关系.

命题 3.4

设L是一个格序效应代数，则它的L-理想都是格序效应代数滤子.

证明

设I是L的一个L-理想，则由条件（5）和（6）可知，I满足定义3.7中的条件（58）和（59）.下证条件（60）.设x，y∈I且y′≤x，则由式（45）和（46）可得

x→（x′y′）′=[x∧（x′y′）′]x′=

（x′y′）′x′=y∈I，

由条件（6）可知（x′y′）′∈I，所以I是格序效应代数滤子.

命题 3.5

设L是一个格序效应代数，则格序效应代数滤子F是L-理想当且仅当x∈F（x∧y）y′∈F成立.

证明

必要性 设I是L的一个L-理想，由命题3.4可知I是格序效应代数滤子.当x∈I时，由条件（61）可知y→x=（y∧x）y′∈I.

充分性 设F是L的一个格序效应代数滤子，且满足x∈F（x∧y）y′∈F，则1∈F.设x，x→y∈F，则因为x→y=（x∧y）x′≥x′，所以由式（42）可知（x→y）′≤x.由条件（60）可知

[（x→y）′x′]′=（x→y）x′=

[（x∧y）x′]x′=x∧y∈F.

又因为x∧y≤y，所以y∈F.设x∈F，因为

y→x=（y∧x）y′∈F，

由命题3.2可知，F是L的L-理想.

命题 3.6

设L是一个格序效应代数，则L的L-同余与Riesz同余是一样的.

证明

必要性 设～是L的一个L-同余，a1～a，b1～b，a⊥b，并且a1⊥b1，则因为ab=b′→a，a1b1=b′1→a1，又因为a1～ab′1→a1～b′1→a～b′→a，所以a1b1～ab.设a1～a，a⊥b，则令b0=b∧a′1，则b0⊥a1，由L-同余是格同余可知

b0=b∧a′1～b∧a′=b.

设a～b，则令c=a′∧b′，从而得到c⊥a，c⊥b和c～a′～b′.由条件（52）可知ac～aa′=1， bc～bb′=1.因此，～是一个Riesz同余.

充分性 设～是L的一个Riesz同余，a～b，则有a′～b′.因为a→c=（a∧c）a′，b→c=（b∧c）b′，由条件（52）可知（a→c）～（b→c）.类似可得（c→a）～（c→b），故～是一个L-同余.

定理 3.1

设L是一个格序效应代数，则L的Riesz理想格RI（L）与L-理想格I（L）是序同构的.

证明

首先证明I是Riesz理想蕴含I′={a′|a∈I}是L-理想.设I是一个Riesz理想，由引理3.2可知，～I是一个Riesz同余，再由命题3.6可知，～I是一个L-同余，由命题1.1可知[1]～I是一个L-理想.只需证[1]～I=I′，因为

[1]～I={a∈L|a～I1}=

{a∈L|存在i，j∈I，i≤a，j≤1，ai=1j}，

设a∈[1]～I，则存在

i，j∈I， i≤a， j≤1，ai=1j=j′，

所以ia′=j，即a′≤j∈I.由定义3.3可知a′∈I，所以a∈I′，即[1]～II′.反过来，设a∈I′，则存在a′∈I，0∈I，0≤a，a′≤1使得a0=a=1a′，所以a～I1，即a∈[1]～I，所以I′[1]～I.因此，[1]～I=I′，即I′是L-理想.

接下来证明F是L-理想蕴含F′={c′|c∈F}是Riesz理想.设F是一个L-理想，则θF（即xθFyx→y，y→x∈F）是一个L-同余，由命题3.6可知，θF是一个Riesz同余，由引理3.2可知[0]θF是一个Riesz理想.只需证F′=[0]θF，因为

[0]θF={b∈L|b～θF0}=

{b∈L|b→0∈F}=

{b∈L|b′∈F}=F′，

所以F′是Riesz理想.设α：IMT ExtraaA@I′是RI（L）到I（L）上的一个映射，β：FMT ExtraaA@F′是I（L）到RI（L）上的一个映射，其中I′={a′|a∈I}， F′={c′|c∈F}.

再证α与β是互逆的，设F∈I（L），因为

（αβ）（F）=α（β（F））=α（F′）=F″=F，

所以αβ=1I（L）.类似可证，βα=1RI（L）.下证α和β均为保序映射.设I，J∈RI（L），且IJ，设m∈I′，则m′∈IJ，所以m∈J′，即I′J′，所以α是保序的.反过来，设F1，F2∈I（L），且F1F2，设n∈F′1，则n′∈F1F2，所以n∈F2′，即F′1F2′，所以β是保序的.因此，L的Riesz理想格RI（L）与L-理想格I（L）是序同构的.

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Notes on" L-Ideals of L-Algebras

YIN Liyun， ZHONG Chen， WU Yali

（School of Mathematics and Science， Hebei GEO University， Shijiazhuang 050031， Hebei）

It is well known that many logical algebras can be regarded as L-algebras. In this paper， we discusses some special L-algebras and give the relation between L-ideals and lattice filters. Moreover， we characterize" a class of lattice L-algebras that make the L-ideal sets equal to lattice filter sets， and where an equivalent characterization between L-algebras and implicative lattices is also given. Furthermore， we give the equivalent characterizations of" ideals and L-ideals of lattice-ordered effect algebras and as well as its congruences and L-congruences.

L-algebra; lattice-ordered effect algebra; L-ideal; implicative lattice; filter

2020 MSC：03G10; 03G12; 06B10

（编辑 郑月蓉）