EBL-代数上的蕴涵滤子与正蕴涵滤子

左卫兵，韩 睿

(华北水利水电大学 数学与统计学院，河南 郑州 450046)

0 引言

逻辑代数是研究非经典逻辑系统的重要工具，包括MV-代数、BL-代数、R0-代数、剩余格等等. MV-代数是著名逻辑学家C C Chang[1]为解决ukasiewicz多值逻辑系统的完备性引入的一种代数体系. BL-代数是Hájek P[2]为了给出基本逻辑完备性的代数证明提出的代数结构. 已有的研究结果表明[2-3]，这两种逻辑代数都是基于剩余格再附加上某些条件得到的代数结构. MV-代数是特殊的BL-代数：满足对合性的BL-代数即为MV-代数. MV-代数的研究得以广泛发展后，不少学者基于不同的角度拓展了MV-代数，其中A等[4]利用广义Boolean代数的定义扩展了MV-代数，并将其称为EMV-代数，同时探究了EMV-代数的性质以及结构特征，形成了基本的理论框架. EMV-代数没有定义最大元，在EMV-代数M中，对于M的任意幂等元a，[0,a]构成了MV-代数. 文献[5]采用类似的方法，拓展了BL-代数，引入了EBL-代数的概念，研究了它的结构性质，刻画了它的特征定理. 类似地，在EBL-代数A中，对于A的任意幂等元a，[0,a]构成了BL-代数.

在研究逻辑代数的过程中，滤子作为一个工具性概念发挥了不可替代的作用. 目前，在BL-代数、剩余格等代数系统中，这方面的研究工作已经获得了很多有价值的成果[6-14]. EMV-代数[4]和EBL-代数[5]上也分别引入了滤子的概念，讨论了滤子的一些基本性质，但对于具体滤子没有做更多深入地探讨. 在此背景下，本文在文献[5]的基础上，在EBL-代数中定义了Boolean滤子、蕴涵滤子、正蕴涵滤子等概念，得到了它们的一系列等价刻画，并讨论了它们的相互关系，证明了正蕴涵滤子是蕴涵滤子以及Boolean滤子和正蕴涵滤子的等价性. 同时，通过滤子构建了同余关系，并从商代数的角度得到了滤子的相关结论.

1 预备知识

定义1[2](2,2,2,2,0,0)型代数系统(A,∨,∧,⊙,→,0,1)称为BL-代数，如果

(1) (A,∨,∧,0,1)是有界格；

(2) (A,⊙,1)是交换幺半群；

(3) 对任意x,y,z∈A，x⊙y≤z⟺x≤y→z；

(4) 对任意x,y∈A，x∧y=x⊙(x→y)；

(5) 对任意x,y∈A，(x→y)∨(y→x)=1.

在BL-代数A中，若∀x∈A，有x--=x成立，则A称为MV-代数.其中，x-=x→0.

命题1[2,6,16,17,18,19]设A是BL-代数，则对任意x,y,z∈A，以下性质成立：

(1)x≤y⟺x→y=1；

(2)x→(y→z)=(x⊙y)→z=y→(x→z)；

(3) (x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)，(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z)；

(4) 若x≤y，则y→z≤x→z，z→x≤z→y，x⊙z≤y⊙z；

(5) 1→x=x，x→x=1，x→1=1，x≤x--，x---=x-，x--≤x-→x；

(6)x⊙y≤x∧y，x⊙0=0；

(7)x⊙(y∨z)=(x⊙y)∨(x⊙z)，x⊙(y∧z)=(x⊙y)∧(x⊙z)；

(8)y≤(y→x)→x，x≤y→x；

(9)x→y≤(y→z)→(x→z)，y→x≤(z→y)→(z→x)；

(10)x∨y=[(x→y)→y]∧[(y→x)→x]；

(11) (x∧y)n=xn∧yn，(x∨y)n=xn∨yn，xm∨yn≥(x∨y)mn.

