新旧教材对比下函数y=Asin(ωx+φ)的教学

从2020年秋季开始，浙江省启用根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标（2017年版）》）编写的人教A版高中数学教材（以下简称新教材），相比人教A版《普通高中课程标准实验教科书》（以下简称旧教材），新教材在章节结构安排、教学内容的呈现与表达、例习题配置等方面都做了改变.其中三角函数作为典型的周期函数，变化很大.以“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”为例，笔者认真研读比较新旧教材的课时内容，给出自己的见解及教学设计片段.

1 情境创设贴近实际

现实教学中，创设的情境与教学内容关联不大，情境导入环节生拉硬拽等现象一直存在，笔者也曾疑惑：究竟是单纯为了创设情境而创设，还是创设的情境也要为后续课堂服务？

旧教材中，课本单刀直入：前面我们接触过形如y=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ都是常数）的函数，它在实践中有很多用处.然后呈现物理中交流电的电流变化图象，引导学生对图象进行观察研究.学生在学习过程中，可能懵懵懂懂，比如会有这样的疑问：为什么要研究y=Asin（ωx+φ）这个函数？课本说交流电的电流变化图象与正弦曲线相似，它就相似了？看似简洁的情境引入，实则理解起来困难.

笔者在区公开课中因不满意旧教材给出的情境引入，设计成一段音频及几何画板函数发声作为情境引入，开场效果较好，学生的参与度很高，反响热烈.课后点评时，有老师指出笔者创设的情境在后续教学中没有起到任何作用，可以说是“假情境”，这引发了笔者的反思.而新教材中本节课的内容设置正好解决了笔者的疑惑.

新教材中，课本以实际情境“水利灌溉工具筒车的运动”作为理解函数y=Asin（ωx+φ）的重要载体，循序渐进地给出形如y=Asin（ωx+φ）的函数的形成过程以及参数A，ω，φ的实际意义，体现了“现实背景引入—抽象出数学模型—模型性质研究—回归现实应用模型”的完整数学建模过程.

基于对新教材的理解，笔者对情境创设环节进行了如下教学设计.

播放筒车运动的视频，PPT展示筒车图片，如图1.

师：同学们知道视频中的工具是什么吗？

生：是灌溉用的，筒车！

师：很好，筒车也叫水车，历史悠久.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.今天老师请同学们用我们所学的数学知识来刻画筒车的运动！

生反应：哀嚎.

师：好，那我们把问题简单化一下，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现在你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？

生1：盛水筒在做匀速圆周运动，可以用三角函数来刻画.

师：很好！其实从前面的学习中我们知道，单位圆上以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动的点的运动规律可以用三角函数来刻画.现在盛水筒的运动也是圆周运动，自然而然地可以考虑三角函数模型.请同学们先思考：与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

生2：与筒车半径、旋转的速度及时间有关.

生3：还应该和盛水筒的初始位置有关.

师：同学们考虑得很仔细，我们用数学知识解决现实问题，首先应该把问题数学化！现将筒车抽象为一个几何图形（图3）.

假设盛水筒为M，筒车的半径记为r，筒车转动的角速度用ω表示，盛水筒的初始位置记为P0，运动t s后到点P.

那么，要建立的是哪两个量间的函数关系啊？

生4：应该是时间t和点P位置的关系.

教师追问：点P的位置怎么描述呢？

生4：用点P到水面的距离来描述.

师：很好！点P到水面距离记为H，那么初始点P0的位置应该怎么描述呢？

生5：要先建个平面直角坐标系，这样点P0距离水面的高度就和它的初始角度有关了.

教师追问：你给大家提供了一个很好的思路，那你认为怎么建系合理呢？

生5：筒车是圆形，具有对称性，所以可将筒车的中心O作为原点，与水平面平行的直线为x轴建系.

教师继续追问：很好！那你能计算初始位置P0距离水面的高度吗？

生5：OP0与x轴所成的角为φ，点P0距离水面的高度等于rsin φ加上筒车的中心O到水面的距离.

