关注本质与素养，探究结构及导向

［摘 要］ 教学二次函数综合问题时，教师应引导学生关注问题的本质，挖掘问题考查的核心素养，围绕核心点探索. 研究者以一道二次函数综合题为例，开展解题与教学探究.

［关键词］ 本质；素养；二次函数；构建

二次函数是初中数学的核心内容，涉及众多的重难点知识，中考考查时常从综合视角进行，对学生的思维要求较高. 教学时，教师需要注意两点：一是注意解析命题构建，把握问题本质；二是关注核心素养，提升学生综合能力. 下面以一道二次函数综合题为例，开展探究解析.

从实例探究说起

二次函数问题探究教学中，笔者建议教师选用代表性问题，不宜过偏过怪. 另外，该类问题常分为多个小问，建议选用条件独立且相互关联的问题. 下面笔者选用一道模考题，逐步探究解析.

1. 问题呈现

问题：抛物线y=ax2+b经过点A（4，0），B（0，-4），直线EC过E（4，-1），C（0，-3），点P是抛物线上点A，B间的动点（不含端点A，B），过P作PD⊥x轴于点D，连接PC，PE.

（1）求抛物线与直线CE的解析式；

（2）求证：PC+PD为定值；

（3）若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标.

2. 思路分析

这是一道典型的二次函数综合题，题设三问，涉及抛物线与三角形等知识内容，可分步解析各小问，逐步构建思路.

第一步：待定系数，求解析式

第（1）问为基础问题，求解抛物线与直线CE的解析式，可采用待定系数法. 将A（4，0），B（0，-4）的坐标代入y=ax2+b中，可得16a+b=0，

b=-4，解得

a=，

b=-4，所以抛物线的解析式为y=x2-4.

再设直线CE为y=mx+n，将点E（4，-1），C（0，-3）的坐标代入y=mx+n中，可得4m+n=-1，

n=-3，解得

m=，

n=-3， 所以直线CE的解析式是y=x-3.

第二步：设定参数，求解定值

第（2）问是关于线段和定值的证明讨论，属于与线段相关的定值问题，其中点P为动点，位置不确定，可以设定点位置参数，再构建线段和，最终讨论证明. 具体求解时，可结合问题条件绘制图形，合理作图构建模型.

证明：设点Pt，

t2-4，0<t<4，过点P作PF⊥y轴于点F，如图1所示.

则PF=t，FC=

t2-4+3=

t2-1，PD=4-t2. 在Rt△PFC中，由勾股定理得PC===t2+1，所以PC+PD=

t2+1+

4-t2=5为定值.

第三步：分类讨论，面积解析

第（3）问是关于三角形面积问题，设定面积值求解点坐标. 主要思路是构建面积模型，转化为与点坐标参数相关的方程，再推导点坐标. 解析时我们需要关注点G和P的位置关系，分情形讨论.

情形1：如图2-（a），当点G在点P上方时.

构建△PEC的面积，则有S=×4×

x-3 -

x2-4 =-·（x-1）2+. 因为S=1，则-（x-1）2+=1，解得x=1+，x=1-（负根舍去），所以y=（1+）2-4=-3，所以此时满足题意的点P的坐标为

1+，

-3.

情形2：如图2-（b），当点G在点P下方时.

构建△PEC的面积，则有S=×4×

x2-4 -

x-3 =·（x-1）2-，已知S=1，则（x-1）2-=1，解得x=1+，x=1-（负根舍去），所以y=×（1+）2-4=-2，所以此时满足题意的点P的坐标为

1+，

-2.

综上可知，满足题意的点P有

1+，

-3，

1+

，-2.

3. 另解探究

对于其中的第（3）问，还可以采用不同的方法，提取其中的相似模型，转化条件，无须分类讨论，直接确定点P的位置.

如图3，分别过点P，E作PF⊥CE，EH⊥y轴，垂足分别为F，H，PD交CE于点G.

在Rt△EHC中，EH=4，HC=2，则由勾股定理可得CE==2. S=1，则CE·PF=1，可解得PF=.

因为PF⊥CE，PG⊥EH，可证△PFG∽△CHE，由相似性质可得=，代入线段长可解得PG=，分析可知过点P与直线CE平行，且与直线CE距离为 的直线有两条：y=x-或y=x-.

依题意得

y=x2-4，

y=

x-，解得x=1±（负根舍去），所以x=1+，y=-2，于是可求得此时的点P为

1+，

-2；

y=x2-4，

y=

x-， 可解得x=1±（负根舍去），所以x=1+，y=-3，于是可求得此时的点P为

1+，

-3.

综上可知，满足题意的点P有

1+，

-3，

1+

，-2.