定义2[5](2,2,2,0)型代数系统(A,∨，∧,⊙,0)称为EBL-代数，如果

(1) (A,∨,∧,0)是具有最小元的分配格；

(2) (A,⊙,0)是交换半群，0是中性元素；

(3) 对任意a,b∈I(A)且a≤b，任意x,y∈[a,b]，元素x→a,by=∨{z∈[a,b]|x⊙z≤y}存在，且([a,b],∨,∧,⊙,→a,b,a,b)是BL-代数；

(4) (A,∨,∧,⊙,0)有足够多的幂等元，即对任意x∈A，存在a∈L(A)，使得x≤a.

注：(1) 对于半群(A,⊙)中的元素a，如果满足a⊙a=a，则称其为幂等元.I(A)表示A中所有幂等元的集合.

(2) 用→b来表示→0,b.

命题2[5]如果(A,∨,∧,⊙,→,0,1)是BL-代数，则(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代数.

命题3[5]设(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代数，则对任意a,b∈I(A)且a≤b，以下性质成立：

(1) ∀x,y∈[0,a]，x→by=(x→ay)∨(a→b0)；

(2) ∀x,y∈[0,a]，x→ay≤x→by.

命题4设A是EBL-代数，则对任意x,y,z∈A,a,b∈I(A)且x,y,z≤a，x,y,z≤b，有y⊙(x→az)=y⊙(x→bz).

证明与文献[5]命题3.12(i)的证明类似，略.

定义3[5]设F为EBL-代数A的非空子集，F称为滤子，如果

(1) ∀x,y∈A，若x≤y，且x∈F，则y∈F；

(2) 若x,y∈F，则x⊙y∈F.

命题5设F为EBL-代数A的非空子集，则F是A的滤子当且仅当

(1) ∃x∈A，∀a∈I(A)且x≤a，有a∈F；

(2) ∀x,y∈A，∀a∈I(A)且x,y≤a，若x∈F,x→ay∈F，则y∈F.

证明必要性.由于F是非空子集，则存在x∈F.∀a∈I(A)且x≤a，由F是滤子，知a∈F.设x∈F，x→ay∈F，则x⊙(x→ay)∈F.又x⊙(x→ay)≤y，因此y∈F.

充分性.设y,z∈A.根据定义2以及(1)，知存在c∈I(A)∩F，使得y∨z∨x≤c，从而y,z,x≤c.在BL-代数([0,c],∨,∧,⊙,→c,0,c)中，设y∈F，y≤z，由命题1(1)，得y→cz=c∈F.再由(2)得，z∈F.再设y,z∈F，根据命题1(2)(5)，y→c(z→c(y⊙z))= (y⊙z)→c(y⊙z)=c∈F.由(2)得，z→c(y⊙z)∈F，再由(2)得，y⊙z∈F.即证F是A的滤子.

推论1若F是EBL-代数A的滤子，则对任意x∈A，存在a∈I(A)∩F，使得x≤a.

2 EBL-代数上的Boolean滤子

首先给出素滤子的定义以及相关结论.

定义4设F是EBL-代数A的滤子，若∀x,y∈A，∃a∈I(A)且x,y≤a，有x→ay∈F或y→ax∈F，则称F为A的素滤子.

定理1设F为EBL-代数A的滤子，F是素的当且仅当∀x,y∈A，若x∨y∈F，则x∈F或y∈F.

证明必要性.设x∨y∈F，其中x,y∈A.因为F是素的，所以存在a∈I(A)且x,y≤a，使得x→ay∈F或y→ax∈F.若y→ax∈F，由命题1(3)(5)知，

(x∨y)→ax=(x→ax)∧(y→ax)=
a∧(y→ax)=y→ax∈F.

又因为F是滤子，x∨y∈F，所以x∈F.同理，若x→ay∈F，根据(x∨y)→ay∈F，可得y∈F.

充分性.设x,y∈A.因为F是滤子，根据推论1，∃a∈I(A)∩F使得x∨y≤a，从而x,y≤a.在BL-代数([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)中，因为(x→ay)∨(y→ax)=a∈F，由题设得x→ay∈F或y→ax∈F.即证.