师：生5分析得很好！因此点P0的位置就可以描述为HP0=rsin φ+h.接下来请思考经过t s盛水筒运动到点P时，点P离水面的距离H与时间t之间的函数关系是怎样的呢？

学生活动：独立思考后进行小组讨论，得出函数关系式.

生6：t s后盛水筒转过的角度为ωt，OP与x轴正半轴所成角为ωt+φ，则点P的纵坐标是rsin（ωt+φ），所以H=rsin（ωt+φ）+h.

师：非常好！整个思路很清晰，最后得到的盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系式H=rsin（ωt+φ）+h也完全正确！其中r，ω，φ是参数，h是常量.

2 问题设置注重思维

《课标（2017年版）》指出：基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养.因此在教学中应强调“思维过程的教学”，这就要求教师需在课堂问题的设置上下功夫，将教学各环节、知识各部分有机联系起来，以问题为主线，启发学生思考.

旧教材中，情境创设环节没有设置问题，情境与后续教学内容间只有一个问题衔接：“那么函数y=Asin（ωx+φ）与函数y=sin x有什么关系呢”.这个问题要研究的是什么呢？从哪个方面入手研究呢？怎么研究呢？学生一下子不知道自己要干什么，无从下手，因为这个问题表述得不清晰，对学生思维的导向不明确.在探究参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响过程中，旧教材给出了三个标注（如图4），对于过程性的探究没有设置相关问题，平铺直叙地将整个探究过程呈现给学生，是灌输式的教学，学生没有思考的机会.依据旧教材教学，教师需要设计好教学过程中的一系列问题，才能达到想要的课堂效果.

对比旧教材，在新教材中，情境创设环节课本给出了两个问题：一是“你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗”；二是一个思考“与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系”，如图5.

思考：与盛水简运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

第一个问题引导学生从函数的角度去破解筒车的匀速圆周运动，让学生抓住解决这一问题的数学工具为三角函数；第二个问题引导学生寻求筒车问题中的相关量，为进一步分析提供条件，并且提供分析问题的方向——量之间的关系.这两个问题的思维跨度较小，立足学生的实际，基于“跳一跳能摘到桃子”的原则，学生在这两个问题的引导下，加之教师的点拨，能较顺利地推导出H=rsin（ωt+φ）+h这个数学模型.而在情境与后续教学内容衔接处，课本又给出了一个思考，其中包含两个小问题，如图6.

思考：从解析式看，函数y=sin x就是函数y=Asin（ωx+φ）在A=1，ω=1，φ=0时的特殊情形.

（1）能否借助我们熟悉的函数y=sin x的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）的影响？

（2）函数y=Asin（ωx+φ）含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？

图7中的问题（1）就指明研究的路径是从y=sin x到y=Asin（ωx+φ），研究的对象是三个参数A，ω，φ.问题（2）进一步提供思考方向：三个参数A，ω，φ要怎样研究.两个问题层层递进，逻辑紧凑，对学生的思维起到导向作用.在研究三个参数环节，设置了三个类似的探究（如图7）进行衔接，串联起教学内容.

在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕点O1旋转π6到Q1，你发现图象有什么变化？如果使点Q0绕点O1旋转-π6，π3，-π3，或者旋转一个任意角φ呢？

问题是数学思维活动的结果，思维从问题开始，又导致新的问题的产生，笔者根据自己的理解，设计了参数探究环节的问题链：

问题1 从解析式看，函数y=sin x与函数y=Asin（ωx+φ）有什么区别？

追问1：要研究函数y=Asin（ωx+φ），需要研究哪几个参数？

追问2：能否借助熟悉的函数y=sin x的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y=Asin（ωx+φ）的影响？

问题2 函数y=Asin（ωx+φ）含有三个参数，你认为应该按怎样的思路进行研究？

追问3：分别研究三个参数对y=A sin（ωx+φ）图象的影响，那么，三个参数先研究哪一个呢？

追问4：研究参数φ，另外两个参数该怎么办呢？

问题3 回顾我们是如何利用单位圆得到函数y=sin x的图象？

问题4 在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕点O1旋转π6到点Q1，动点M以Q1为起点，经过x s后运动到点P，以点P的坐标描点，得到哪个函数的图象？

问题5 如何从圆周运动的角度解释函数y=sin x图象到函数y=sinx+π6图象的变化？

追问5：如果使点Q0绕点O1旋转-π6，π3，-π3，或者旋转一个任意角φ呢，该如何解释？

追问6：请同学们概括参数φ对y=sin（x+φ）

图象的影响.

