广义模糊变换及其在模糊插值推理中的应用

基于广义的模糊划分，给出广义模糊变换的表示公式，并刻画广义模糊变换的本质特征及广义逆模糊变换的逼近性质.在此基础上，针对TSK型稀疏规则库，设计一种基于广义模糊变换的TSK模糊插值推理方法，并讨论该方法的基本性质，最后通过2个实验与已有的方法进行比较，进一步说明本方法的有效性.

模糊划分; 广义模糊变换; TSK模糊系统; 模糊插值推理

O159 A 0261-09 02.011

函数逼近理论是数学领域的一个重要研究领域，许多经典的变换就是处理如何利用简单函数逼近一般的函数.在此基础之上，Perfilieva^[1]提出的模糊变换将经典的变换扩展到模糊集上，即实数空间上的连续函数集与有限维向量空间的相互转化，是一种基于模糊集的近似方法.近年来，模糊变换被广泛用于图像处理、数据分析、预测分析及偏微分方程求解等领域.模糊变换的核心是在给定论域上建立的模糊划分.在模糊变换相关的扩展研究中，Stefanini^[2]提出了一类特殊的模糊划分，并讨论了相应的模糊变换对于函数逼近产生的影响;Rafiezadeh等^[3]提出了一种加权模糊变换，用于处理用离散数据构造连续函数的问题;Korkidis等^[4]通过差分进化算法对模糊划分中模糊集的位置进行改进，提高了离散模糊变换的逼近精度;2018年，Pan等^[5]从模糊现象的本质出发提出了模糊集合的公理化定义，公理化模糊集合是对Zadeh意义下的模糊集的严格化、明确化、清晰化，且模糊集合产生于某个已知的模糊划分，基于模糊划分就可以给出公理化模糊集合的严格定义.

在实际生活中，由于人们对问题的认识不够深入、掌握的知识不够全面，只能形成稀疏的规则库，此时对于某些输入，已有的推理方法存在得不到任何推理结果的情况.为解决该类问题，许多学者提出了不同的模糊插值推理方法.李方轶等^[6]系统地疏理了基于Mamdani型稀疏规则库的插值推理方法;对于TSK型稀疏规则库，2017年，Li等^[7]首次提出了TSK模糊插值推理方法，但该方法得到的推理结果均为常值，这与实际情况不符;随后，Li等^[8]又提出了改进后的方法，即TSK+插值推理方法;在此基础上，通过利用规则库中的部分规则，Zhang等^[9]基于部分规则参与插值提出了CRC方法;杨文光等^[10]设计了分布参数系统的T-S型模糊插值推理的建模方法.尽管大量的推理方法已被提出，但研究发现在基于TSK型稀疏规则库的插值推理方法的研究中仍然存在推理结果误差较大的问题.

本文提出的广义模糊变换是基于Pan等在文献[5]中提出的用于构造公理化模糊集合的模糊划分，该模糊划分扩大了原有模糊划分的范围^[11-12]，随后给出了广义模糊变换一些新的性质、广义逆模糊变换的逼近性质及逼近精度.基于提出的广义模糊变换，针对TSK型稀疏规则库，本文提出了一种基于模糊变换的TSK插值推理方法，并通过2个实验验证了该方法的实用性和有效性.

1 预备知识

下面主要介绍后文所用到的一些概念、结论和符号.对于任意的n∈N+，用符号表示集合{1，2，…，n}，下面给出模糊划分的定义.

定义 1^[5]（模糊划分） 设U=[a，b]R，U上的一个模糊划分指的是具有如下形式的对象：

={A1，A2，…，An}， n∈N+，

其中

Ai={（x，μAi（x））|x∈U}， i∈，

函数μAi：U→[0，1]定义了元素x∈U关于类Ai的隶属度，并且满足下面的条件：

1） 对任意的x∈U，至少存在一个i∈使得μAi（x）gt;0;

2） 对任意的i∈，μAi是连续的;

3） 对任意的i∈，至少存在一个点x0∈U使得

μAi（x0）=1;

4） 对任意的i∈，如果在点x0∈U处满足μAi（x0）=1，那么，μAi在[a，x0]上不减，在[x0，b]上不增;

5） 对任意的x∈U，满足

0lt;μA1（x）+μA2（x）+…+μAn（x）≤1.

