利用具体函数替代作用破解抽象函数问题

摘 要：以近几年的全国高考试题和高考模考试题为例，利用具体函数替代作用破解抽象函数问题.

关键词：抽象函数；函数性质；幂（指、对）函数；三角函数；分段函数

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0076-05

抽象函数是没有给出具体表达式的函数，此类问题常常集函数的基本性质、图象、对称性等问题于一身，既考查了函数的基本概念、基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等），又考查了学生的抽象思维能力，对学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等素养有较高的要求［1］.由于问题没有给出函数表达式，所以在解答形如求值、解不等式、性质的判断、函数的构造等常考题型时，其隶属哪一种函数类型，常常隐藏不露，致使学生在解答此类问题时往往无从下手，计算推理受阻.下面我们以近几年的高考试题和高考模考试题为例，利用具体函数替代作用破解抽象函数问题，供教学参考.

1 构造一次函数

例1 （多项选择题，2024年九省高考数学适应性测试第11题）已知函数f（x）的定义域为R，且f（12）≠0，若f（x+y）+f（x）f（y）=4xy，则（" ）.

A.f（-12）=0

B.f（12）=-2

C.函数f（x-12）是偶函数

D.函数f（x+12）是减函数

分析 根据条件构造一次函数排除答案C，验证A，B，D正确，再进行运算和推理.

解析 根据条件含有xy项，设f（x）=kx+b，代入f（x+y）+f（x）f（y）=4xy，得

（k2-4）xy+（kb+k）（x+y）+b2+b=0对任意x，y∈R都成立.

则k2=4，k（b+1）=0，b（b+1）=0.

注意f（12）≠0，从而k=-2，b=-1.

进而f（x）=-2x-1满足题意.

代入选择支排除答案C.

在式子f（x+y）+f（x）f（y）=4xy中，令x=12，y=0，得

f（12）+f（12）f（0）=0.

由f（12）≠0，得f（0）=-1.

令x=-12，y=12，得

f（0）+f（-12）f（12）=-1.

则f（-12）=0.

令x=1，y=-12，得

f（12）+f（1）f（-12）=-2.

则f（12）=-2.

令x=-12，y=x+12，得

f（x）+f（-12）f（x+12）=4（-12）（x+12）=-2x-1.

从而f（x）=-2x-1.

函数f（x+12）=-2x-2单调递减.

故选ABD.

2 构造常函数和余弦型三角函数

例2 （多项选择题，2023年新高考数学Ⅰ卷第11题）已知函数f（x）的定义域为R，

f（xy）=y2f（x）+x2f（y），则（" ）.

A.f（0）=0""" B.f（1）=0

C.f（x）是偶函数D.x=0为f（x）的极小值点

分析 利用赋值法和偶函数的定义判定答案A，B，C正确，排除法答案D不正确，或者根据条件构造常函数排除答案D.

解析 取x=y=0得f（0）=0，答案A正确；

取x=y=1得f（1）=0，答案B正确；

取x=y=-1得2f（-1）=f（1）=0，取y=-1得f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x），答案C正确；

取f（x）=0，x∈R，排除答案D.

故选ABC.

例3 （多项选择题，2022年新高考数学Ⅰ卷第12题）已知函数f（x）及其导函数f ′（x）的定义域均为R，记g（x）=f ′（x）.若f（32-2x），g（2+x）均为偶函数，则（" ）.

A.f（0）=0""" B.g（-12）=0

C.f（-1）=f（4）D.g（-1）=g（2）

分析 根据条件构造常函数和正弦型三角函数解答.

解析 由题意取f（x）=1，x∈R，则排除答案A.

取f（x）=sinπx，x∈R，则

f（32-2x）=sin［π（32-2x）］=-cos2πx，

所以f（32-2x）为偶函数.

由g（x）=f ′（x）=πcosπx，得

g（2+x）=πcos［π（2+x）］=πcosπx.

则g（2+x）为偶函数.

所以g（-1）=πcos（-π）=-π，g（2）=πcos2π=π，g（-1）≠g（2），则排除答案D.

故选BC.

3 构造幂函数

例4 （2021年新高考数学Ⅱ卷第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）=.

