对2023年高考数学全国甲卷文科第20题的解题思考

摘 要：以2023年高考数学全国甲卷文科第20题为载体，呈现试题与参考答案，剖析参考答案的思维过程，并从试题的考查目标和亮点等角度给出简析，明确试题导向.据此，笔者给出常见的解法，并结合教学实践给出思考.

关键词：数学思维；逻辑推理；目标引领；一题多解

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0086-05

数学是思维的学科.学习数学的目的在某种意义上讲就是锻炼数学的思维，即通过数学学习，学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.高考题是命题专家集体智慧的结晶，对中学数学的教与学具有较好的示范与引领作用.研习高考真题，可以明晰教与学的方向，落实国家的教育方针与政策，促进学生综合素养的全面提升.下面以2023年高考数学全国甲卷文科第20题为例，给出解答、评析与思考.

1 试题与参考答案呈现

题目 （2023年高考数学全国甲卷文科第20题）已知函数f（x）=ax-sinxcos2x，x∈（0，π2）.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）+sinxlt;0，求a的取值范围.

命题组提供的参考答案如下：

解法1 （1）当a=1时，f ′（x）=cos3x+cos2x-2cos3x，

当x∈（0，π2）时，f ′（x）lt;0，f（x）在区间（0，π2）单调递减.

（2）（下文称解法1）当a≤0时，

f（x）+sinx=ax+sinx（1-1cos2x）lt;0；

当agt;0时，因为当x∈（0，π2）时，sinxlt;x，

所以f（x）+sinxgt;sinx·（a+1-1cos2x）.

因为agt;0，所以0lt;1a+1lt;1.

取x0∈（0，π2），满足cos2x0gt;1a+1.

从而f（x0）+sinx0gt;0.

综上，a的取值范围为（-∞，0］.

第（1）问由cosx的有界性，易知f ′（x）lt;0，无需具体变形到

f ′（x）=（cosx-1）（cos2x+cosx+2）cos3x.

第（2）问解法1根据正弦函数、余弦函数的有界性将f（x）+sinx（以下记为g（x））中三项分成两组ax，-sinxcos2x+sinx，其中-sinxcos2x+sinx=sinx（1-1cos2x）lt;0，根据符号法则可知a≤0时符合题意，明确了参数的分类讨论标准，即证明当a≤0时均满足题意；当agt;0时，g（x）中的三项有两项含有sinx，故尝试将x用sinx替换配凑公因式.基于常用结论“当x≥0时，x≥sinx；当xlt;0时，xlt;sinx，当且仅当x=0时取等号”，将g（x）放缩成函数y=sinx（a+1-1cos2x），结合目标通过解不等式找出一个反例，即证明了当agt;0时均不满足题意，从而得到结论的充要条件.

2 试题简析

本题以三角函数、多项式为背景，构造了所要研究的函数.通过对函数性质的研究，试题全面考查了导数及其应用，这也是中学教学中的重点与难点.试题的第（1）问面向全体考生，体现试题的基础性，利用导数就能得到函数的单调性，考查了考生通过导数解决问题的能力、计算与转化的能力，体现了函数与方程的数学思想在中学教学中的应用.试题的第（2）问体现了试题的选拔性，通过常用的函数不等式、放缩得到所证的不等式，考查了化归与转化的能力、分类讨论的能力、逻辑推理能力、数学运算能力，具有较好的选拔功能[1].本题具有以下亮点：（1）试题巧妙地将三角函数与多项式函数结合，讨论函数之间的不等问题.三角函数的导数是中学教学的重点与难点，具有一定的综合性.（2）试题设计新颖，紧扣课程标准，全面考查了利用导数研究函数的单调性等与导数有关的问题.试题计算量小，要求考生多思考、少计算，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔能力.（3）试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，使理性思维深度、知识掌握程度、运算求解娴熟程度不同的考生都能得到充分的展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有良好的引导作用.

3 试题的其他解法

解法2 由题意f（x）+sinxlt;0，

即

ax-sinxcos2x+sinxlt;0.记g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，x∈（0，π2）.

当a≤0时，ax≤0，-sinxcos2x+sinx=-sinxtan2xlt;0，符合题意；

当agt;0时，

g′（x）=a-cos2x+2sin2xcos3x+cosx

=cos4x+acos3x+cos2x-2cos3x，

记p（x）=cos4x+acos3x+cos2x-2，则

p′（x）=-sinxcosx（4cos2x+3acosx+2）lt;0.

所以函数p（x）在区间（0，π2）上单调递减.

因为p（0）=agt;0，

p（π2）=-2lt;0，

所以存在x1∈（0，π2），使得g′（x1）=0.

当x∈（0，x1）时，g′（x）gt;0，此时g（x）单调递增，故有g（x1）gt;g（0）=0，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0］.