若把上述条件5）替换为：对任意的x∈U，满足

μA1（x）+μA2（x）+…+μAn（x）=1，则称是U上的正则模糊划分.

何红梅，等：广义模糊变换及其在模糊插值推理中的应用

注 1 文献[1]中的模糊划分（fuzzy partition）只是定义1中的一类特殊的正则模糊划分，即定义1是一种广义的模糊划分.

图1给出了相同论域上的一个非正则模糊划分和正则模糊划分的示例.

定义 2^[13-14] 设A是U=[a，b]上的一个模糊集，记

supp A={x|x∈U，μA（x）gt;0}，

ker A={x|x∈U，μA（x）=1}，

分别称supp A和ker A为A的支集和核集.

定义 3^[13-14] 设A是U=[a，b]上一个模糊集，称

[A]α={x∈U|μA（x）≥α}， 0lt;α≤1，

supp A， α=0

为模糊集A的α-水平集.

定义 4 设Ai、Aj为论域[a，b]上的2个模糊集，若

inf ker Aigt;sup ker Aj，则称Ai大于Aj，记为Aigt;Aj;若对任意的α∈[0，1]，inf[Ai]αgt;sup[Aj]α，称Ai严格大于Aj，并记为Aigt;sAj.

以下为方便描述，记

A（x）=μA（x）， [A]1=[x1，1（A），x1，2（A）]，

[A]0=[x0，1（A），x0，2（A）]，

xC（A）=x1，1（A）+x1，2（A）2.

2 广义模糊变换

本节在定义1的基础上，给出广义模糊变换和广义逆模糊变换的定义并分析相关性质.

记C（[a，b]）表示区间[a，b]上连续函数的集合，论域U上函数d的无穷维范数

‖d‖SymboleB@=supx∈U|d（x）|，

U上点集{xi}0≤i≤n+1满足

a=x0=x1lt;x2lt;…lt;xn=xn+1=b，

V上点集{yj}0≤j≤m+1满足

c=y0=y1lt;y2lt;…lt;ym=ym+1=d.

定义 5 设f∈C（[a，b]），={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个模糊划分，则称由

Fi=∫baf（x）Ai（x）dx∫baAi（x）dx， i∈

（1）

组成的n元组[F1，F2，…，Fn]是f相对的广义模糊变换（广义F-变换）.

用[f]表示函数f相对于的广义F-变换，即[f]=[F1，F2，…，Fn].

定理 1 设f∈C（[a，b]），={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个模糊划分，若A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}，且[f]=[F1，F2，…，Fn]为函数f相对于的广义F-变换，则任意的i∈，存在εi∈[xi－1，xi+1]，使得

Fi=f（εi）.

（2）

证明 根据模糊划分性质及广义F-变换定义可知

Fi=∫baf（x）Ai（x）dx∫baAi（x）dx=∫xi+1xi－1f（x）Ai（x）dx∫xi+1xi－1Ai（x）dx，

由推广的积分第一中值定理有：函数f，Ai在[xi－1，xi+1]上连续且任意x∈[xi－1，xi+1]，Ai（x）≥0，则在[xi－1，xi+1]上一定存在εi∈[xi－1，xi+1]，使得

∫xi+1xi－1f（x）Ai（x）dx=f（εi）∫xi+1xi－1Ai（x）dx，

Fi=f（εi）.

推理 1 设f∈C（[a，b]），={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个模糊划分，且A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}，且[f]=[F1，F2，…，Fn]为函数f相对于的广义F-变换，则任意的i∈，当x∈[xi－1，xi+1]时，以下不等式成立：

|f（x）－Fi|≤mi，

（3）

其中

mi=maxx∈[xi－1，xi+1]f（x）－minx∈[xi－1，xi+1]f（x）.