定义5[5]设F为EBL-代数A的滤子.若∀x∈AF，有〈F∪{x}〉=A，则称F是极大滤子.

引理1[5]设F为EBL-代数A的真滤子，则

(1) ∀x∈A，〈F∪{x}〉={z∈A|z≥y⊙xn,∃n∈N,y∈F}；

(2)F是极大的当且仅当∀x∉F,∃n∈N,b∈I(A)且x≤b，使得xn→b0∈F.

引理2设F是EBL-代数A的真滤子且a,b∈A，则〈F∪{a}〉∩〈F∪{b}〉=〈F∪{a∨b}〉.

证明设c∈〈F∪{a}〉∩〈F∪{b}〉，则存在n1,n2∈N，f1,f2∈F，使得f1⊙an1≤c且f2⊙bn2≤c.令p=f1⊙f2，则p∈F.根据命题1(6)，

(p⊙a)n1=(pn1⊙an1)≤f1⊙an1≤c，
(p⊙b)n2=(pn2⊙bn2)≤f2⊙bn2≤c.

再由命题1(7)(11)得

c≥(p⊙a)n1∨(p⊙b)n2≥
((p⊙a)∨(p⊙b))n1n2=
(p⊙(a∨b))n1n2=pn1n2⊙(a∨b)n1n2.

显然pn1n2∈F，c∈〈F∪{a∨b}〉，所以〈F∪{a}〉∩〈F∪{b}〉⊆〈F∪{a∨b}〉.又因为反包含是必然的，因此〈F∪{a}〉∩〈F∩{b}〉=〈F∪{a∨b}〉.

推论2设F为EBL-代数A的真滤子，a,b∈A.如果a∨b∈F，则

〈F∪{a}〉∩〈F∪{b}〉=F.

定义6设F是EBL-代数A的滤子.若∀x∈A，∀a∈I(A)∩F且x≤a，有x∨x-a∈F，则称F为Boolean滤子.其中，x-a=x→a0.

定理2设F为EBL-代数A的滤子，则下列条件等价：

(1)F是极大的且Boolean的滤子；

(2)F是素的且Boolean的滤子；

(3)F是真滤子且∀x∈A,∀a∈I(A)∩F使得x≤a，有x∈F或x-a∈F.

证明(1)⟹(2).设F是EBL-代数A的极大滤子，且x∨y∈F，其中x,y∈A.若x∉F且y∉F，由推论2知，〈F∪{x}〉∩〈F∪{y}〉=F.又F是极大滤子，则〈F∪{x}〉=〈F∪{y}〉=A.于是有A=F，矛盾.因此有x∈F或y∈F，即证F是素滤子.

(2)⟹(3).因为F是Boolean滤子，所以∀x∈A，∀a∈I(A)∩F且x≤a，有x∨x-a∈F.又因为F是素的，因此x∈F或x-a∈F，证毕.

(3)⟹(1).根据条件(3)，可得∀x∈A,∀a∈I(A)∩F且x≤a，有x,x-a≤x∨x-a∈F，所以F是Boolean滤子.又因为F是滤子，根据推论1，∀x∈A，∃c∈I(A)∩F且x≤c.由(3)知，x∈F或x→c0∈F.即∀x∉F,∃n=1∈N,c∈I(A)且x≤c，有xn→c0∈F成立.由引理1即知，F是极大滤子.证毕.

定义7[5]设(A,∨,∧,⊙,0)为EBL-代数，A上的等价关系称为同余，如果

(1)θ对∨，∧和⊙是封闭的；

(2) ∀a∈I(A)，θ∩([0,a]×[0,a])是BL-代数([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)上的同余.

命题6设F为EBL-代数A的滤子，定义A上的关系θF如下：(x,y)∈θF当且仅当∃a∈I(A)且x,y≤a，有x→ay,y→ax∈F，则θF是A上的同余.

证明与文献[16]定理6.5的证明类似，略.