解法2中，当agt;0时，对g（x），p（x）分别求导从而确定函数g（x）的单调性，此时g（x）lt;0的充要条件为［g（x）］max=g（x1）lt;0，但g′（x）的隐零点x1的函数值g（x1）难以确定，抓住端点的函数值进行排除，事半功倍.

解法3 记g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，且g（0）=0，

g′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx，

则g″（x）=sinx（cos2x-6）cos4x-sinx，x∈（0，π2），

有sinxgt;0，cos2x-6lt;0.

故g″（x）lt;0.

所以g′（x）在区间（0，π2）上单调递减.

所以g′（x）lt;g′（0）=a.

当g′（0）=a≤0时，g（x）在区间（0，π2）上单调递减，所以g（x）lt;g（0）=0成立.

当g′（0）=agt;0时，g′（π2）→-∞，则存在x1∈（0，π2），使得g′（x1）=0，当x∈（0，x1）时，g′（x）gt;0，此时g（x）单调递增，故有g（x1）gt;g（0）=0，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0］.

解法3对函数g（x）求一阶导数、二阶导数，判断其单调性与凹凸性，g（x）在区间（0，π2）上的凹凸性与参数a无关，始终为上凸函数.合理准确地研究函数的性质是解题的关键.解法3直接对g′（x）求导涉及分式，计算繁琐一点，可得出g（x）的凹凸性和g′（x）的单调性.解法2对p（x）（分式函数g′（x）的分子）求导，只能得到g′（x）的单调性.

解法4 记g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，

当x∈（0，π2）时，可证xgt;sinx.

当a≤0时，由x∈（0，π2），得ax≤asinx.

所以g（x）≤asinx-sinxcos2x+sinx.

记q（x）=asinx-sinxcos2x+sinx，则

q（x）=sinx（a-tan2x）lt;0，

符合题意.

当agt;0时，由x∈（0，π2），得

axgt;asinx.

所以g（x）gt;asinx-sinxcos2x+sinx.

记q（x）=asinx-sinxcos2x+sinx，则

q（x）=-sinx（tanx-a）（tanx+a）.

故存在x2∈（0，π2），使得tanx2-a=0.

从而当x∈（0，x2）时，g（x）gt;q（x）gt;0，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围（-∞，0）.

解法4中g（x）的三项有两项含有sinx，故尝试将x用sinx替换配凑公因式.根据结论“当x∈（0，π2）时，xgt;sinx”将函数g（x）放缩成函数q（x），通过研究函数q（x）的性质得到函数g（x）的相关性质.

解法5 由题意f（x）+sinxlt;0，即

axlt;sinxcos2x-sinx，x∈（0，π2）.

记φ（x）=sinxcos2x-sinx，x∈（0，π2），

φ′（x）=2-cos2xcos3x-cosx，

φ″（x）=sinx（6-cos2x）cos4x+sinxgt;0，

故函数φ（x）在区间（0，π2）上为下凸函数，φ′（0）=0，所以a≤0.

因此实数a的取值范围是（-∞，0］.

解法5分离函数，转化为直线y=ax与函数φ（x）在区间（0，π2）的图象之间的上下位置关系，探求得到φ（x）在区间（0，π2）上为下凸函数.y=ax为经过点（0，0），斜率为a的直线，而函数φ（x）在x=0处的切线为y=0，根据下凸函数的图象与性质可得结论.

解法6 由题意f（x）+sinxlt;0，即

alt;（sinx）/（cos2x）-sinxx，x∈（0，π2）.

记m（x）=（sinx/cos2x）-sinxx，x∈（0，π2），则

m′（x）=x-2［（2-cos2xcos3x-cosx）x-（sinxcos2x-sinx）］，

记n（x）=（2-cos2xcos3x-cosx）x-（sinxcos2x-sinx），x∈（0，π2），则

n′（x）=（2-cos2xcos3x-cosx）′x+（2-cos2xcos3x-cosx）-（sinxcos2x-sinx）′=［sinx（6-cos2x）cos4x+sinx］xgt;0.

因此，函数n（x）在区间（0，π2）上单调递增，n（x）gt;n（0）=0，即m′（x）gt;0，则函数m（x）在区间（0，π2）上单调递增.

由洛必达法则，得

limx→0+m（x）=limx→0+（sinx）/（cos2x）-sinxx

=limx→0+［（sinx）/（cos2x）-sinx］′x′

=limx→0+（sinxcos2x-sinx）′

=limx→0+（2-cos2xcos3x-cosx）

=0.

所以a≤0.

因此实数a的取值范围是（-∞，0］.

解法6分离参数a，转化为直线y=a与函数m（x）在区间（0，π2）的图象之间的上下位置关系，由于y=a为水平直线，故不涉及函数m（x）的凹凸性，只需求出函数m（x）在区间（0，π2）上的最小值（或下确界）.由于函数m（x）在区间（0，π2）单调递增，故函数在区间（0，π2）上不存在最小值，用洛必达法则求出函数m（x）在区间（0，π2）上的下确界.