证明 根据定理1可知，任意的i∈，存在εi∈[xi－1，xi+1]，使得Fi=f（εi），当x∈[xi－1，xi+1]时，有

|f（x）－Fi|=|f（x）－f（εi）|≤

maxx∈[xi－1，xi+1]f（x）－minx∈[xi－1，xi+1]f（x）.

定义 6 设={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个模糊划分，f∈C（[a，b]），[f]=[F1，F2，…，Fn]是f相对的广义F-变换，任意x∈U，称

f[f]（x）=∑ni=1πi（x）Fi

（4）

为广义逆F-变换，其中

πi（x）=Ai（x）∑ni=1Ai（x）.

性质 1 设={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个正则模糊划分，f∈C（[a，b]），则对任意x∈U，有

f[f]（x）=∑ni=1Ai（x）Fi.

（5）

证明 当={A1，A2，…，An}为一个正则模糊划分时，有∑ni=1Ai（x）=1，则πi（x）=Ai（x）.

由定义5和定义6可知：文献[1]中提出的模糊变换、逆模糊变换仅是一类特殊的广义模糊变换与广义逆模糊变换.

定理 2 设f∈C（[a，b]），则任意的εgt;0，U=[a，b]上必存在模糊划分nε={A1，A2，…，Anε}，nε∈N+，使得任意x∈[a，b]，有

|f（x）－fnε[f]（x）|≤ε，

（6）

其中，fnε[f]是f相对于nε的广义逆F-变换.

证明 由f∈C（[a，b]）可知：函数f在[a，b]上为一致连续函数，则任意εgt;0，存在δgt;0，当|x′－x″|lt;δ时，|f（x′）－f（x″）|lt;ε.

设n={A1，A2，…，An}为论域U上的一个模糊划分，若A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}，且n[f]=[F1，F2，…，Fn]为f相对于n的广义F-变换.若|xi－1－xi+1|lt;δ，i∈，当x∈[xi－1，xi+1]时，存在εi∈[xi－1，xi+1]，根据定理1可知|f（x）－Fi|=|f（x）－f（εi）|≤ε，

由πi（x）的结构知

∑ni=1πi（x）=1， x∈[a，b]，

|f（x）－fn（x）|=

|∑ni－1πi（x）（f（x）－Fi）|≤

∑ni－1πi（x）|f（x）－Fi|≤ε，

令n=nε，则定理2成立.

推理 2 若f（x）为[a，b]上的常值函数，则对于U=[a，b]上任意的模糊划分={A1，A2，…，An}，任意x∈U，等式f[f]（x）=f（x）恒成立.

证明 由模糊变换的定义可知Fi=f（x），逆模糊变换

f[f]（x）=f（x）∑ni=1πi（x）=f（x）.

定理 3 设f是[a，b]上连续可微函数，={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上一个的模糊划分，若A1（x1），An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}，则x∈[a，b]时，以下不等式成立：

|f（x）－f[f]（x）|≤2‖f′（x）‖SymboleB@h，

（7）

其中，h=maxi∈|xi－1－xi+1|.

证明 不妨设x∈[xi，xi+1]，对任意i∈有εi∈[xi－1，xi+1]，εi+1∈[xi，xi+1]，e1，e2∈[xi，xi+1]，则

|f（x）－f[f]（x）|=

|f（x）－（πi（x）f（εi）+πi+1（x）f（εi+1））|=

|f（x）－f（εi）+πi+1（x）f（εi）－πi+1（x）f（εi+1）|≤

|f（x）－f（εi）|+|πi+1（x）||f（εi）－f（εi+1）|≤

f′（e1）|x－εi|+f′（e2）|εi－εi+1|≤

2supx∈[xi，xi+1]|f′（x）||xi+1－xi－1|≤

2‖f′（x）‖SymboleB@h.

定理3说明了论域上任意的模糊划分对于可微函数形成的广义逆模糊变换都具有一阶逼近精度.

图2显示了相同类型下的模糊划分.可以看出，在划分中模糊集的间距缩小后形成的逆模糊变换对函数逼近的效果更好.