设F是EBL-代数A的滤子，定义A/θF={x/θF|x∈A}，其中x/θF={y∈A|(x,y)∈θF}.在A/θF上定义∨,∧,⊙如下：

x/θF∨y/θF=(x∨y)/θF,
x/θF∧y/θF=(x∧y)/θF,
x/θF⊙y/θF=(x⊙y)/θF.

由文献[5]可知(A/θF,∨,∧,⊙,0/θF)是EBL-代数，下用A/F表示A/θF.

定理3设F为EBL-代数A的滤子，则下列条件等价：

(1)F是EBL-代数A的Boolean滤子；

(2)A/F是EBL-代数，∀x∈A，∀a∈I(A)∩F且x≤a，有(x∨x-a)/θF=a/θF.

证明(1)⟹(2).设F是Boolean滤子，则∀x∈A，∀a∈I(A)∩F且x≤a，有x∨x-a∈F.在→a下，由命题1(1)(5)得

(x∨x-a)→aa=a∈F，
a→a(x∨x-a)=x∨x-a∈F.

所以(x∨x-a,a)∈θF，因此(x∨x-a)/θF=a/θF.

(2)⟹(1).由(2)知，∀x∈A,∀a∈I(A)∩F且x≤a，有(x∨x-a)/θF=a/θF.即(x∨x-a,a)∈θF.则∃b∈I(A)且x∨x-a,a≤b，有a→b(x∨x-a)∈F.又a∈F，F是滤子，所以x∨x-a∈F.因此F是Boolean滤子.

3 EBL-代数上的蕴涵滤子

定义8设F为EBL-代数A的非空子集，F称为蕴涵滤子，如果

(1) ∃x∈A，∀a∈I(A)且x≤a，有a∈F；

(2) ∀x,y,z∈A，∀a∈I(A)且x,y,z≤a，若x→a(y→az)∈F，x→ay∈F，则x→az∈F.

命题7EBL-代数A的蕴涵滤子是滤子，反之不成立.

证明设x,x→ay∈F，其中x,y∈A，a∈I(A)且x,y≤a.在BL-代数([0,a],∨,∧, ⊙,→a,0,a)中，根据命题1(5)得a→a(x→ay)=x→ay∈F，a→ax=x∈F.再根据蕴涵滤子定义，有y=a→ay∈F，因此F为滤子.

例1设A={0,m,n,1}，定义⊙,→1如下：

☉0mn100000m00mmn0mnn10mn1

,

→10mn101111mm111n0m1110mn1

则(A,∨,∧,⊙,→1,0,1)是BL-代数[7]，从而(A,∨,∧,⊙,0)是EBL-代数.可以验证F={n,1}是滤子，但不是蕴涵滤子.因为m→1(m→10)=1∈F，m→1m=1∈F，而m→10=m∉F.

定理4设F为EBL-代数A的非空子集，则以下条件等价：

(1)F是蕴涵滤子；

(2)F是滤子，∀x,y∈A,∀a∈I(A)且x,y≤a，若y→a(y→ax)∈F，则y→ax∈F；

(3)F是滤子，∀x,y,z∈A,∀a∈I(A)且x,y,z≤a，若z→a(y→ax)∈F，则(z→ay)→a(z→ax)∈F；

(4)F是滤子，∀x,y,z∈A,∀a∈I(A)且x,y,z≤a，若z→a(y→a(y→ax))∈F，z∈F，则y→ax∈F.

证明(1)⟹(2).已知F为蕴涵滤子，则F是滤子.设y→a(y→ax)∈F，其中x,y∈A，a∈I(A)且x,y≤a.由y→a(y→ax)≤a，可得a∈F.根据命题1(5)，y→ay=a∈F.由蕴涵滤子定义即得y→ax∈F.

(2)⟹(3).设z→a(y→ax)∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.在BL-代数([0,a],∨,∧,⊙,→a,0,a)中，根据命题1(2)(4)(9)得

z→a(z→a((z→ay)→ax))=
z→a((z→ay)→a(z→ax))≥z→a(y→ax).

又F是滤子，z→a(y→ax)∈F，则z→a(z→a((z→ay)→ax))∈F.再由(2)得，z→a((z→ay)→ax)∈F.故(z→ay)→a(z→ax)=z→a((z→ay)→ax)∈F.

