关于中考圆类问题的举例探究

［摘 要］ 圆类问题类型多样，涉及众多知识考点，探究学习中要关注命题形式，结合对应知识探寻破解思路，总结方法策略. 本文将结合考题深入探究圆中的四类问题，并结合教学实践提出相应的建议，与读者交流学习.

［关键词］ 圆；模型；尺规作图；抛物线

中考在考查圆的性质特征时常结合其他知识，形成了特殊的圆类问题，该类问题往往综合性强，侧重考查知识间的联系，以及综合运用解题方法分析推理. 圆类问题的构建形式较为多样，下面结合中考题探究其中较为常见的四类.

圆中扇形属性探究

圆中扇形属性探究涉及圆弧的周长、面积，主要考查模型构建和对应公式等知识. 对于弧长问题，准确确定圆弧的角度和半径；涉及圆弧的面积问题，则需合理构建面积模型，结合对应面积公式求解.

例1 （2023年扬州市中考）如图1所示，在▱ABCD中，AB=+1，BC=2，AH⊥CD，垂足为H，AH=. 以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G. 若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r，则r-r=______. （结果保留根号）

命题分析：本题目探究扇形围成圆锥底面的半径差，需要求解扇形的弧长，利用弧长公式反推半径长，实际上为圆中的扇形属性探究题. 求解时需要注意两点：一是充分利用平行四边形的性质，推导角度；二是合理利用弧长与圆周长公式.

过程详解：在▱ABCD中，AB=+1，BC=2，AH⊥CD，AH=，可推得AD=BC=2，DH==1. 因为cos∠DAH==，AB=CD=+1，可得∠DAH=30°，CH==AH，所以∠ACH=∠CAH=45°. 又知AB∥CD，可得∠BAC=45°.

由于利用扇形围成圆锥，则弧长等于底面圆的周长，从而可得=2πr，=2πr，可解得r=，r=，所以r-r=-=.

解后评析 上述本质上为求圆中的扇形半径属性探究题，主要考查平行四边形的性质，以及勾股定理、锐角三角函数、扇形的弧长公式的应用. 问题的应用属性极强，需要把握构建过程，灵活推导.

圆中的模型探究

圆中的模型探究主要针对的是初中几何的特殊关系和模型，主要考查学生对模型特征与性质的掌握情况，以及灵活运用结论的分析推理的数学思维. 圆中常见的关系与模型包括三角形相似与全等模型、直角三角形模型等. 探究解析时要关注几何特征，注意模型提取，利用模型结论逐步解析.

例2 （2023年苏州市中考）如图2所示，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，AC=，BC=2，点F在AB上，连接CF并延长，交☉O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E.

（1）求证：△DBE∽△ABC；

（2）若AF=2，求DE的长.

命题分析：本题目以圆为背景构建三角形，涉及求证三角形相似和线段长，属于圆类问题. 问题解析需要提取其中的相似三角形、直角三角形，以相似关系和特殊图形性质来构建模型，分析推理，本质上为圆中的模型探究.

过程详解：（1）因为AB是☉O的直径，BE⊥CD，则可得∠ACB=90°=∠BED. 结合∠CAB=∠CDB可证△DBE∽△ABC.

（2）已知AC=，BC=2，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，分析可得AB==5，tan∠ABC==. 因为AF=2，则BF=3. 因为△DBE∽△ABC，可得∠ABC=∠DBE，所以tan∠ABC=tan∠DBE==.

可设DE=x，则BE=2x，BD=x. 分析可证△ACF∽△DBF，则可得==，代入可得=，则DF=2x，EF=x=DE，所以BD=BF=3. 所以DE=.

解后评析 本题目实质上为圆中的模型探究题，主要考查圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，提取图形中的特殊模型是解题的关键. 圆中的常见模型较多，常见的有相似模型、全等模型、一线三等角模型、直角三角形模型等.

圆中的尺规作图探究

圆中的尺规作图探究综合性极强，常将作图与几何推理相结合，综合考查学生的动手操作能力和推理分析能力. 尺规作图的类型较为多样，涉及作等线段、等角、角平分线、过定点直线的垂线，以及线段的垂直平分线. 问题解析时需要理解题意，确定作图意图.

例3 （2023年连云港市中考）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作☉O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）

（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.

<D：＼数学教学通讯中旬＼2024数学教学通讯中旬（11期）＼2024数学教学通讯中旬（11期） c＼11-84.tif>[图3][B][D][C][E][A][O]

命题分析：本题目为以圆为背景的综合题，第（1）问作切线，属于与圆相关的尺规作图；第（2）问为常规的证明题. 两问综合考查学生的动手操作与分析能力. 第（2）问根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明∠BDC=∠BFC，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出∠BCD=∠BCF，进而证明△BCD≌△BCF（AAS）， 即可得证.

