一道圆锥曲线题目的变式探究

摘 要：以一道双曲线综合题目为题根，从离心率、定点、定值、轨迹、探究性问题等不同角度对试题进行改编，设计变式题组，并借助二倍角三角形的结论将其进一步推广，得到了一般性的结论.

关键词：圆锥曲线；变式探究；溯源推广

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0054-03

近年新高考加大了对双曲线的考查力度，双曲线沉寂多年的重要性质都被挖掘出来.下面通过对一道双曲线题目的深入研究，进一步感悟其命题思路和考查特点.

1 试题呈现

题目 双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.

当BF⊥AF时，|AF|=|BF|.

（1）求C的离心率；

（2）若B在第一象限，证明：∠BFA=2∠BAF.

解析 （1）e=2（过程略）.

（2）设B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，因为e=2，所以c=2a，b=3a.

所以双曲线方程为x2a2-y23a2=1.

当x0=c时，BF=AF，此时∠BFA=π2=2∠BAF，成立；

当x0≠c时，

tan∠BFA=-y0x0-c=-y0x0-2a，

tan∠BAF=y0x0+a，

所以tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-［y0/（x0+a）］2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-3a2（x20/a2-1）

=-y0x0-2a

=tan∠BFA.

因为渐近线方程为y=±3x，

所以∠BAF∈（0，π3），∠BFA∈（0，2π3）.

因为2∠BAF∈（0，2π3），故∠BFA=2∠BAF.

2 变式探究

变式1 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左顶点为A，右焦点为F，点B为双曲线C右支上的一个动点，若∠BFA=2∠BAF，求C的离心率.

解析 根据对称性，不妨设B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，

当x0=c时，BF=AF，即b2a=a+c，解得e=2；

当x0≠c时，tan∠BFA=-y0x0-c，

tan∠BAF=y0x0+a，

所以tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-［y0/（x0+a）］2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-b2（x20/a2-1）

=2y0［（a2-b2）/a2］x0+x20/a.

因为∠BFA=2∠BAF，

所以tan∠BFA=tan2∠BAF.

即2y0［（a2-b2）/a2］x0+c2/a=-y0x0-c.

则a2-b2a2=-2，c2a=2c， 解得e=2.

变式2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），离心率e=2，F是双曲线C的右焦点，A是其左顶点，B是双曲线C在第一象限上任意一点，问是否存在常数λ，使得∠BFA=λ∠BAF恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.

解析" 因为双曲线离心率e=2，

故b=3a，c=2a.

所以双曲线方程为x2a2-y23a2=1.

当∠BFA=π2时，B（2a，3a），AF=3a，所以∠BAF=π4，此时∠BFA=2∠BAF，即λ=2.

下面证明λ=2对任意点B均使得∠BFA=λ∠BAF成立.

不妨设B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，

则x20a2-y203a2=1.

又tan∠BFA=-y0x0-c=y02a-x0，

tan∠BAF=y0x0+a，

故tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-y20/（x0+a）2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-（3x20-3a2）

=y02a-x0

=tan∠BFA.

因为渐近线方程为y=±3x，

所以∠BAF∈（0，π3），∠BFA∈（0，2π3），

结合正切函数的图象可知，∠BFA=2∠BAF.

所以存在λ=2，使∠QF2A=2∠QAF2成立.

变式3 动点M与两定点A（-1，0），B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C，求轨迹C的方程.

解析 设M的坐标为（x，y），显然有xgt;0，且y≠0，

当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3），

当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB，

有tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB.

即-yx-2=2y/（x+1）1-［y（x+1）］2.

化简，得3x2-y2-3=0.

而点（2，±3）也在曲线3x2-y2-3=0上，

综上可知，轨迹C的方程为x2-y23=1（xgt;1）.

3 溯源推广

基于上述研究，对本题追根溯源，发现其命题思路是将二倍角三角形的一般性结论推广到双曲线问题中的特殊情形：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则A=2Ba2=b2+bc.

证明" 因为A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，所以a=2b·a2+c2-b22ac.

整理可得（c-b）（a2-bc-b2）=0.

则c=b或a2=b2+bc.

当c=b时，B=C，由A+B+C=π可得A=π2，B=C=π4.

此时△ABC为直角三角形，满足a2=b2+bc.

综上，a2=b2+bc.

反之，若a2=b2+bc，

由余弦定理可得

cosA=b2+c2-a22bc=c2-bc2bc=c-b2b.

即2bcosA=c-b.

由正弦定理可得

2sinBcosA=sinC-sinB=sin（A+B）-sinB.

即2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB-sinB.

整理可得sinB=sin（A-B）.

所以B=A-B，即A=2B.

上述结论将角与角之间的二倍关系，转化为边与边之间的长度关系，下面再利用二倍角三角形的等价命题对典例及变式中的结论给出一般性结论.

结论1 双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左顶点为A，右焦点为F，点B为双曲线C右支上的动点，∠BFA=2∠BAF双曲线的离心率e=2.

结论2 双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左顶点为A，右焦点为F，点B为双曲线C左支上的动点，π-∠BFA=2（π-∠BAF）双曲线的离心率e=2[1].

结论3 双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左顶点为A，右焦点为F，过右焦点F的直线与C交于P，Q两点，以PQ为直径的圆恒过定点A双曲线的离心率e=2.

4 结束语

文章通过对一道双曲线习题的变式和推广，使得学生从特殊情境中抽象出一般性规律，展现了数学问题解决的灵活性和创造性.所呈现的题组不仅增进了学生对离心率、定点、定值和轨迹等问题的理解，还培养了他们将所学知识应用于解决复杂问题的能力；所采用的二倍角三角形结论推广到双曲线问题的探索，体现了数学知识之间的内在联系.这种跨主题的知识链接不仅有助于学生对知识的深度理解和自主迁移，也提供了解决其他数学问题的新视角和策略.

参考文献：

［1］ 甘志国.离心率为2的双曲线的性质：2010年高考四川卷理科解析几何大题的课本题背景[J].中学数学，2011（01）：55-57.

［责任编辑：李 璟］