下面给出二维的广义模糊变换、广义逆模糊变换的定义及相关性质.

定义 7 设={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个模糊划分，={B1，B2，…，Bm}为V=[c，d]上的一个模糊划分，f∈C（[a，b]×[c，d]），称

Fij=∫dc∫baf（x，y）Ai（x）Bj（y）dxdy∫dc∫baAi（x）Bj（y）dxdy， i∈，j∈

（8）

构成的n×m矩阵Fnm[f]=（Fij）是f（x，y）相对于和的广义模糊变换F-变换（广义F-变换）.

用×[f]表示函数f相对于和的广义F-变换，即

×[f]=（Fij）.

定义 8 设={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个模糊划分，={B1，B2，…，Bm}为V=[c，d]上的一个模糊划分，f∈C（[a，b]×[c，d]），×[f]=（Fij）是函数f相对于和的广义F-变换，称

f×[f]（x，y）=∑ni=1∑mj=1πij（x，y）Fij

（9）

为广义逆F-变换，其中，任意（x，y）∈U×V，πij（x，y）=Ai（x）Bj（y）∑ni=1∑mj=1Ai（x）Bj（y）.

定理 4 设f∈C（[a，b]×[c，d]），且={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个模糊划分，={B1，B2，…，Bm}为V=[c，d]上的一个模糊划分，若A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}且B1（y1）gt;0，Bm（ym）gt;0，Bt（xt）=1，t∈{2，3，…，m－1}，×[f]=（Fij）为函数f相对于和的广义F-变换，则i∈，j∈，存在（εi，ηj）∈[xi－1，xi+1]×[yj－1，yj+1]，使得

Fij=f（εi，ηj）.

（10）

定理4的证明过程类似于定理1.

定理 5 若f是[a，b]×[c，d]上的连续可微函数，={A1，A2，…，An}为U=[a，b]上的一个模糊划分，={B1，B2，…，Bm}为V=[c，d]上的一个模糊划分，若A1（x1）gt;0，An（xn）gt;0，Ak（xk）=1，k∈{2，3，…，n－1}且B1（y1）gt;0，Bm（ym）gt;0，Bt（xt）=1，t∈{2，3，…，m－1}，则任意（x，y）∈U×V，以下不等式成立：

|f（x，y）－f×[f]（x，y）|≤‖fx‖SymboleB@h1+‖fy‖SymboleB@h2，

（11）

其中

h1=maxi∈|xi－1－xi+1|， h2=maxj∈|yj－1－yj+1|.

证明 不妨设当（x，y）∈[xi，xi+1]×[yj，yj+1]时，则必存在

（εi，ηj）∈[xi－1，xi+1]×[yj－1，yj+1]，使得

Fij=f（εi，ηj），

|f（x，y）－f×[f]（x，y）|=

|f（x，y）－∑ni=1∑mj=1πij（x，y）Fij|=

|f（x，y）－∑ni=1∑mj=1πij（x，y）f（εi，ηj）|≤

∑ni=1∑mj=1πij（x，y）|f（x，y）－f（εi，ηj）|≤

maxx∈[xi，xi+1]y∈[yj，yj+1]（‖fx‖SymboleB@|x－εi|+‖fy‖SymboleB@|y－ηj|）≤

maxx∈[xi－1，xi+1]y∈[yj－1，yj+1]（‖fx‖SymboleB@|x－εi|+‖fy‖SymboleB@|y－ηj|）≤

‖fx‖SymboleB@h1+‖fy‖SymboleB@h2.

