例析数形结合解答圆锥曲线习题

摘 要：圆锥曲线习题的解答，方法因题而异.其中，数形结合法通过“数”与“形”的相互对照可以简化运算过程，提高运算正确率.文章结合具体例题，展示数形结合在圆锥曲线习题中的应用.

关键词：数形结合；圆锥曲线；习题；解析

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0088-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：陈金华（1981.2—），女，江苏省南京人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

圆锥曲线是平面截取圆锥面形成的曲线，根据截取角度的不同可以获得圆、椭圆、双曲线、抛物线.在高中阶段，学习圆锥曲线要求从代数角度进行分析、计算，解决与之相关的问题，侧重运算.事实上，圆锥曲线本质上属于几何图形，从几何视角出发，通过数形结合解答相关习题不失为一种有效的方法.

1 求长度

求线段长度类的圆锥曲线习题可以运用数形结合构建已知与未知线段之间的联系，借助几何图形的性质、定理等进行突破.教学中，教师可以预留空白时间由学生进行自主思考，结合题干描述画出对应的图形，将题干中的隐含信息直观地展现出来，避免不必要的计算，通过灵活应用几何图形性质求出结果^[1].

1.1 求线段长度

例1 已知F1，F2分别为双曲线x23-y2=1的左、右焦点.过点F1的直线和双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若|F2A|=|F2B|，则|F1A|的值为.

解析 由x23-y2=1，易解得a=3，b=1，c=2.

根据题意过点F2作F2C⊥AB交AB于点C，如图1所示，因为|F2A|=|F2B|，由等腰三角形的性质可得点C为AB的中点.

设|F2A|=|F2B|=t，由双曲线的定义可得

|F1A|=t-23，|F1B|=t+23.

则|AB|=|F1B|-|F1A|=43.

在Rt△F2CB和△F1BF2中，由余弦定义以及余弦定理可得

cos∠F1BF2=|CB||F2B|=23t=（t+23）2+t2-162t（t+23），

解得t=14.

则|F1A|=t-23=14-23.

1.2 求点到线段的距离

例2 已知抛物线y=14（x-2）2+3的焦点为点F，点P为抛物线上的一点，若|PF|=5，则点P到x轴的距离为.

解析

将抛物线y=14（x-2）2+3分别向左平移2个单位，向下平移3个单位得到抛物线y=14x2，即x2=4y.

画出两个抛物线的图象，如图2所示，设点F，P平移后对应的点分别为F′，P′，x2=4y的准线为y=-1.

由抛物线的定义可知点P′到x轴的距离为4，由平移可知点P到x轴的距离为4+3=7.

2 求范围

圆锥曲线习题中求范围的习题类型较多，包括求离心率的范围、求线段长度的范围以及求某一表达式的范围.解答该类问题，为避免陷入烦琐的运算，提高解题效率，可以通过数形结合，运用几何图形中的角、边关系，建立相等或不等关系，实现对问题的顺利求解^[2].

2.1 求离心率的范围

例3 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点.若椭圆上存在不在x轴上的两点A，B，满足F1A+F1B=F1F2，sin∠F1AB=2sin∠F2AB，则椭圆离心率e的取值范围为.

解析

根据题意画出如图3所示的图形，因为F1A+F1B=F1F2，则四边形AF1BF2为平行四边形，则∠F2AB=∠F1BA.

又由sin∠F1AB=2sin∠F2AB，

可得sin∠F1AB=2sin∠F1BA.

在△AF1B中，由正弦定理得

|BF1|=2|AF1|=|F2A|.

由椭圆性质可得

|AF1|=23a，|AF2|=43a.

又由|AF2|-|AF1|lt;|F1F2|，

即23alt;2c，即e=cagt;13.

则椭圆离心率e的取值范围为（13，1）.

2.2 求线段长度范围

例4 抛物线具备重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点发射后，反射光线平行于对称轴射出.反射面为抛物线在该点的切线.已知抛物线x2=8y上存在异于原点O的点P，过点P作抛物线的切线l，过点O作l的平行线交PF于点Q，其中F为抛物线的焦点，则|OQ|的取值范围为.

解析 如图3，由已知条件可知m∥y轴，则∠1=∠2.

由OQ∥l，则∠1=∠FQO.

由m∥y轴，OQ∥l，则∠2=∠QQ′P=∠FOQ.

则∠FQO=∠FOQ，|OF|=|FQ|.

又由|OF|=2，则|OF|=|FQ|=2.

在△FOQ中，|OF|-|FQ|＜OQ＜|OF|+|FQ|，

即|OQ|的取值范围为（0，4）.

3 求值

圆锥曲线中求角度、三角函数值以及代数式具体的值统称为求值问题.解答求值问题的思路多种多样，需要结合习题创设的情境灵活选取.教学中，教师需要结合具体习题做好通法通解，帮助学生夯实基础，积累经验.

3.1 求确定的值

例5 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，A1，A2为左、右顶点，F为右焦点，B，C是双曲线E上位于第一象限的两点，A2B∥CF，若|CF|=4a，则tan∠A1BA2=.

解析

设双曲线的焦距为2c，左焦点为F1，由

e=ca=2，易得|F1F|=2c=4a.

由|CF|=4a，则|F1C|=6a.

由余弦定理可得

cos∠CFF1=（4a）2+（4a）2-（6a）22×4a×4a=-18.

则tan∠CFF1=-37.

由A2B∥CF，则tan∠BA2F=37.

设点B（x0，y0），则tan∠BA1F=y0x0+a，

tan∠BA2F=y0x0-a，

tan∠BA1F×tan∠BA2F=y20x20-a2=b2a2=e2-1=3，

则tan∠BA1F=17，

tan∠A1BA2=tan（∠BA2F-∠BA1F）

=577.3.2 求最值

例6 已知直线l过圆（x-1）2+y2=1的圆心且和圆相交于A，B两点，P在椭圆x29+y28=1上运动，则PA·PB的最大值和最小值之和为.

解析

由（x-1）2+y2=1可知圆的半径为1，圆心O1（1，0），由题可知O1B=-O1A.又由x29+y28=1可得a=3，c=1，右焦点为（1，0）.

故PA·PB=（PO1+O1A）·（PO1+O1B）

=（PO1+O1A）·（PO1-O1A）

=PO12-O1A2

=|PO1|2-1.

又由a-c≤|PO1|≤a+c，

即2≤|PO1|≤4.

则PA·PB的最大值为

42-1=15，最小值为22-1=3，两者之和为18.

4 结束语

数形结合解答圆锥曲线习题可以简化计算，提高解题效率，因此，教学中教师应做好常用几何知识的梳理与总结，构建系统知识网络，提高运用数形结合解答圆锥曲线习题的意识.运用数形结合解答圆锥曲线习题常用的几何知识有：平行线的性质、三角形内角和、三边关系、三角形外角定理、正弦定理、余弦定理等，部分习题还需要运用向量的加减运算.教学中教师应通过展示运用这些几何知识解答圆锥曲线习题的过程，使学生把握运用时的相关细节以及注意事项.数形结合既是一种数学思想也是一种解题方法.教师既要注重通法通解的灌输，又要引导学生具体问题具体分析，定期进行解题总结、解题反思，寻找解题的最佳方法，积累应用经验，提高解题技能.

参考文献：

［1］闻君.以“圆锥曲线”教学为例谈数形结合思想的渗透[J].中学数学，2024（07）：24-25.

[2] 苏雅雅.数形结合解答圆锥曲线难题[J].数理化解题研究，2023（13）：59-61.

［责任编辑：李 璟］