一道三直线斜率问题的解法探究

摘 要：直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，也是高考的高频考点.斜率是解析几何的重要研究对象，也是高考涉及较多的问题.文章从方程思想、同构思想、参数法和极限思想等角度给出一道涉及三条直线斜率问题的多种解法.

关键词：斜率问题；参数法；方程思想；极限思想

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0044-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：周霄汉（1984.11—），男，江苏省苏州人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

斜率是解析几何的重要研究对象，一般的研究思路是设出直线方程和点的坐标，直线与曲线联立，求出点的坐标或者利用韦达定理，然后利用坐标表示斜率再进行计算.当然了，也可根据试题结构，将点的坐标设为参数的形式，或者考虑特殊位置求解.

1 试题呈现

题目 如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-3）2+y2=1，且圆C与x轴交于M，N两点，设直线l的方程为y=kx（kgt;0），直线l与圆C相交于A，B两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM、直线BN、直线OP的斜率分别为k1，k2，k3，则（" ）.

A.k1+k2=2k3" B.2k1+k2=k3

C.k1+2k2=k3D.k1+k2=k3

图1 直线与圆相交

2 解法探究

思路1 方程思想.

解法1 如图1所示，由题意得lAM：y=k1（x-2），与圆C：（x-3）2+y2=1联立，

消y整理得，

（x-2）［（1+k21）x-（2k21+4）］=0.

所以xM=2，xA=2k21+41+k21.

所以A（2k21+41+k21，2k11+k21）.

同理可得B（4k22+21+k22，-2k21+k22）.

因为kOA=kOB，

所以2k1/（1+k21）（2k21+4）/（1+k21）=-2k2/（1+k22）（4k22+2）/（1+k22）.

即（1+k1k2）（k1+2k2）=0^［1］.

因为k1k2≠-1，所以k2=-12k1.

设P（x0，y0），所以y0=k1（x0-2），y0=k2（x0-4）.

所以x0=2k1-4k2k1-k2，y0=-2k1k2k1-k2.

所以P（2k1-4k2k1-k2，-2k1k2k1-k2）.

即P（83，2k13）.

所以k3=2k1/38/3=14k1.

所以k1+k2=12k1=2k3.

故选A.

解法2 由已知，不妨设点M（2，0），N（4，0），则直线AM：y=k1（x-2），直线BN：y=k2（x-4）.

由y=kx，y=k1（x-2）得x=2k1k1-k，y=2kk1k1-k.

即点A（2k1k1-k，2kk1k1-k）.

由点A在圆（x-3）2+y2=1上，得

（2k1k1-k-3）2+（2kk1k1-k）2=1.

即k·k21-k1+2k=0.①

同理可得k+2k·k22+k2=0.

即k·（-1k2）2-（-1k2）+2k=0.②

由①②知，k1，-1k2是关于x的二次方程k·x2-x+2k=0的两根，显然k1≠-1k2，否则若k1=-1k2，则k1k2=-1，则AM⊥BN.又MN是圆C的直径，所以AM，BN的交点P位于圆C上，这与题意不相符.

所以k1·（-1k2）=2kk=2，k1=-2k2.

由y=k1（x-2），y=k2（x-4），得

x=2k1-4k2k1-k2=-4k2-4k2-2k2-k2=83，

y=k1（83-2）=23k1=-43k2.

即点P（83，-43k2）.

所以k3=--4k2/38/3=-12k2.

所以k1+k2=-k2=2k3.

故选A.

思路2 参数方程思想.

解法3 依题意，不妨设点M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），则k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以sinα（3+cosβ）=sinβ（3+cosα）.

即sinαcosβ-cosαsinβ=-3（sinα-sinβ）≠0.

即sin（α-β）=-6cosα+β2sinα-β2.

即2sinα-β2cosα-β2=-6cosα+β2sinα-β2≠0.所以cosα-β2=-3cosα+β2.

所以cosα2cosβ2+sinα2sinβ2=-3cosα2cosβ2+3sinα2sinβ2.

即sinα2sinβ2=2cosα2cosβ2.

所以tanα2·tanβ2=2.所以sinα1+cosα·1-cosβsinβ=2.

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1-cosβ.

所以k1·（-1k2）=2.即k1=-2k2.

由y=k1（x-2），y=k2（x-4），得

x=2k1-4k2k1-k2

=-4k2-4k2-2k2-k2=83，

y=k1（83-2）=23k1=-43k2.

即点P（83，-43k2）.

所以k3=-4k2/38/3=-12k2.

所以k1+k2=-k2=2k3.

故选A.

解法4 依题意，不妨设点M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），则

k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以点A1（cosα，sinα），B1（cosβ，sinβ），E（-3，0）共线于直线x=my-3，且A1，B1均位于圆x2+y2=1上.

记A1（x1，y1），B1（x2，y2），则

由x=my-3，x2+y2=1，得（my-3）2+y2=1.

即（m2+1）y2-6my+8=0.

所以y1+y2=6mm2+1，y1y2=8m2+1 .

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα=y11+x1，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1+cosβ=-1+x2y2，

所以k1·（-1k2）=y11+x1·y21+x2

=y1y2（1+x1）（1+x2）

=y1y2（my1-2）（my2-2）

=y1y2m2y1y2-2m（y1+y2）+4

=8/（m2+1）8m2/（m2+1）-2m·［6m/（m2+1）］+4=2.

所以k1=-2k2^［2］.

下同解法3.

解法5 依题意，不妨设点M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），则

k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以2t1/（1+t21）3+（1-t21）/（1+t21）

=2t2/（1+t22）3+（1-t22）/（1+t22），

其中t1=tanα2，t2=tanβ2.

即t12+t21=t22+t22.

即t1（2+t22）=（2+t21）t2.

所以（t1-t2）（2-t1t2）=0.

所以t1=t2或t1t2=2.

又α，β的终边不相同，

所以t1≠t2，t1t2=2，tanα2·tanβ2=2.

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα=tanα2，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1-cosβ=-1tan（β/2），

所以k1·（-1k2）=2.

所以k1=-2k2.

下同解法3.

3 结束语

一题多解在日常的解题教学中非常重要，教师适当地引导学生对问题进行一题多解，可发散学生的数学思维、发展学生的学科核心素养，同时也可以加深学生对数学本质的理解和提高学生的解题能力. 斜率问题是解析几何的核心内容，深入研究斜率问题非常有必要.通过深入研究一道题，可获得解决这一类问题的数学思想方法：方程思想、同构思想、参数方程思想等.

参考文献：

［1］ 李鸿昌.“斜椭圆”面积的八种求解方法[J].中学数学杂志，2023（09）：43-46.

[2] 李鸿昌，徐章韬.关于对数平均的一个不等式的推广[J].数学通报，2023，62（08）：50-52.

［责任编辑：李 璟］