渗透数学核心素养 提升学生综合学力

［摘 要］ 随着教学改革的推进与深化，初中数学教学除了让学生学习数学知识外，还应重视培养学生的数学核心素养，让学生学会用数学的观点和方法看世界，提高终身学习能力. 文章以“规律探究问题”为主题，阐述了解决此类问题对培养学生数学核心素养的重要作用.

［关键词］ 数学核心素养；合理渗透；综合学力

随着课程改革的推进，素质教育越来越受到教育工作者的重视，学生核心素养的培养作为素质教育的重点内容也在逐渐完善. 培养学生具有良好的核心素养，已经成为各学科教师教学的主要目标. 数学核心素养并非通过教师的讲授达成的，而是学生在日常学习过程中逐渐积累的，是一个长期且复杂的过程. 在日常教学中，教师应在教学的各个环节加以渗透，引导学生亲历数学知识的建构过程，从而有效落实数学核心素养.

当下，中考越来越重视考查学生的综合能力和综合素养，规律探究类问题因其内容丰富、综合性强而成为中考的一个热门考点. 这类试题通常涉及图形变化规律探究、翻折变换规律探究、数字变化规律探究，在解决此类问题时，不仅需要学生具有扎实的基本功，而且对学生的观察、分析、推理能力提出了更高的要求. 在探究规律的过程中，教师应以学生为主，应创造机会让学生经历观察、分析、推理、探索等过程，让学生在探索其中所蕴含规律的同时，加深对相关知识、思想、方法的理解，培养学生的抽象能力、推理能力、模型观念、几何直观等核心素养. 下面笔者结合教学实例谈谈如何在探索规律问题教学中合理渗透数学核心素养，提高学生的思维品质.

在图形变化类规律探究中培养

数学核心素养

几何图形的变化有着较强的规律，是提高学生数形结合意识，培养学生抽象能力、几何直观、推理能力等素养的重要载体. 在探索图形规律的过程中，教师应将主动权交给学生，让学生发现、探索图形和数字的排列规律，进而通过亲历理解并掌握找规律的方法，最终发展数学能力与数学素养.

例1 图1是由若干大小相等的小正方形按一定的规律拼成的图形，如果按照这样的规律摆下去，第④个图形中有几个小正方形？第n个图形中有几个小正方形？

分析 例1不难，结合图形易于发现，若添加一个小正方形刚好可以拼成一个大正方形，顺着这一思路不难发现：第①个图形中有22-1个小正方形；第②个图形中有32-1个小正方形；第③个图形中有42-1个小正方形，由此自然推导出第④个图形有52-1个小正方形，第n个图形中有（n+1）2-1个小正方形.

例2 图2是由若干大小相等的三角形按照一定的规律拼成的图形，如果继续按照这一规律往下拼，第⑦个图形中有几个三角形？第n个图形中有几个三角形？

分析 结合图形的特点易于发现，第①个图形中有2×3-1个三角形；第②个图形中有3×4-1个三角形；第③个图形中有4×5-1个三角形. 以此类推，第⑦个图形中有8×9-1个三角形；第n个图形中有（n+1）×（n+2）-1个三角形.

分析以上两题不难发现，解决此类问题时主要需要两步，其一是将图形抽象成数量；其二是观察每个图形对应数量之间的变化关系. 在具体实施过程中，教师应引导学生思考这样几个问题：（1）每个图形中有几个基本图形？（2）各个图形中图形的数量如何表示？（3）每个图形对应的数量之间存在怎样的关系？在思考中，学生会经历观察、比较、归纳、猜想、推理等过程，其抽象能力、几何直观、推理能力等素养得到发展.

在翻折变换类规律探究中培养

数学核心素养

折叠型问题重点考查学生动手操作能力、空间想象能力、逻辑推理能力. 在解决此类问题时，教师应鼓励学生去操作、观察、抽象、归纳，以此发现蕴含其中的规律，学会用数学的思维思考现实世界.

例3 现在有一张长为1，宽为a

<a<1的矩形纸片，将其按照图3那样折叠，剪下边长为a的正方形，这一过程称之为第一次操作；将剩下的矩形按照图4那样折叠，剪下一个边长等于矩形宽的正方形，这一过程称之为第二次操作. 按照以上步骤重复下去，直到第n次操作后，剩下的图形为正方形为止.

（1）第二次操作时，剪下的正方形的边长是______.