3 基于广义模糊变换的插值推理

TSK（Takagi-Sugeno-Kang）模糊模型^[15]最初是在1985年系统模糊辨识及其在建模和控制中的应用中提出，TSK模糊模型的模糊规则具有以下形式：

如果x1是A1且x2是A2且…且xn是An，则

y=c0+c1x1+…+cnxn，

其中，Ai是变量xi论域上的模糊集，ci（i=0，1，…，n）是常数，即规则的“if部分”是模糊集，“then部分”是输入变量的线性组合.下面给出由m条模糊规则构成的TSK型稀疏规则库的一般形式：

R1：如果x1是A1，1且x2是A1，2且…且xn是A1，n，则

y=f1=β1，0+β1，1x1+…+β1，nxn，

R2：如果x1是A2，1且x2是A2，2且…且xn是A2，n，则

y=f2=β2，0+β2，1x1+…+β2，nxn，

Rm：如果x1是Am，1且x2是Am，2且…且xn是Am，n，则

y=fm=βm，0+βm，1x1+…+βm，nxn，

其中，Ai，j（i=1，2，…，m;j=1，2，…，n）为前件变量xj在论域Uj=[xj，j]上的模糊集，且存在p，q∈{1，2，…，m}，j∈{1，2，…，n}使得Ap，jgt;sAq，j.

基于TSK型稀疏规则库的插值推理就是给定观察值：“如果x1是A1且x2是A2且…且xn是An”，求推理结果y，即求关于变量x1，x2，…，xn的多项式.

本文建立的插值推理方法是基于上述TSK型稀疏规则库的一般形式进行的.

定义 9 在上述TSK稀疏模糊规则库的一般形式中，称规则Rq为规则Rp（p，q∈）最相邻模糊规则当且仅当：

1） Ap，jgt;Aq，j或Aq，jgt;Ap，j（j∈）;

2） ∑mj=1d（xC（Ap，j），xC（Aq，j））=min{∑mj=1d（xC（Ap，j），xC（Aq，j）），p，q∈}.

定义 10 在上述TSK稀疏模糊规则库的一般形式中，称规则Rp与Rq（p，q∈）组成的规则对为规则Ri（i，j∈）的最相邻规则对当且仅当：

1） Rp与Rq为Ri最相邻模糊规则;

2） 不存在模糊规则“如果x1是A1且…且xn是An，则y=f=β0+β1x1+…+βnxn”使得Ap，jlt;Ajlt;Aq，j或Aq，jlt;Ajlt;Ap，j（j∈）;

3） Ap，jlt;Ai，jlt;Aq，j或Aq，jlt;Ai，jlt;Ap，j.

基于广义模糊变换的TSK插值推理方法的步骤如下：

步骤 1 根据观察值从规则库中找到与其最相邻的s对模糊规则，若不存在最相邻模糊规则对，则找到与观察值最相邻的t（0≤s，t≤m）个模糊规则.

步骤 2 计算观察值的最相邻模糊规则对或最相邻模糊规则的权重，不妨设步骤1中基于观察值的最相邻规则对存在且第p对模糊规则分别为Rp1，Rp2（p1，p2∈{1，2，…，m}），规则Rp1，Rp2的权重ωp1，ωp2根据公式

ω′p1=1－∑nj=1d（xC（Aj），xC（Ap1，j））∑nj=1d（xC（Ap1，j），xC（Ap2，j）），ωp1=1sω′p1，

ω′p2=1－∑nj=1d（xC（Aj），xC（Ap2，j））∑nj=1d（xC（Ap1，j），xC（Ap2，j）），ωp2=1sω′p2

计算可得，若不存在最相邻模糊规则对，同理可求得最相邻模糊规则的权重.

步骤 3 利用广义模糊变换将步骤2的最相邻模糊规则对或最相邻模糊规则转化为常值，即

Fp1=∫1x1…∫nxnAp1，1（x1）…Ap1，n（xn）fp1dx1…dxn∫1x1…∫nxnAp1，1（x1）…Ap1，n（xn）dx1…dxn，（12）

Fp2=∫1x1…∫nxnAp2，1（x1）…Ap2，n（xn）fp2dx1…dxn∫1x1…∫nxnAp2，1（x1）…Ap2，n（xn）dx1…dxn，（13）

将规则Rp1，Rp2转化为常值Fp1，Fp2.