①f（x1x2）=f（x1）f（x2）；

②当x∈（0，+∞）时，f ′（x）gt;0；

③f ′（x）是奇函数

分析 根据条件构造幂函数解答.

解析 幂函数满足条件①，再结合条件②③构造满足题意的函数.取f（x）=x2满足题意，取f（x）=x4也满足题意，答案不唯一，f（x）=x2n（n∈N*）均满足.

4 构造指数型函数

例5 （单项选择题，2023届广州市二模试题8）已知偶函数f（x）与其导函数f ′（x）的定义域均为R，且f ′（x）+e-x+x也是偶函数，若f（2a-1）lt;f（a+1），则实数a的取值范围是（" ）.

A.（-∞，2）""" B.（0，2）

C.（2，+∞） D.（-∞，0）∪（2，+∞）

分析 根据条件构造指数型函数解答.

解析 由题意取f（x）=ex+e-x-x22，x∈R，

则f ′（x）+e-x+x=ex-e-x-2x2+e-x+x=ex+e-x2是偶函数.

f ′（x）=ex-e-x-2x2，

f ″（x）=ex+e-x-22≥2ex·e-x-22=0，

则f ′（x）在（0，+∞）单调递增.

从而当x∈（0，+∞）时，f ′（x）gt;f（0）=0，f（x）在（0，+∞）单调递增.因为

f（2a-1）lt;f（a+1），

所以f（2a-1）lt;f（a+1）.

则2a-1lt;a+1.

平方并整理，得a2-2alt;0，解得0lt;alt;2.

故选B.

5 构造对数型函数

例6 （单项选择题，自编）若函数f（x）满足：（1）x，y∈R+，均有f（x+y）=f（x）+f（y）；（2）当x≠y时，f（x）≠f（y）.若数列an满足f（an+1）-f（an）=f（2）（n∈N*）， a2022=4，则a2024=（" ）.

A.2" B.4" C.8" D.16

分析 根据条件构造对数函数解答.

解析 由题意构造函数f（x）=lnx.

由f（an+1）-f（an）=f（2），得

f（an+1）=f（an）+f（2）=f（2an）.

则an+1=2an.

所以数列an是公比为2的等比数列.

则a2024=22a2022=16.

故选D.

6 构造余弦型三角函数

例7 （单项选择题，2022年新高考数学Ⅱ卷第8题）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，则∑22k=1f（k）=（" ）.

A.-3" B.-2" C.0" D.1

分析 根据条件构造余弦型三角函数解答.

解析 由题意取f（x）=2cosπ3x，x∈R，则

f（x+y）+f（x-y）=2cos［π3（x+y）］+2cos［π3（x-y）］

=4cosπ3xcosπ3y

=f（x）f（y），

因为f（1）=2cosπ3=1，

故f（x）=2cosπ3x，x∈R是满足题意的函数.

所以f（x）的周期为T=2ππ/3=6.

所以f（2）=2cos2π3=-1，

f（3）=2cosπ=-2，

f（4）=2cos4π3=-1，

f（5）=2cos5π3=1，

f（6）=2cos2π=2.

从而∑6k=1f（k）=0.

进而∑22k=1f（k）=∑24k=1f（k）-f（23）-f（24）=0×4-f（5）-f（6）=-3.

故选A.

例8 （单项选择题，2022年乙卷理科第12题）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2-x）=5，g（x）-f（x-4）=7，若y=g（x）的图象关于直线x=2对称，g（2）=4，则∑22k=1f（k）= （" ）.

A.-21" B.-22" C.-23" D.-24

分析 根据条件构造余弦型三角函数解答.

解析 由g（x）-f（x-4）=7，得

g（x+4）-f（x）=7.

又f（x）+g（2-x）=5，则

g（x+4）+g（2-x）=12.

于是y=g（x）的图象关于点（3，6）对称.

结合y=g（x）的图象关于直线x=2对称，取g（x）=2cosπ2x+6满足y=g（x）的图象关于直线x=2对称且g（2）=4，则

f（x）=5-g（2-x）

=5-2cos［π2（2-x）］-6

=2cosπ2x-1.

