高中物理中追及相遇问题的解题思路与策略

摘 要：针对追及相遇这一高中物理运动学中的重点难点问题，分别应用了分析法、函数法、图像法三种常用的解法，并进行了深度探究总结.旨在让学生深刻理解掌握解题的多种思路方法和技巧，培养学生的深度思维能力.

关键词：追及相遇；方法技巧；核心素养；深度思维

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0118-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：宋银远（1968.10—），男，本科，中学高级教师，从事中学物理教学研究.

在高中物理运动学中，追及相遇问题既是重点又是难点，它涉及物体的运动规律、运动图像等多方面知识，考查学生通过审题，呈现物理情景，分析条件和两物体之间物理量的关系，从而找到解题的有效途径.同时，此类问题的解法和技巧较多，常用的方法主要有物理分析法、数学函数法和图像法.下面对此类问题的解题思路和方法，作以具体阐述，为广大物理教师的教学提供借鉴经验.

1 基本关键思路

解决追及相遇问的基本思路可以概括为：一个条件、一个临界和两个关系.

（1）一个条件：同一时刻到达同一位置.

（2）一个临界：两物体速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析的突破口.

（3）两个关系：通过绘制运动示意图，可以清晰地呈现两物体的位移关系与时间关系^[1].

2 典型问题分析解答

2.1 速度小的物体追速度大的物体

2.1.1 典型问题

当一辆警车停靠在路边检查站时，另一辆摩托车正以v=8 m/s的速度缓慢行驶，从警车的后方经过时，警车立即以a=4 m/s2的加速度开始追赶.那么，在警车追上摩托车之前，两辆车经多长时间距离最远？最远距离是多少^[2]？

2.1.2 分析解答

第一步：通过审题，画出运动过程示意图（如图1），将过程形象化.

第二步：通过分析，将解题过程问题化.

（1）开始追赶过程，警车和摩托车各自做什么运动？

（2）满足两车相距最远的关键条件是什么？

解法一 物理分析法

当警车和摩托车的速度相同时，它们之间的距离最远.设此时经过的时间为t，则有 v警=at=v，解得：t=va=84 s=2 s.两车的距离为 Δxm=x摩-x警=vt-12at2，解得：Δxm=8×2 m-12×4×22m=8 m.所以经过2 s时间距离最远，最远距离为8 m.

解法二 数学函数法

如果警车在追上摩托车之前，两辆车的距离最远，那么就可以得出以下结论：Δxm=vt-12at2，代入已知数据得：Δxm=-2t2+8t，由二次函数求极值的条件可知：t=2 s时，有最大值Δxm=8 m.

解法三 图像法

根据图像（如图2所示），在相遇之前，两者的速度相同时，它们的距离最远，此时的距离为三角形阴影部分的面积.因此则有：t1=v1a=2 s，Δxm=12×8×2 m=8 m.

2.1.3 拓展延伸

这道题还可以进一步追问：经过多长时间警车追上摩托车？追上时距离出发点多远？

解法一 分析法

设经过时间t警车追上摩托车，此时离出发点的距离为x则有：12at2=vt， 代入数据得 t=4 s.x=x摩=x警=12at2 ，代入数据得：x=32 m.所以经4 s警车追上摩托车，追上时距离出发点32 m.

解法二 函数法

设任意t时刻两物体之间的距离为 Δx则有：Δx=8t-2t2，当Δx=0时，警车恰好追上摩托车，即8t-2t2=0，此时离出发点的距离x=x摩=x警=12at2，联立解得x=32 m.

解法三 图像法

当警车追上摩托车时，两者的位移相等，根据v-t图像（图3所示）的物理意义可知，两个三角形全等面积相等，由图可得t2时刻相遇，则有：t2=2t1=4 s，v2=2v1=16 m/s.

此时距离出发点的距离：

x=12×4×16 m=32 m.

函数v-t图像

2.1.4 探究结论

（1）当两者速度相等时，两者间有最大距离.

（2）当追赶者的速度超过被追赶者的速度，两者距离要逐渐减小.

