让音乐滋润数学

听了余泳老师“‘听见’函数：探秘音乐与正弦函数”这节课，有感而发，遂成本文.

1 怎样对待阅读材料

多年前，有一次笔者在公交车上看到几个挂着一所名校校徽的学生，问他们是几年级，回答是高二，再问他们学过圆锥曲线了吗，说学过了.问其为什么这章叫圆锥曲线？几个学生你看看我，我看看你，回答不出.笔者说书上阅读材料不是有吗？学生说，高考不考（其实，浙江省就考过类似题），老师没有讲，因此他们也没有看.

阅读材料虽然不考（以后也有可能进入数学文化的考题），但是对提高学生的科学和人文素养有重要意义.有效利用阅读材料

是培养学生“用数学的眼光看世界”的途径之一.现在由于教育观念的转变，老师们认识提高了，不少老师对新教材的阅读材料感兴趣，但是阅读材料的内容“点到为止”，想上一节课又感到力不从心.这就需要老师们苦练内功了.正如余老师在课后交流中所说：“在查阅资料的过程中，大大丰富了我的音律知识以及对于这一块数学史和音乐史的认知，一定程度上加深了本人对于函数与声音数学联系的认知，真正感受到了什么叫做教学相长.”

教材中常规的教学内容已经在各种类型的公开课不知上了多少遍，要想推陈出新确实很难，但是在诸如阅读材料等内容上往往可以上出让人眼睛一亮的课.余老师的这节课就是证明.

当然，余老师也是花了很多时间准备这节课.正如笔者和青年老师开玩笑时所说：你要爱这个老师就让他（她）去上公开课，因为这很锻炼人；如果你要恨一个老师，就让他（她）去上公开课，因为这很“折磨”人.这样的“折磨”能使老师们快速成长.相信在以后会见到更多来自于阅读材料的公开课.

2 一节数学文化的普及课

在数学课上学生情不自禁鼓掌的情况很少见，情不自禁鼓掌说明学生发自内心喜欢这节课.原因是余老师把正弦函数与音乐中的音调、响度、音长和音色关系讲清楚了，尽管学生喜欢美妙的音乐，但很少有学生知道那些美妙的音乐是由正弦函数合成的.即使有些学生对乐理有些了解，但对“三分损益法”引出的“五度相生律”——宫、商、角、徵、羽，以及“十二平均律”与数学的关系也未必有深入理解，尤其是数学使得十二平均律成为可能.

在课堂上通过对正弦型函数y=Asin ωt中各参数赋予不同的值对音调、响度、音长的影响，体会正弦函数在音乐中的作用.根据这些原理，余老师用正弦函数演示江南民歌《茉莉花》，学生为之震撼，才知道正弦函数有如此魅力！

这个过程中课堂现场的氛围十分热烈、学生的激动情绪肉眼可见，犹如推开了新世界的大门，相信经历过这堂课的学生中很大一部分在后续的学习过程中对数学的兴趣会远大于从前.

当把帕瓦罗蒂和姚贝娜的歌声转化为合成的正弦波图时，学生进一步感受到“用数学的眼光看世界”.

学生都知道声音是由正弦波传播的，但是在课堂上通过赋予正弦函数各参数不同的值而发出不同的声音，学生还是第一次经历，特别是多个正弦函数叠加的正弦波发出悦耳的声音，以致直接“演奏”出耳熟能详的名曲《茉莉花》，让学生大为振奋，“这真是神了！”由此看来，适当挖掘数学教材中的一些背景资料，对拓宽学生知识面、提高学生学习数学的兴趣十分有益.

小结中余老师诗意一般的表述提升了文化品位！

3 一节融入育人的德育课

如何在数学教学中立德树人？简言之，就是以数学知识为载体，以数学思想方法为突破口，培养学生的逻辑思维能力和理性精神.其中，辩证唯物主义观点、爱国主义、意志、毅力等品质的培养属于理性精神的范畴.