即f（x）=2cosπ2x-1.

此时g（x）-f（x-4）=2cosπ2x+6-2cos［π2（x-4）］+1=7.

于是f（1）=2cosπ2-1=-1，

f（2）=2cos2π2-1=-3，

f（3）=2cos3π2-1=-1，

f（4）=2cos4π2-1=1.

则∑4k=1f（k）=-4.

故∑22k=1f（k）=（-4）×5+f（1）+f（2）=-20-4=-24.

故选D.

例9 （单项选择题，2021年新高考数学Ⅱ卷第8题）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+2）是偶函数，f（2x+1）是奇函数，则（" ）.

A.f（-12）=0"" B.f（-1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

分析 根据条件构造余弦型三角函数解答.

解析 由f（x+2）是偶函数得f（x）的图象关于直线x=2对称.

由f（2x+1）是奇函数得f（x）的图象关于点（1，0）对称.

取函数f（x）=cosπ2x满足题意，则

f（-12）=22，

f（-1）=0，

f（2）=-1，

f（4）=1.

故选B.

7 构造正弦型三角函数

例10 （单项选择题，2021年甲卷文科第12题）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）=f（-x）.若f（-13）=13，则f（53）=（" ）.

A.-53" B.-13" C.13" D.53

分析 根据条件构造正弦型三角函数解答.

解析 由f（x）是定义域为R的奇函数得f（x）的图象关于点（0，0）对称.

由f（1+x）=f（-x）得f（x）的图象关于直线

x=12对称.

结合f（-13）=13取函数f（x）=-239sinπx满足题意，则

f（53）=-239sin5π3=13.

故选C.

例11 （多项选择题，2020年山东夏季高考模拟考试第12题）：函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，则（" ）.

A.f（x）为奇函数"" B.f（x）为周期函数

C.f（x+3）为奇函数D.f（x+4）为偶函数

分析 根据条件构造正弦型三角函数解答.

解析 由f（x+1）为奇函数得

f（-x+1）=-f（x+1）.

则f［-（x+1）+1］=-f［（x+1）+1］.

即f（-x）=-f（x+2）.①

由f（x+2）为奇函数，得

f（-x+2）=-f（x+2）.②

由①和②得f（-x）=f（-x+2）.

则f（x）是以2为周期的周期函数，答案B正确.

由f（x+2）为奇函数及2为周期得

f（-x）=-f（x+2）=-f（x）.

则f（x）为奇函数，答案A正确.

由f（x+1）为奇函数及2为周期得

f（x+3）=-f［-（x+1）+2］

=-f（-x+1）

=-f（-x+1-4）

=-f（-x-3）.

则f（x+3）为奇函数，答案C正确.

取f（x）=sinπx满足题意，

f（x+4）=sin［π（x+4）］=sinπx，不是偶函数.

故选ABC.

8 构造分段函数

例12 （单项选择题，2020年新高考数学Ⅰ卷第8题）若定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则满足xf（x-1）≥0的x的取值范围是（" ）.

A.［-1，1］∪［3，+∞） B.［-3，-1］∪［0，1］

C.［-1，0］∪［1，+∞）D.［-1，0］∪［1，3］

分析 根据条件构造分段函数解答.

解析 由题意构造函数f（x）=-x-2，xlt;0，0，x=0，-x+2，xgt;0满足题意，则

f（x-1）=-x-1，xlt;1，1，x=1，-x+3，xgt;1.

作出函数f（x-1）的图象，当xlt;0时，由

xf（x-1）≥0得f（x-1）≤0，x∈［-1，0）；

当x=0时，满足题意；

当xgt;0时，由xf（x-1）≥0得f（x-1）≥0，x∈［1，3］.

综上，故选D.

9 结束语

对于数学试题中的抽象函数，若根据题目条件，用好一般函数的性质和赋值法构造满足条件的具体函数替代原来的抽象函数，便可使问题得以解决，而具体函数一般不仅包括初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数和高中学习过的常函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数，而且还包括上述函数组成的复合函数.具体操作时要根据题目条件和函数的一般性质去选择合适的具体函数模型［2］.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

［责任编辑：李 璟］