2.2 速度大的物体追速度小的物体

2.2.1 典型问题

如图4，当甲和乙两辆汽车在平坦的道路上同向行驶时，甲车的速度为v甲=4 m/s，乙车在后以v乙=

20 m/s的速度行驶，但由于沙尘暴的影响，当乙车距离甲车x0=80 m时，它才意识到前方有一辆车，于是它立即刹车，但它还需要行驶100 m才能停下来.问：乙车刹车时如果甲汽车继续保持原来的速度，它们是否会发生碰撞？如果不发生碰撞，那么两辆汽车之间的最近距离是多少？

运动流程图（B）

2.2.2 分析解答

（1）甲车在前，乙车在后，乙车追赶甲车.

（2）乙车做匀减速运动，甲车做匀速运动.

（3）两者速度相等是判断是否相撞的临界条件.

解法一 物理分析法

设乙车的加速度大小为a，则由v2乙=2ax得a=v2乙2x=400200 m/s2=2 m/s2.当两车速度相等时有v甲=v乙-at1，解得t1=8 s.

在此过程中，x乙=v乙t1-12at21=96 m，x甲=v甲t1=32 m.通过比较显然可知：x乙lt;x甲+x0，所以两车不会相撞.

两车的最近距离 Δx=x甲+x0-x乙=32 m+80 m-96 m=16 m.

解法二 数学函数法

（1）极值法：设任意时刻t两物体之间的距离为y，则有y=x甲+x0-x乙，代入数据整理得y=t2-16t+80=（t-8）2+16gt;0.因此两车不会相撞，两车的最近距离ymin=16 m.

（2）如果两辆汽车发生碰撞，那么可以采用判别式法来确定：根据相撞时二者的位移相等，整理得t2-16t+80=0，由于162-4×80lt;0，因此关于t的一元二次方程无解，说明两车不相撞，两车的最近距离ymin=16 m.

解法三 图像法

如图5所示，v甲=4 m/s，v乙=20 m/s，x0=80 m，设t1时刻两车速度相等，则t1=8 s. 在此时间内两车的位移差为Δx=12×8×（20-4） m=64 m， 由于Δxlt;x0， 所以两车不相撞，两车的最近距离Δxmin=80 m-64 m=16 m.

2.2.3 探究结论

（1）即使两个物体的速度相同，如果追随者的位移仍然比被追随者的位移与初始间隔的总和小，那么它们永远无法相遇.

（2）如果两个物体的速度相同，追随者的位移正好为被追随者的位移与初始距离的总和，那么，这就是两物体在相遇时避免碰撞的临界值^[3].

3 方法小结

求解追及相遇问题的常用方法主要有以下三种.

3.1 物理分析法

通过物理分析法，我们可以确定两个物体之间的临界状态，并利用运动学的原理来推导它们之间的位移、速度和时间的关系，从而求得它们之间的相互影响.

3.2 数学函数法

（1）根据题设条件得出两物体间的距离y随时间t的函数f（t），如果在任何时刻，都存在y=f（t）gt;0的情况，那么这两个物体将永远不会相遇.但是，如果存在y=f（t）≤0的情况，那么它们将有可能相遇.

（2）如果两个物体在时间t内发生碰撞，我们可以通过分析它们之间的位移关系，将其转换成一元二次方程，以便更好地描述它们之间的碰撞情况.若Δgt;0两者相遇两次，若Δ=0两者恰好相遇，若Δlt;0两者不会相遇.

3.3 图像法

通过在同一坐标系上绘制两个物体的v-t图像，并利用它们的物理特征来研究和解决相关的问题.

4 结束语

高中物理直线运动中的追及相遇问题包括匀加速追匀速、匀减速追匀加速、匀速追匀加（或减）速以及匀加速追匀加（或减）速等.尽管运动形式有多种多样，然而基本思路方法不会改变.只有教师在教学中善于钻研、积极拓展引导，才能够取得事半功倍的效果.对于学生，可以避免机械刷题，从“题海”中脱离出来，提高物理的核心素养和综合能力.

参考文献：［1］王承琨，追及和相遇问题的解法[J].新课程教研版，2010（2）：161-163.

[2] 张任君，多题归一法减轻学生的物理课业负担[J].中学课程辅导，2021（5）：20-22.

[3] 沈蔡林，追赶及相遇问题的常用分析方法[J].数理化学习（高中版），2004（2）：13-16.

［责任编辑：李 璟］