问题6 继参数φ后，研究参数A，ω对函数y=Asin（ωx+φ）图象的影响，可以用什么思想方法？

问题7 用类比的思想方法，请同学们小组讨论，分别设计探究参数ω（ωgt;0），A（Agt;0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响过程.

问题8 你能总结一下从正弦函数出发，通过图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（Agt;0，ωgt;0）图象的过程与方法吗？

教师的“导”与学生的“学”通过问题链有机结合起来，用问题引发学生思考，用“链”把问题引向深入，加强学生的主动思维，从而使数学教学达到这一境界：知其然，知其所以然，何由以知其所以然，启发学者，示以思维之道耳！

3 探究过程融合技术

新、旧教材都提到了借助信息技术，旧教材指出以《几何画板》为例作图来探究参数A，ω，φ对y=Asin（ωx+φ）图象的影响，新教材中则引入新的教学软件《GeoGebra》.一个新的数学教学软件出现在新教材中，无疑是对《课标（2017年版）》的完美落实.笔者在新教材的指引下，借助《GeoGebra》绘制了三个参数对y=Asin（ωx+φ）影响的动态图象，借助匀速圆周运动，让学生认识到函数图象变化的实质.

参数φ对y=sin（x+φ）图象的影响如图8：

参数ω（ωgt;0）对y=sin（ωx+φ）图象的影响如图9：

参数A（Agt;0）对y=Asin（ωx+φ）图象的影响如图10：

在实际教学中，教师可结合动态图象进行讲解，例如讲解参数φ对y=sin（x+φ）图象的影响时可有如下教学设计片段：

师：如何从圆周运动角度解释函数y=sin x图象到函数y=sinx+π6图象的变化呢？

生1：动点分别以Q0，Q1为起点同时开始运动，到达同一点P，因为角速度ω=1，所以运动时间正好相差π6 s.

师：分析得很有道理！从动态图上看，以Q0为起点运动到点P的时间为x s，那么以Q1为起点运动到点P的时间应为x-π6s了.那么这个规律反映在图象上是怎样的呢？

生2：就是把函数y=sin x图象向左平移了π6个单位长度.

师：很好！哪个同学能更详细地解释一下呢？

生3：以Q0为起点运动到点P得到点F（x，y）在函数y=sin x图象上，那么点Gx-π6，y就在函数y=sinx+π6图象上.

师：非常棒！很好地理解了函数变化的实质是函数图象上点的运动.在生3的解释下，我们就能理解函数y=sin x图象上的所有点向左移动π6个单位长度，就得到了函数y=sinx+π6的图象.

4 例题选择强调应用

新、旧教材中，例1的选择是一样的，均为画出函数的简图，处理的过程也是一样的，目的是让学生运用三个参数A，ω，φ对y=Asin（ωx+φ）图象的影响，由y=sin x图象得到其他函数图象.但旧教材的后续安排是给出了A，ω，φ的物理意义，再由例2简谐运动的图象进行应用.而新教材将A，ω，φ的物理意义放在了下一课中，直接给出例2摩天轮的运动，将教学拉回到现实中，应用模型解决现实问题，完善整个数学建模活动的过程.

新教材的例题设置更注重模型的应用，这也切合《课标（2017年版）》中课程内容主线之一，即数学建模活动与数学探究活动，让学生运用知识的同时，落实数学建模核心素养.

总的来说，新教材中“函数y=Asin（ωx+φ）”的内容安排，“古代水利灌溉工具筒车”的情境融入了一定的数学历史文化，渗透了数学建模素养，探究过程融入信息技术，例题回归现实应用，是一个完整的教学过程.

以小见大，数学文化、数学建模、信息技术是新教材中变化较大的内容，放到整个新教材中都是有迹可循的，教师在教学中应加强重视，认真解读新教材，落实核心素养，教好新教材.

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