（2）若第三次操作后，剩下的图形为正方形，试求a的值. （用含a的式子表示）

分析 （1）结合以上操作过程容易发现，每次剪下的正方形的边长为原矩形的宽，所以研究剪下正方形的边长，实则研究矩形的宽. 解题过程中需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是宽. 先从第一次操作谈起，该矩形的长为1，宽为a

<a<1，所以剪下的正方形的边长为a，剩下的矩形的两条邻边的长分别为a，1-a，由已知易得a>1-a，所以第二次剪下来的正方形的边长为1-a.

（2）经过第二次操作后，得到的矩形相邻两边的长分别为1-a，a-（1-a）=2a-1，此时问题的焦点是比较1-a和2a-1的大小. 对于含字母的代数式比较大小，最易于想到的就是作差，（1-a）-（2a-1）=2-3a，显然这里很难判断两者的大小关系，为此在解题的过程中需要分两种情况讨论，即①1-a>2a-1；②1-a<2a-1.

①当1-a>2a-1，即a<时，第三次操作时剪下的正方形的边长为2a-1. 又第三次操作后，剩下的图形为正方形，所以2a-1=（1-a）-（2a-1），解得a=.

②当1-a<2a-1，即a>时，第三次操作时剪下的正方形的边长为1-a，则1-a=（2a-1）-（1-a），解得a=.

在解决图形翻折变化类问题时，不仅需要在脑海中对翻折前后图形的形状形成清晰的认识，而且需要准确把握翻折前后图形之间的边长关系. 若想做到这两点，需要学生具有良好的空间想象能力和逻辑推理能力. 在日常教学中，通过此类问题的训练，可以有效提高学生几何直观和推理能力等素养.

在数字变化类规律探究中培养

数学核心素养

对于数字变化类规律探究问题，命题者通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后要求答题者从中猜想蕴含其中的规律. 解答此类问题不仅需要学生掌握相关的知识技能，而且需要学生具有观察问题、分析问题、归纳问题、解决问题的能力. 它既是规律探究的基础，又是规律探究的重点.

例4 观察下列等式：

①9×0+1=1；

②9×1+2=11；

③9×2+3=21；

④9×3+4=31；

…

（1）请按照规律写出第5个等式；

（2）请按照规律写出第n个等式.

分析 观察以上四个等式的规律不难发现，第1项都是9，第2项是从0开始的整数，第3项是从1开始的整数，第3项比第2项大1，第4项是整十再加1，根据以上观察不难写出答案：（1）第5个等式为9×4+5=41；（2）第n个等式为9（n-1）+n=10（n-1）+1.

例5 观察下列等式：

①a==-1；

②a==-；

③a==2-；

④a==-2；

…

（1）按照上述规律，请写出第n个等式；

（2）a+a+a+…+a=______.

分析 根据已知条件容易写出第n个等式a==-，a+a+a+…+a=（-1）+（-）+（2-）+…+（-）=-1.

对于数字变化类规律探究题，解题的一般思路是观察各式左右两边的规律，通过横纵（所谓横向对比指的是比较同一不等式不同部分的数量关系，纵向对比指的是比较不同等式间相同位置的数量关系）对比找到蕴含其中的规律，在此基础上加以归纳、猜想、计算、证明，问题即可迎刃而解. 通过解决此类问题，学生的推理能力及运算能力等素养将得到发展.

结束语

在生活和数学中，存在着大量有规律的事物，以及事物变化趋势的问题. 在日常教学中，教师要重视引导学生探索蕴含其中的规律，并用数学知识进行描述和解答，这样不仅可以激发学生的学习兴趣，而且对培养学生的数学建模思想和数学应用意识等有着重要的作用，有利于促进“三会”目标的达成.

规律探究问题设计独特、新颖，蕴含着丰富的数学思想方法，解决此类问题时没有固定的方法可以套用，更多的是需要学生通过观察、实验、猜想、推理、验证等过程得到结果，其是训练、考查学生思维灵活性和创新性的重要题型. 同时，通过解决此类问题，不仅可以拓宽学生的数学视野，而且可以培养学生的抽象能力、几何直观、推理能力、运算能力等素养.

总之，教师要从学生的认知规律出发，充分利用各种教学资源，引导学生经历猜想、归纳、验证等学习过程，在训练学生基础知识和基本技能的同时，发展学生的数学核心素养.