一道高考导数压轴题的新解法与拓展

摘要：本文中对2022年新高考Ⅰ卷第22题进行了深入研究，借助基本初等函数的图象与性质给出这道考题关键步骤的新证法.在此基础上，以基本初等函数为素材，以四则运算为暗线构造了两个新命题.

关键词：新高考；函数与导数

2022年新高考Ⅰ卷第22题是一道函数与导数的综合问题，第（Ⅰ）问考查函数的最值问题，第（Ⅱ）问考查函数与方程，属于探索创新问题.很多教师对这道题目进行过分析研究.中学数学月刊2022年第10期，雷蕾老师分享了该题第（Ⅱ）问的证明及延伸.笔者根据学情的特点，从教学实践的需求出发再次研究这道高考题，从一个全新的视角给出其关键证明（压轴问）的解析，并据其原理将问题拓展得到两个新命题，供大家参考.

点评：荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔认为学习数学的唯一方法是实行“再创造”.数学的学习是在实践中结合已有经验进一步理解数学概念和数学思想方法.当教师引导学生发现了题目的本质和原理之后，学生能学以致用，教学和学习的效果便得到了进一步的提升.基于这种教学理念，笔者构造了命题1和命题2，希望提供更丰富的素材给学生研究学习.从运算的视角来看，两个新命题的条件和结论形式都是前后呼应的，即用乘法（除法）构造的函数，结论中根的关系也是积（商）的形式.如果我们将高考题的一般结论写成x3－x1=x4－x2（减法）的形式就会发现它与条件的运算也是首尾呼应的.那么如果用加法构造函数结论又会是怎样的呢？这些问题一定能引起学生浓厚的学习兴趣.教学中可以采用探究课的形式让学生自主探究，让学生经历发现、提出、分析和解决问题的完整过程，从而发展学生的数学思维和数学核心素养.