本课通过名曲《十面埋伏》《茉莉花》、由公元前7世纪管仲的三分损益律得到“五度相生律”以及朱载堉“十二平均律”的发明都早于欧洲相应定律法好多年，无痕地融入爱国主义教育，体现了文化自信.“特别是朱载堉为了计算‘十二平均律’，特制81档算盘（通常是13档，较长有17档），将2112算到小数点后二十几位，还算得十分精准，他的这份毅力、坚持和执著追寻答案的精神真是令人叹服！”余老师这看似平常的评论，对学生是巨大的鼓励.数学育人往往就是老师在一些教学环节针对具体问题有感而发的评论或体会，有时是精心准备的，有时则是陶醉于教学之中的深刻感悟，此时常常会有“金句”出现，如“经过多次的尝试和失败，我们终于找到了一个完美的解决方案，人生有时候也是这样”.

从“五度相生律”到“十二平均律”之间相隔上千年，之所以会出现这种情况，主要是数学的发展没跟上，是计算手段跟不上导致的，由此可见“用数学的语言去表达世界”不是空话.

4 一节数学生态课

所谓数学生态课堂，就是课堂教学尊重学生的认知规律、尊重知识的发生、发展规律，同时还具有思想（主要是哲学思想，也包含数学思想）高度和文化厚度.两个尊重是教书，两个度是育人.高品位的数学课两个度不可少.

余老师这节课的课题“‘听见’正弦函数”就兼具思想高度和文化厚度，从上课开始的欣赏名曲《十面埋伏》到用正弦函数叠加而产生的另一首名曲《茉莉花》，十二平均律的数学原理，直到最后欣赏帕瓦罗蒂和姚贝娜的曲目都极具文化氛围，让学生通过正弦函数感受数学的魅力，感受数学是认识世界不可或缺的工具，感受数学是“科学之母”，从而更加热爱数学.

余老师在两个尊重方面做得很好.学生在余老师的引导下积极参与教学，特别是在音长和音色阶段，学生通过构造函数定义域控制音长，通过构造递减函数使得歌声慢慢减低，通过正弦函数的叠加控制音色，得到自己想要的音乐，学生的聪明才智得以充分发挥.

教学过程从欣赏名曲开始，然后解构音乐的形成机理，揭示音调与机械波的波长（正弦函数的周期）有关，而波长又和弦长（乐器中弦）有关（成正比），音响与正弦函数的振幅有关，音长可以通过限制函数定义域来实现，音色可以通过若干正弦函数叠加而成，把学生在物理课上学到的声音和正弦波的听不见摸不着、抽象难懂的机械波变得直观易懂了.这体现了学科融合，也体现了哲学原理在数学教学中的指导作用.哲学思想对数学教学的指导是隐形的，既无处不在又无处不显山露水.

5 一节展示教育技术的课

本课中之所以能把听不见摸不着的物理问题转变成“听见函数”，正是教育技术的支持，如此就更能体会章建跃博士提出的“理解技术”的意义.

本课中通过几何画板生成各种声音，又由多个正弦函数叠加而成《茉莉花》乐曲，而通过GGB软件生成各个正弦图象的叠加，都体现了余老师对这两种软件的熟练运用.可以说，如果不能灵活运用这些技术，那么在本节课中再先进的教育理念、再好的教学设计都是纸上谈兵，无法在课堂实施，从而说明运用教育技术是我们一线老师必须要掌握的技能.

6 改进建议

本课中从正弦函数各参数与音乐四要素之间的关系展开，通过多个正弦函数叠加得到《茉莉花》乐曲，最后又把帕瓦罗蒂与姚贝娜的歌声还原为叠加后的正弦图象（不是很清楚），如果能把两位歌者的声音分解成若干个正弦函数的和就更好了，这样就可以实现由正弦函数叠加而得乐曲，反过来，知道一段乐曲可以模拟出其由若干个正弦函数叠加而得.根据现在手机通讯的情况看这个技术是过关的，只是不知道在中学教学中有没有相应软件可用.呼请同行们一并想想办法.

另外可尝试进一步提高教学过程中学生自主使用软件进行探究的比重，或许能取得更好的教学效果.

总之，余老师这节课为我们研究教材中非考试内容开了一个很好的先例，相信还会有更多的老师进入这个研究行列，开阔我们的教学视野，为师生提供更多的优质课！