解法7 由题意f（x）+sinxlt;0，即

ax-sinxcos2x+sinxlt;0.

记g（x）=ax-sinxcos2x+sinx，

因为x∈（0，π2），且g（0）=0，

所以g（x）lt;0的必要条件是g′（0）≤0.

因为g′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx，

所以必有g′（0）=a≤0.

下面证明当a≤0时，g（x）lt;0在区间（0，π2）恒成立.

当x∈（0，π2），a≤0时，

g（x）lt;-sinxcos2x+sinx.

记h（x）=-sinxcos2x+sinx，

则h（0）=0.

h′（x）=cos4x+cos2x-2cos3x

=（cos2x+2）（cos2x-1）cos3x，

当x∈（0，π2）时，h′（x）lt;0，所以函数h（x）在区间（0，π2）上单调递减.

故h（x）lt;h（0）=0.

所以g（x）lt;h（x）lt;0.

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0］.

解法7根据g（0）=0，结合函数g（x）的连续性，利用“端点效应”得到结论的必要条件g′（0）=a≤0，然后再加以筛选或验证，优化了解题过程.当a≤0，x∈（0，π2），根据符号法则可知ax≤0（本质是将y=ax“放大”为y=0）.

4 教学思考

4.1 目标引领方向，系统思维优化过程

做任何事情都要明确目标与任务.第（2）问是求g（x）lt;0的参数a的取值范围，自然的想法是研究函数g（x）的单调性，数形结合得出结论.但g（x）的单调性可能受参数a的取值范围的影响，此时需要分类讨论，即解法3.分析函数g（x）的各组成部分，尝试从不同角度得到各局部与整体的性质，采用系统思维优化解题过程.当agt;0解法2通过p（x）的符号确定函数g（x）的单调性.

4.2 重视逻辑推理，强化恒等变形

解法1与解法4中当agt;0时，将函数g（x）缩小为函数q（x），再分别证明存在x0使得q（x0）gt;0，本质是利用不等式的传递性证明函数的大小关系.通过充要条件直接求参数范围一般不能放缩函数.确定一个多项式的符号，往往将其转化为若干个因式乘积或平方和的形式，离不开（因式分解、分子有理化等）恒等变形的能力.如解法1中f ′（x）=（cosx-1）（cos2x+cosx+2）cos3x能有效提高学生的因式分解能力，解法2中g′（x）=a-cos2x+2sin2xcos3x+cosx写成g′（x）=a-2-cos2xcos3x+cosx的形式使后续求导更简捷.

解法5与解法6均从数形结合思想的角度直接求结论的充要条件，其中解法5需要用到函数φ（x）的凹凸性，解法6中n（x）在区间（0，π2）的最小值不存在是前进的障碍.解法7利用必要性策略，根据特殊与一般的关系，选择某一个切入点先排除一定不满足结论的参数a的部分取值，进而对参数a的余下的值进行筛选.特别情况下，通过必要性策略得到的结果与结论相同，但验证的过程必不可少.

4.3 明晰解题依据 选择合适解法

高考命题不断完善考试内容，创新考查形式，丰富评价手段，强化保障措施，取得了一系列突破性进展，主要体现在以下三个方面：（1）落实立德树人，实现高考由考试评价工具到全面育人载体的转变；（2）科学服务选才，实现高考由“解题”到“解决问题”的转变；（3）有效引导教学，实现高考由“以纲定考”到“考教衔接”的转变.培养学生数学思维，提升学生数学素养是应对新高考的唯一选择，也只有这样，才能以不变应万变.教学中应避免猎奇心理、片面地为“一题多解”而刷题找依据和深挖洞、曲解命题意图为搞“二级结论”寻找理由等.以上给出7种解法，教师要明确各种解法的依据，根据学生的具体情况至多选择2～3种解法.解法2更贴近学生认知，理应强调.解法1看似新颖，大道至简，其中常用结论“当x≥0时，x≥sinx；当xlt;0时，xlt;sinx；当且仅当x=0时取等号”根植教材，引领我们回顾教材.解法7以局部与整体为切入点，压缩了参数的给值范围，提高了解题效率，引导学生深度思考数学解题的逻辑.

5 结束语

本题第（2）问为含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是高考的重点和难点.其解法灵活多样，我们要弄清各种解法之间的差异，构建各种解法之间沟通的桥梁.知其然更要知其所以然，并知何由以知其所以然.促进从知识的积累到经验的提升，从基本能力的提高到数学综合素养的全面提升.

参考文献：

［1］ 教育部教育考试院.高考试题分析（2024年版）数学[M].北京：语文出版社，2023.

［责任编辑：李 璟］