(3)⟹(4).设z,z→a(y→a(y→ax))∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.因为F是滤子，所以y→a(y→ax)∈F.由(3)得，(y→ay)→a(y→ax)∈F，即a→a(y→ax)=y→ax∈F.

(4)⟹(1).设z→a(y→ax)∈F，z→ay∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.根据命题1(2)(9)，

z→a(y→ax)=y→a(z→ax)≤
(z→ay)→a(z→a(z→ax)).

又F是滤子，所以(z→ay)→a(z→a(z→ax))∈F.再由z→ay∈F及(4)可得z→ax∈F，即证F是蕴涵滤子.

引理3设F是EBL-代数A的滤子，则以下条件等价：

(1)F是蕴涵滤子；

(2) ∀x∈A,∀a∈I(A)∩F且x≤a，有x→ax2∈F.

证明(1)⟹(2).设F是蕴涵滤子.∀x∈A，∀a∈I(A)∩F且x≤a，由命题1(2)(5)，知x→a(x→ax2)=x2→ax2=a∈F，x→ax=a∈F.由定义8，即得x→ax2∈F.

(2)⟹(1).设x→a(y→az)∈F，x→ay∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.则a≥x→ay∈F.因此x→ax2∈F.又因为

(x→ay)⊙(x→a(y→az))⊙x2=
((x→ay)⊙x)⊙((x→a(y→az))⊙x)≤
y⊙(y→az)≤z，

所以(x→ay)⊙(x→a(y→az))≤x2→az.因此x2→az∈F，(x→ax2)⊙(x2→az)∈F.再由命题1(9)及定义1(3)得，

x→az≥(x→ax2)⊙(x2→az)∈F，

故F是A的蕴涵滤子.

定理5若F是EBL-代数A的Boolean滤子，则F是蕴涵滤子.

证明设F是A的Boolean滤子，则∀x∈A,∀a∈I(A)∩F且x≤a，有x∨(x→a0)∈F.根据命题1(2)(3)(5)，有

(x∨(x→a0))→a(x→ax2)=
(x→a(x→ax2))∧
((x→a0)→a(x→ax2))=
(x2→ax2)∧((x→a0)→a(x→ax2))=
a∧((x→a0)→a(x→ax2)).

因为0≤x2，由命题1(1)(4)，得x→a0≤x→ax2，(x→a0)→a(x→ax2)=a.因此(x∨(x→a0))→a(x→ax2)=a∧a=a∈F.又F是滤子，所以x→ax2∈F.再由引理3可得F是蕴涵滤子.

定理6设F为EBL-代数A的滤子，则下列条件等价：

(1)F是EBL-代数A的蕴涵滤子；

(2)A/F是EBL-代数，且对任意x∈A，x/θF=x2/θF.

证明(1)⟹(2).因为F是滤子，则∀x∈A，∃b∈I(A)∩F且x≤b.又因为F是蕴涵滤子，由引理3知，x→bx2∈F.再由命题1(1)(6)，可得x2→bx=b∈F.因此(x,x2)∈θF，故x/θF=x2/θF.

(2)⟹(1).设x→a(y→az)∈F，x→ay∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.由引理3证明知，

(x→ay)⊙(x→a(y→az))≤x2→az∈F.

又由(2)知，x/θF=x2/θF，即(x,x2)∈θF.则∃b∈I(A)且x,x2≤b，有x→bx2∈F.取c∈I(A)且a,b≤c，根据命题3(1)，有x→bx2≤x→cx2∈F，且x,x2,x2→az≤c.则由命题4可得，(x→ax2)⊙(x2→az)=(x→cx2)⊙(x2→az)∈F.再根据命题1(9)及定义1(3)，有(x→ax2)⊙(x2→az)≤x→az∈F.因此，F是蕴涵滤子.

