深究其惑 探究其解

摘 要：根据2021年全国新高考Ⅰ卷21题广东省考生的评卷情况，对试题进行多角度分析后，给出了三种不同的解法.在教学过程中，注重开发学生的思维，鼓励学生通过一题多解来不断加深并拓展知识，有效摆脱思维定式的制约，倡导在解题中发现本质，开拓思维.

关键词：开拓思维；探究问题；解题教学；数学核心素养

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0069-03

2021年全国新高考数学Ⅰ卷突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则，稳步推进改革，科学把握必备知识和关键能力的关系，以及数学题型的开放性和数学思维的开放性，稳中求新，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.在数学教学中，学生经常困惑于找不到突破口，如何选择变量？选择哪种途径？能不能行得通？不能确定选择的方案能否解决问题？等等.在日常教学中教师应了解学生解题“卡”在哪里，要有针对性地解决学生的困惑，帮助学生跨过“坎”.下面以2021年全国新高考数学Ⅰ卷第21题为例谈谈在教学中如何助推学生顺利达成目标，提升学生的数学运算素养.

1 考题呈现

题目 （2021年全国新高考Ⅰ卷21）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-17，0）F2（17，0），MF1-MF2=2，点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

2 评卷情况

从高考评卷的情况来看，此题全省平均分2.32，其中第（1）问平均分2.24，难度0.56；第（2）问平均分0.08，难度0.01，很多考生得0分，此题总平均分还是得益于第一问贡献的.问题出在：一是考生联立直线AB与曲线C的方程后，整理不出含有参数k1和t的关于x的一元二次方程；二是考生不知如何处理式子TA·TB=TP·TQ，卡住了很多考生，归根到底是计算问题.运算是数学的童子功，但是运算素养并不是一蹴而就的，需要长期的培养.

3 试题解法分析

此题主要考查双曲线的定义、双曲线的性质、直线和双曲线的位置关系.（1）利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点双曲线的右支，求出a，b的值，即可得出轨迹C的方程；（2）设点T（12，t），设直线AB的方程为y-t=k1（x-12），设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与曲线C的方程，列出韦达定理，求出TA·TB的表达式，设直线PQ的斜率为k2，同理可得出TP·TQ，由TA·TB=TP·TQ化简可得k1+k2的值.

3.1 第（1）问解析

解析 因为MF1-MF2=2lt;F1F2=217，

所以轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支.

设轨迹C的方程为x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），则2a=2.

可得a=1，b=17-a2=4.

所以轨迹C的方程为x2-y216=1（x≥1）.

当然也有部分考生利用两点间的距离公式，然后利用两次平方法求得，此方法对运算能力要求较高.第（1）问由于部分考生漏写了限制条件x≥1而导致扣分，反映出部分考生对双曲线的定义掌握得不够牢固.

3.2 第（2）问解析

解法1 （代数法）设点T（12，t），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨设直线AB的方程为

y-t=k1（x-12），

即y=k1x+t-12k1.

联立y=k1x+t-12k1，16x2-y2=16， 消去y整理，得

（k21-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-12k1）2+16=0.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1gt;12且x2gt;12.

由韦达定理，得

x1+x2=k21-2k1tk21-16，x1x2=（t-k1/2）2+16k21-16.

则TA·TB=（1+k21）·x1-12·x2-12

=（1+k21）·（x1x2-x1+x22+14）

=（t2+12）（1+k21）k21-16.

设直线PQ的斜率为k2，同理可得

TP·TQ=（t2+12）（1+k22）k22-16.

因为TA·TB=TP·TQ，即

（t2+12）（1+k21）k21-16=（t2+12）（1+k22）k22-16.

整理可得k21=k22.

即（k1-k2）（k1+k2）=0.

显然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

因此直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

点评 高考评卷时发现部分考生知道设点T的坐标和直线AB的方程，但是联立直线AB与曲线C的方程后，整理不出含有参数k1和t的关于x的一元二次方程，只有极小部分考生能够准确得到关于x的一元二次方程，而又不能准确算出TA·TB和TP·TQ，此方法运算量较大，容易出错，因而得分不多.

解法2 （参数方程法）设点T（12，t），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点.因而设直线AB，PQ的倾斜角分别为α和β（α≠β），则直线AB的参数方程为

x=12+tcosα，y=m+tsinα.（t为参数）

代入曲线C的方程可得关于t的一元二次方程为（16cos2α-sin2α）t2+（16cosα-2msinα）t-m2-12=0.

显然16cos2α-sin2α≠0，否则过点T的直线平行于渐近线，不可能与C有两个交点.根据直线参数方程中参数的几何意义可知

TA·TB=t1t2

=-m2+1216cos2α-sin2α

=-m2+1217cos2α-1.

同理可得TP·TQ=-m2+1217cos2β-1.

由于TA·TB=TP·TQ，

于是17cos2α-1=17cos2β-1.

可得cosα+sinα=0.

则α=π-β.

因此直线AB与直线PQ的斜率互为相反数，两者斜率之和为0.

点评 采用参数方程的方法运算量较小，相对来说容易得高分，但是对考生的能力要求较高.

解法3 （二次曲线系法）设直线AB，PQ的斜率分别为k1和k2，令点T（12，n），则这两条直线上所有点的并集构成的点集对应的曲线方程可设为C1：（k1x-y+n-12k1）（k2x-y+n-12k2）=0.

进一步，经过C1与C的交点即A，B，P，Q的曲线系方程可表示为C2：（k1x-y+n-12k1）（k2x-y+n-12k2）+（16x2-y2-16）=0.

又因为TA·TB=TP·TQ，由相交弦定理可知A，B，P，Q四点共圆，故C2中交叉项系数和为0.

即k1+k2=0.

因此直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

点评 利用曲线系和相交弦定理的方法运算量很小，简洁明了，但思维量很大.对学有余力、基础扎实和能力较强的学生来说不失为一种好方法.

4 结束语

高三复习主要是解题教学，树立正确的解题教学观很重要.解题教学首要目的是巩固概念，最终目的是学会思考，教学中要培养学生良好的解题习惯［1］，从运算的准确性、熟练性、

合理性、简洁性、规范性入手，努力提升学生的数学运算素养.

我们要重视学生独立思考、逻辑推理、数学应用、灵活应变能力、数学阅读和表达等关键能力的培养.不要盲目追求题量，解题关注的是质量，题不在多，典型就行；题不在难，有思想则灵.通过解题，我们能够一叶知秋，拓展思维，提高解题能力.

教师应该千方百计提高学生学习的主动性，开展“以学生自主活动为主”的课堂教学，让学生独立自主地进行探究点.更重要的是，教师要以学生学习为主线，关注学生问题生成、提出、分析和解决的全过程，指导并促使学生由浅入深、由表及里地进行学习探究，进而形成独立思考、实践和学习的能力.

参考文献：

［1］ 江中伟.重视基础提炼方法提升数学运算素养[J].中小学数学，2019（09）：52-54.

［责任编辑：李 璟］