过程详解：（1）过点B作☉O的切线，可转化为过点B作AB的垂线，交CE于点F即可. 具体过程分为两步：第一步，以点B为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线AB于两点；第二步，再以这两点为圆心，一定长度为半径分别画弧可得两个交点（半径可大于OB长），如图4所示.

（2）因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，又知CE∥AB，所以∠ABC=∠BCF，可推知∠BCF=∠ACB.

由于点D在以AB为直径的圆上，则∠ADB=90°，可得∠BDC=90°. 又知BF为☉O的切线，则∠ABF=90°. 而CE∥AB，所以∠BFC+∠ABF=180°，可得∠BFC=90°，所以 ∠BDC=∠BFC.

在△BCD和△BCF中，有∠BCD=∠BCF，

∠BDC=∠BFC，

BC=BC， 可证△BCD≌△BCF（AAS），可推得BD=BF.

解后评析 本题目第（1）问尺规作图要求作圆的切线，实则为过一点作线段的垂线，考查垂线的作法. 探究学习中需要总结常见作图的作法，分别理解作图步骤及意图，总结作图的关键点、注意事项，以及所利用的知识定理.

圆中的函数联系探究

圆中的函数联系探究，主要考查圆与函数综合的相关知识，包括性质与特征、结论与定理，以及相应的探究方法，对学生的综合解析能力要求较高. 探究解析时，需要灵活运用数形结合的方法策略，对于多种情形分类讨论. 关注其中的位置关系，提取构建特殊模型.

例4 （2023年苏州市中考）如图5所示，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴. 点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与☉M相切，切点为T.

（1）求点A，B的坐标；

（2）若以☉M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且☉M不经过点（3，2），求PM长的取值范围.

命题分析：本题目为抛物线综合题，融合了抛物线、圆、三角形等，涉及相交、相切、垂直等特殊关系. 第（2）问为核心之问，设定正方形与三角形的面积相等，属于典型的几何面积问题，解析突破则需要把握图形特征，分别构建面积模型.

过程详解：（1）简答，点A（2，0），B（4，0）.

（2）因为抛物线经过点A（2，0），B（4，0），所以抛物线的对称轴为x=3，可设P（m，m2-6m+8）. 因为PM⊥l，则点M的坐标可表示为（3，m2-6m+8）.

如图5所示，连接MT，则MT⊥PT，所以PT 2=PM 2-MT 2=（m-3）2-r 2，即以切线PT为边长的正方形的面积可表示为（m-3）2-r2.

过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则△PAB的面积可表示为S=AB·PH=m2-6m+8，根据等面积关系可得（m-3）2-r2=m2-6m+8. 因为r>0，则r=1. 假设☉M过点N（3，2），则有以下两种情况：

情形①：如图6-（a）所示，当点M在点N的上方时，即M（3，3），所以m2-6m+8=3，可解得m=5或m=1. 因为m>4，所以m=5；

情形②：如图6-（b）所示，当点M在点N的上方，即M（3，1），所以 m2-6m+8=1，可解得m=3±. 因为m>4，所以m=3+；

综上可知，PM=m-3=2或，所以当☉M不经过点（3，2）时，1<PM<或<PM<2或PM>2.

解后评析 上述第（2）问探究线段长时涉及抛物线与圆的特性分析，通过分析其中点、线、图形的位置关系确定分类标准，构建模型. 解析时需要注意两点：一是构建线与线、线与图形的联系，利用点坐标求线段长，结合线段建立面积模型；二是关注其中的位置关系，包括直线与圆的相切关系，点与点的相对位置关系.

关于圆类问题的探究建议

圆类问题作为中考的重点问题，类型多样，探究学习时需要深入剖析问题特征，把握其构建形式，结合方法具体剖析，下面提出几点建议.

1. 剖析位置关系，分类具体讨论

“位置关系剖析”是圆类问题探究的重点，包括圆与直线的关系，圆中点与点、点与线的关系等. 位置关系分析是后续分析的基础，需要根据关系分析来构建模型，分情形讨论. 具体探究时要关注两点：一是圆与直线相切，根据相切提取直角或垂直；二是圆中的特殊点，包括圆心、切点、相交点，通过分析特殊点来确定特性.

2. 提取特殊模型，进行性质推理

圆中复合图形剖析是解题的关键，需要从图形中推导性质结论，为后续转化分析做基础. 剖析时需关注复合图形中的模型，必要时合理作辅助线，提取其中的特殊关系及模型. 常见的有相似或全等模型，直角三角形等. 探究学习中建议总结归纳，汇总常见模型的构建形式，重点关注圆中的特殊模型.

3. 整合问题形式，串联综合知识

圆类问题的形式多样，上述所探究的是其中较为常见的四种，涉及弧长公式、扇形面积公式、几何模型、三角函数、抛物线等知识考点. 问题综合性极强、解法也不统一，探究学习时需要整合该类问题的构建形式，把握知识关联点，总结破解方法. 同时开展解题探究，选取典型问题，总结方法.