4 EBL-代数上的正蕴涵滤子

定义9设F为EBL-代数A的非空子集，F称为正蕴涵滤子，如果

(1) ∃x∈A，∀a∈I(A)且x≤a，有a∈F；

(2) ∀x,y,z∈A，∀a∈I(A)且x,y,z≤a，若x→a((y→az)→ay)∈F，x∈F，则y∈F.

命题8EBL-代数A的正蕴涵滤子均为滤子.

证明设F为A的正蕴涵滤子，且x,x→ay∈F，其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.根据命题1(1)(5)，x→a((y→aa)→ay)=x→a(a→ay)=x→ay，所以x→a((y→aa)→ay)∈F.又因为F为A的正蕴涵滤子，x∈F，因此y∈F.

定理7EBL-代数A的正蕴涵滤子是蕴涵滤子，反之不成立.

证明设F为A的正蕴涵滤子，若x→a(y→az)∈F,x→ay∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.需证x→az∈F.先证(x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az)) ∈F.根据命题1(9)，((x→az)→az)→a(x→az)≥x→a(x→az).再由命题1(2)(4)(9)得，

(x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az))≥
(x→ay)→a(x→a(x→az))=
x→a((x→ay)→a(x→az))≥
x→a(y→az).

根据假设x→a(y→az)∈F，且F为滤子，因此(x→ay)→a(((x→az)→az)→a(x→az))∈F.又因为F是正蕴涵滤子，x→ay∈F，故x→az∈F.证毕.

例2设A=[0,1]，定义⊙,→1如下：

定理8设F是EBL-代数A的滤子，则F是正蕴涵滤子当且仅当∀x,y∈A，∀a∈I(A)且x,y≤a，若(x→ay)→ax∈F，则x∈F.

证明必要性.设(x→ay)→ax∈F，F是正蕴涵滤子，其中x,y∈A，a∈I(A)且x,y≤a.则F是滤子，由(x→ay)→ax≤a，得a∈F.根据命题1(5)，有a→a((x→ay)→ax)=(x→ay)→ax∈F，又F是正蕴涵滤子，所以x∈F.

充分性.设x∈F,x→a((y→az)→ay)∈F，其中x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.由F是滤子，知(y→az)→ay∈F.根据题设可得，y∈F.即证F是正蕴涵滤子.

定理9设F是EBL-代数A的蕴涵滤子，则F是正蕴涵滤子当且仅当∀x,y∈A，∀a∈I(A)且x,y≤a，若(x→ay)→ay∈F，则(y→ax)→ax∈F.

证明必要性.设F为正蕴涵滤子且(x→ay)→ay∈F，其中x,y∈A，a∈I(A)且x,y≤a.由命题1(8)知，x≤(y→ax)→ax，再根据命题1(2)(4)(9)，得((y→ax)→ax)→ay≤x→ay，

(x→ay)→ay≤
(y→ax)→a((x→ay)→ax)=
(x→ay)→a((y→ax)→ax)≤
(((y→ax)→ax)→ay)
→a((y→ax)→ax)∈F.

由定理8，即得(y→ax)→ax∈F.

充分性.设z→a((x→ay)→ax)∈F，z∈F，其中，x,y,z∈A,a∈I(A)且x,y,z≤a.下证x∈F.由题设F是蕴涵滤子，则F是滤子，(x→ay)→ax∈F.由命题1(8)，得x≤(x→ay)→ay，所以(x→ay)→a((x→ay)→ay)≥(x→ay)→ax∈F.又因为F是蕴涵滤子，由定理4知，(x→ay)→ay∈F.所以(y→ax)→ax∈F.根据命题1(4)(8)，y≤x→ay，(x→ay)→ax≤y→ax.又y→ax≤z→a(y→ax)，因此z→a(y→ax)≥(x→ay)→ax∈F.再由z∈F，F是滤子，可得y→ax∈F.从而由(y→ax)→ax∈F，知x∈F.即证.

引理4设F是EBL-代数A的滤子，则以下条件等价：

(1)F是正蕴涵滤子；

(2) ∀x∈A,∀a∈I(A)∩F且x≤a，有(x-a→ax)→ax∈F.