命题构建教学探究

上述对二次函数综合题的解析思路进行了具体分析，教学中教师还需引导学生探究命题构建，把握解题方法，探究问题本质，让学生深入理解问题.

整体上来看，本题目为二次函数综合题，融合了线段、三角形等几何内容，是函数与几何的综合，同时渗透考查数形结合、分类讨论等思想方法，具有较高的研究价值. 题设三问，设置了难度梯度. 其中后两问为核心之问，涉及线段定点、面积模型等. 解析时需要学生把握问题本质，具备较强的运算能力.

关注上述解题过程，第（1）问求解解析式，重点考查待定系数法；第（2）问证明线段和定值，其中点P为动点，属于与动点相关的定值问题，重点考查动态转化、设参消参的方法技巧；第（3）问则是面积条件下的点坐标问题，引入了三角形等知识内容，渗透了数形结合、分类讨论、方程等思想.

函数与几何知识综合应用是问题破解的关键，也是目前中考最为常见的命题考查方式，能够综合考查学生的知识应用能力. 教学探究中，教师要引导学生剖析问题类型，解读函数知识，注重问题静态与动态之间的转化分析. 通过讲解思想方法、简算技巧，提升学生的综合能力.

核心素养考查导向剖析

二次函数综合题实际上兼具考查学生的核心素养，初中数学课程标准也对其做了具体要求，学生学习时需要重点关注.

1. 课标要求解读

二次函数内容教学明确指出，关注其中的函数关系，合理讨论其中的变量变化，掌握函数作图的方法，理解解析式与图形的对应关系，运用函数知识解决实际问题. 显然教师在教学时，需要引导学生联系实际学习二次函数，深入探究二次函数的概念、图形、性质等. 中考试题命制也注重联系实际，教师要注重培养学生的应用意识与能力.

2. 核心素养解读

“新课标”也明确了要关注学生核心素养的发展，二次函数的试题也更为回归函数本质，重视对模型思想、方程思想、数形结合思想，以及推理分析、化归转化、运算等方面的考查. 这就要求教师在教学中，合理设计探究活动、引导学生经历探究过程，总结知识与方法. 例如在函数知识教学中，笔者建议按照“情境创设→模型建立→知识总结→应用拓展”的流程来开展；在函数解题探究教学中，笔者建议按照“问题解读→思路分析→过程解析→总结思考”的流程来开展. 在这样的教学流程中，学生自主构建函数关系，分析函数模型，求解相关问题，进而提升数学核心素养.

基于核心素养考查的示例分析

1. 示例呈现

示例：如图4所示，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标.

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2. 命题分析

本题目整体上为函数与几何的综合，破解时需要运用抛物线、三角形等知识，后两问为核心之问.

第（2）问与三角形周长相结合，实则为最短距离问题，充分利用点A和B关于抛物线对称轴对称的特性，即可求出答案.

第（3）问为直角三角形存在性问题，需要讨论直角顶点，再结合勾股定理构建方程求解. 整个过程渗透了数形结合、分类讨论、方程等思想，对学生的运算能力有一定要求.

该题目的三问层层深入，解析点坐标与线段关系是破解的关键，求解时学生要把握问题本质，充分提取模型，合理转化问题.

3. 推理过程

教学中，教师要侧重推理过程的思维引导，从问题出发，明确目标，探索转化策略. 下面主要讲解后两问的思维引导过程.

第（2）问求解△PBC周长取得最小值时点P的坐标，其中线段BC的长为定值.

第一步转化：只需PB+PC最短，则△PBC周长最小.

第二步转化：点A和点B关于抛物线对称轴的对称，显然为“将军饮马问题”，只需PA+PC最短即可，转化为求AC的长. 直线AC与抛物线对称轴的交点，即为满足条件的点P坐标.

第（3）问是△ADM为直角三角形的存在性问题，未设定直角顶点，显然存在三种情形，涉及分类讨论思想.

分类讨论：点A为直角顶点，点D为直角顶点，点M为直角顶点.

运算求解：根据上述情形分别构建几何模型，借助勾股定理来建立方程，求出点M的坐标.

以A为直角顶点为例，建立图5所示模型，设M（0，t），由勾股定理AM 2+AD 2=DM 2，代入线段长，有（0+3）2+（t-0）2+（0+2）2+（0+4）2=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，即此时M0，.

思想方法：上述解析过程涉及了数形结合、分类讨论、方程思想、模型思想、化归转化.

写在最后

求解二次函数综合问题时，教师要注意引导学生探索命题是如何构建的，把握问题本质，挖掘问题考查的核心素养. 核心素养教学应渗透于具体知识内容与解题探究中，让学生体验过程，逐步感悟.