步骤 4 由步骤2、步骤3得到基于观察值最相邻规则或规则对的权重及广义模糊变换处理后的值，再根据以下公式：

F=1s∑sp=1（ωp1Fp1+ωp2Fp2），

（14）

FL=1s∑sp=1（ωp1，LFp1+ωp2，LFp2），

（15）

FR=1s∑sp=1（ωp1，RFp1+ωp2，RFp2），

（16）

其中

ωpk，L=1－∑nj=1|x0，1（Aj）－xC（Apk，j）|∑nj=1|xC（Ap2，j）－xC（Ap1，j）|， k=1，2，

ωpk，R=1－∑nj=1|x0，2（Aj）－xC（Apk，j）|∑nj=1|xC（Ap2，j）－xC（Ap1，j）|， k=1，2

求出基于观察值插值推理的常值.

步骤 5 利用广义逆模糊变换求出观察值处的推理结果，即

f=∑nj=1[（1－A*j（xj））FL+Aj（xj）F+（1－Aj（xj））FR]

为关于变量x1，x2，…，xn的多项式.

为了简便起见，下面将基于广义模糊变换的TSK插值推理方法称为F-TSK插值推理方法.

定理 6 运用F-TSK插值推理方法，得到推理结果f：当xj∈[x0，1（Aj），x0，2（Aj）]时，任意的j∈，若Fp1≤Fp2，则FL≤f≤FR;若Fp2≤Fp1，则FR≤f≤FL.

证明 由F-TSK插值推理方法步骤可知，当Fp1lt;Fp2时，根据观察值最相邻规则定义及式（12）～（16）可得：

当xj∈[x0，1（Aj），x1，1（Aj）]时，有

f=∑nj=1[（1－A*j（xj））FL+Aj（xj）F]，

则FL≤f≤F;

当xj∈（x1，1（Aj），x1，2（Aj））时，则

f=F;当xj∈[x1，2（Aj），x0，2（Aj）]时，有

f=∑nj=1[Aj（xj）F+（1－Aj（xj））FR]，

则F≤f≤FR.

综上可得，当xj∈[x0，1（Aj），x0，2（Aj）]时，任意的j∈，若Fp1lt;Fp2，则FL≤f≤FR;若Fp2lt;Fp1，则FR≤f≤FL.

4 实验

文献[16-17]给出生成的稀疏规则库的方法：通过给定的已知函数建立完备规则库，计算每个规则所在论域的函数曲率，然后设定曲率阈值删减一部分规则，最后得到稀疏规则库.

本节通过实验比较TSK+、CRC与F-TSK插值推理方法的插值推理效果，并对推理结果进行误差分析.

4.1 实验 1

对三维函数

f（x，y）=sin（xπ）sin（yπ）

建模，该模糊模型取：输入x，y∈[－10，10]和输出z（z∈[－1，1]），输入变量x在给定论域上划分为20个大小相同的区间（如图3（a）），在y的论域上也进行相同的区间划分，且每个区间被表示为一个模糊集，这就形成了400个子区间（如图3（b）），每个子区间表示为如下的一条模糊规则：

Rk：如果x是Ai且y是Bj，则

zk=akx+bky+ck，

k=20（i－1）+j， i，j=1，2，…，20.

根据文献[17]对各子论域上曲率的计算，则设定不同的曲率阈值就可以得到不同的稀疏规则库，即

稀疏TSK规则库1（设曲率阈值为0.098 5）：由规则R1，R400，R20，R381组成;

稀疏TSK规则库2（设曲率阈值为0.097 5）：由规则R1，R400，R115，R286，R106，R295，R20，R381组成;

稀疏TSK规则库3（设曲率阈值为0.096 3）：由规则R1，R20，R86，R95，R105，R106，R115，R116，R285，R286，R295，R296，R306，R315，R381，R400组成.

计算给定的13个随机测试点：（－5，－5），（－5，0），（－5，5），（0，－5），（5，-5）、（5，0）、（0，0），（0，5），（5，5），（－10，0），（0，10），（10，0）和（0，－10），在稀疏规则库下，利用TSK+、CRC和F-TSK插值推理方法进行推理，得到的推理结果与该点处实际结果所产生的误差如表1所示.