证明(1)⟹(2).设F是正蕴涵滤子.令α=(x-a→ax)→ax，其中x∈A,a∈I(A)∩F且x≤a.根据命题1(2)(5)(9)，有

(α→a0)→aα=(((x-a→ax)
→ax)→a0)→a((x-a→ax)→ax)=
(x-a→ax)→a((((x-a→ax)→ax)→a0)→ax)≥
(((x-a→ax)→ax)→a0)→ax-a=
(((x-a→ax)→ax)→a0)→a(x→a0)≥
x→a((x-a→ax)→ax)=
(x-a→ax)→a(x→ax)=
(x-a→ax)→aa=a∈F.

由定理8，即得α=(x-a→ax)→ax∈F.

(2)⟹(1).设(x→ay)→ax∈F，其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.下证x∈F.因为0≤y，根据命题1(4)，x→a0≤x→ay,(x→ay)→ax≤(x→a0)→ax=x-a→ax，故x-a→ax∈F.又(x→ay)→ax≤a，F是滤子，所以a∈F.由(2)知，(x-a→ax)→ax∈F，从而x∈F.即证F是正蕴涵滤子.

定理10若F是EBL-代数A的滤子，则F是正蕴涵滤子当且仅当F是Boolean滤子.

证明必要性.因为F是正蕴涵滤子，所以F是蕴涵滤子.由引理3、引理4知，∀x∈A,∀a∈I(A)∩F且x≤a，有x→ax2∈F,(x-a→ax)→ax∈F.又由命题1(2)(9)，得

(x→ax-a)→ax-a=
(x→a(x→a0))→a(x→a0)=
(x2→a0)→a(x→a0)≥x→ax2∈F.

所以根据命题1(10)，x∨x-a=((x→ax-a)→ax-a)∧((x-a→ax)→ax)∈F.即证F是Boolean滤子.

充分性.设F是Boolean滤子.则∀x∈A,∀a∈I(A)∩F且x≤a，由命题1(10)，知x∨x-a=((x→ax-a)→ax-a)∧((x-a→ax)→ax)∈F.因此(x-a→ax)→ax≥x∨x-a∈F.由引理4，即得F是正蕴涵滤子.

定理11设F为EBL-代数A的滤子，则下列条件等价：

(1)F是EBL-代数A的正蕴涵滤子；

(2)A/F是EBL-代数，且∀x,y∈A,∀a∈I(A)∩F使得x,y≤a，有x/θF=((x→ay)→ax)/θF.

证明(1)⟹(2).∀x,y∈A,∀a∈I(A)∩F且x,y≤a，因为y≥0，由命题1(4)，得(x-a→ax)→ax≤((x→ay)→ax)→ax.再由引理4，知(x-a→ax)→ax∈F，所以((x→ay)→ax)→ax∈F.在→a下，由命题1(8)，得x≤(x→ay)→ax.所以x→a((x→ay)→ax)=a∈F.从而(x,(x→ay)→ax)∈θF，故x/θF=((x→ay)→ax)/θF.

(2)⟹(1).设(x→ay)→ax∈F，其中x,y∈A,a∈I(A)且x,y≤a.下证x∈F.因为(x→ay)→ax≤a，F是滤子，所以a∈F.则由(2)可得，x/θF=((x→ay)→ax)/θF.因此，存在b∈I(A)且x,(x→ay)→ax≤b，有((x→ay)→ax)→bx∈F.又(x→ay)→ax∈F，故x∈F.即证F是正蕴涵滤子.

5 结语

本文在EBL-代数上引入了素滤子、Boolean滤子、蕴涵滤子、正蕴涵滤子的概念，研究了它们的性质，刻画了一系列等价条件，获得了这些滤子的相关结论. 同时，证明了正蕴涵滤子是蕴涵滤子，给出了蕴涵滤子成为正蕴涵滤子的条件，说明了Boolean滤子和正蕴涵滤子的等价性. 此外，通过滤子构建了EBL-代数上的同余关系，并从商代数的角度证明了上述滤子相应的性质. 相关结果丰富了EBL-代数上的滤子理论.