4.2 实验 2

对3个二维函数分别构造如下形式的稀疏规则库：

R1：如果x是A1，则y=a1x+b1，

R2：如果x是A2，则y=a2x+b2，

求出给定观察值：“如果x是A”下的推理结果y.

为方便表述，以下记三角形模糊集A为

A（x）=（x0，1（A），xC（A），x0，2（A）），其中

[A]0=[x0，1（A），x0，2（A）].

4.2.1 情况 1

对线性函数y=2x+3建立稀疏规则库，其中A1=（2，3，4），A2=（8，9，10），A=（5，6，7），a1=a2=2;b1=b2=3.

由TSK+、CRC插值推理方法得到的推理结果为

y=2x－7， x∈[5，6]，－2x+17， x∈（6，7]，

与该处实际结果的误差为

∫75|y*－y|dx=22;

由F-TSK插值推理方法得到的推理结果为

y=2x+3， x∈[5，7]，

与该处实际结果的误差为

∫75|y*－y|dx=0.

4.2.2 情况 2

对非线性函数y=x2+1建立稀疏规则库，其中A1=（2，3，4），A2=（8，9，10），A=（5，6，7），a1=6，a2=18，b1=18，b2=－80.

由TSK+、CRC插值推理方法得到的推理结果为

y=12x－104， x∈[5，6]，－12x+40， x∈（6，7]，

与该处实际结果的误差为

∫75|y*－y|dx=150.667;

由F-TSK插值推理方法得到的推理结果为

y=12x－26， x∈[5，7]，

与该处实际结果的误差为

∫75|y*－y|dx=17.333.

4.2.3 情况 3 对非线性函数y=x2+1建立稀疏规则库，其中A1（x），A2（x），A（x）的隶属函数如下：

A1（x）=－x2+6x－8， x∈[2，4]，

A2（x）=－x2+18x－80， x∈[8，10]，

A（x）=－x2+12x－35， x∈[5，7].

由TSK+、CRC插值推理方法在该情况下失效，得不到推理结果.

由F-TSK插值推理方法得到的推理结果为

y=－12x2+144x－386， x∈[5，6]，

12x2－144x+478， x∈（6，7]，

与该处实际结果的误差为

∫75|y－y|dx=17.333.

根据实验1和实验2的分析可知：F-TSK插值推理方法较TSK+、CRC方法适用插值推理的范围更广且得到的插值推理结果误差更小.

5 结束语

本文提出了基于广义模糊划分建立的广义模糊变换，并给出了其相关性质，在一定程度上扩大了模糊变换的适用范围，从而丰富了模糊变换的内容，使得一般函数可以被更多类型的模糊集线性表示.本文将广义模糊变换应用到稀疏规则库的推理中，建立了基于广义模糊变换的TSK插值推理方法（F-TSK），该方法较TSK+和CRC方法，不仅减少了计算量，而且提高了推理结果的精度.此外，本文仅讨论了在广义的模糊划分中逆模糊变换的逼近精度，而不同类型模糊集组成的广义模糊划分及广义逆模糊变换产生的逼近精度将是后续的研究方向.

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Generalized Fuzzy Transforms and Its Applicationin Fuzzy Interpolation Reasoning

HE Hongmei， PAN Xiaodong， PENG Xiaoyu

（School of Mathematics， Southwest Jiaotong University， Chengdu 611756， Sichuan）

Based on generalized vague partition， a new expression formula for generalized fuzzy transformation is proposed， where the essential characteristics of generalized fuzzy transformation and some approximation properties of generalized inverse fuzzy transformation are described. On this basis， a TSK fuzzy interpolation inference method based on generalized fuzzy transformation is designed for the TSK sparse rule library， and some basic properties of this method are discussed. Finally， the two experiments are compared with existing methods to further demonstrate the effectiveness of the proposed method.

fuzzy partition; generalized fuzzy transforms; TSK fuzzy system; fuzzy interpolation inference

2020 MSC：65R10

（编辑 余 毅）