核心素养背景下“等腰三角形的性质”的教学实践与研究

［摘 要］ 传统数学教学，教师的关注点在“如何教”上，而核心素养背景下的数学教学，则更关注学生的“学”. 如何紧扣课堂教学内容的“关键点”实施有效教学呢？研究者以“等腰三角形的性质”为例，具体谈谈如何从知识与素养两个层面提取教学关键点，并分别从几何直观能力与逻辑推理能力的培养，以及研究方法的提炼等方面展开教学实践与教学分析.

［关键词］ 核心素养；三角形；教学

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的落地，当今的数学课堂教学大致遵循如下流程：以情境引入主题，结合学情设计恰当的问题启发思维，开展合作交流揭露知识本质，获得知识与技能，提炼数学思想方法，发展核心素养. 这种教学流程虽然取得了不错的教学成效，但有些教师只是为了走个过场，完全忽略了每节课教学内容的特点不一样，教学的侧重点也有较大差别. 很多时候，直接套用公式化的教学模板并不能满足学生个体发展的需求.

本文以“等腰三角形的性质”教学为例，具体从如下几方面谈谈如何紧扣关键点实施教学.

提取教学关键点

1. 知识与技能层面

等腰三角形是生活中常见的一种轴对称图形，是几何学的基础. 轴对称图形的性质可直接引用在等腰三角形的性质中，同时全等三角形的判断与应用，还能进一步开阔学生的视野，让学生感知证明两条线段、两个角相等可应用到其性质. 等腰三角形的性质又是后续探索正方形、菱形、圆等基本几何图形的理论基础，因此它在平面几何中占有支柱性地位，具有重要的探索价值.

2. 素养培养层面

（1）通过图形变换探索性质，发展几何直观能力

探索几何问题常基于图形的变化，发现图形的基本性质. 关于等腰三角形性质的研究，可从它的“轴对称”性出发，借助全等三角形来揭露核心性质，让学生从证明过程中发展几何直观能力，为后续探索更多与之类似的图形性质夯实方法基础，形成策略指导.

（2）用推理法探索图形性质，发展逻辑推理能力

根据知识特点，本节课可将合情推理与演绎推理融合在一起，借助推理法来挖掘等腰三角形具备怎样的性质. 学生在推理过程中亲历“操作—猜想—验证”过程，积累经验，形成严谨的数学思维与推理能力. 同时，操作过程中还会涉及类比、特殊到一般、转化、数形结合等思想方法，这些都是推动数学核心素养发展的关键，对学生个体成长具有重要意义.

（3）严格规范探索，提炼通用研究方法

从某种意义上来说，等腰三角形是初中阶段所研究的第一个严格探索性质的封闭几何图形. 其定义、性质与判定方法的探索经验，对后续探索更多封闭图形具有指导意义，或者说就是后续探索几何图形的“一般方法”. 作为范例的存在，其探索过程更需严谨、规范，这不仅是其在几何图形研究中地位的象征，还是发展学生严谨思维，形成良好探索能力的关键.

教学策略

1. 关于几何直观能力的培养

课堂中应用数学实验可有效培育学生的几何直观能力，学生通过亲手操作、亲自观察与探索对数学现象产生直观的感性认识，这是用数学的眼光与数学的思维观察与思考生活现象的过程，是启发学生用数学的语言规范描述数学现象的关键性步骤. 如本节课，教师就根据学情特点设计了如下实验活动，具体从如下几个环节展开.

【环节一：实验阶段】

操作要求：对任意三角形剪一刀，获得等腰三角形.

学生操作时，要求思考如下问题：①有什么办法确定你所剪出来的图形为等腰三角形？②只能剪一刀，那么剪的关键点在哪儿？

设计意图 鉴于学生在之前已经对等腰三角形有所了解，因此将这个实验放在课堂伊始完成，并不突兀. 该活动的设计，让学生不得不对三角形与等腰三角形的关系产生好奇，由此引导学生更关注两者间的逻辑关系，为完善知识结构体系夯实了基础. 执行“剪”这一操作时，学生直观面临“轴对称”这一关键性的性质，不仅为后续将要探讨的性质证明夯实了基础，还直接促进了直观想象素养的发展.

2. 关于逻辑推理能力的培养

【环节二：猜想阶段】

问题1：大家觉得可从哪些方面来研究等腰三角形？

设计意图 引导学生回顾以往探索几何知识的经验，用类比法自然过渡到探索等腰三角形的性质中来，让学生感知关于几何图形的性质探索，主要是研究各个要素间的数量或位置关系，此为一般性的研究思路.

问题2：通过实操发现等腰三角形的哪些元素具有重合性. 若从数量与位置关系这两个视角分析，能获得什么猜想？

师生活动：引导学生通过对手中等腰三角形纸片的折叠，捕捉其中边、角相关要素间的联系，让学生发散思维大胆猜想，也可从中线、角平分线、高（简称“三线”）等角度去探索. 学生提出的猜想分别有：①两底角相等；②三线重合.

设计意图 折叠带给学生直观感受，由此很容易根据其对称性获得相应的猜想. 发现问题与提出问题是发展学生“四能”的基础，是学生领悟几何基本图形研究思路的关键. 如此设计成功引发了学生的认知冲突，让学生自主生疑而形成进一步探索的欲望，有效帮助学生积累活动经验，尤其是猜想的形成，为发展逻辑推理能力铺垫.

【环节三：揭露规律阶段】

问题3：以上这两个猜想适用于所有的等腰三角形吗？

问题4：有什么办法可以证明等腰三角形的两个底角相等？

学生交流讨论，一致认为借助全等三角形的判定可辅助证明.

师：全等三角形该怎么构造呢？

（学生合作交流完成推理，组内互相纠正与点评）

设计意图 关于问题3的设计，意在进一步促使学生自主用不同的数学语言来求证猜想是否具有一般性；问题4的提出，意在吸引学生积极主动地进入推理状态，并在合作交流中充分展示自己的想法，辅助线的应用起到简化问题难度的作用，即将求证两角相等转化为求证两三角形全等. 此过程不仅渗透了转化思想，还进一步推进了学生的数学推理能力. 值得注意的是证明过程的书写以及数学语言的应用必须规范，这是支撑推理能力发展的基础.

问题5：以上探索明确了猜想①是一个证明题，那么猜想②呢？关于猜想①，是否有其他量相等？

问题6：证明两个猜想，可否用添加其他辅助线来完成？

师生活动：在教师的引导下，学生自主合作交流. 活动结论为辅助线可选择“三线”内的任意一条线，虽然证明过程不一样，但证得的结论是一样的.

设计意图 为了保持教学的连贯性，让学生的思维能顺利过渡，对于两个猜想的证明从一条辅助线逐渐扩展到多条辅助线，学生的思维随着辅助线的增多而逐渐深刻. 探索深入后，学生发现即使作出不同的辅助线，但知识本质并没有发生改变，由此强化了学生对“三线合一”的认识.

【环节四：应用阶段】

如图1，已知△ABC中，点D为AC边上的一点，若AD=BC=BD.

（1）图1存在哪些等腰三角形？

（2）若∠A=α，如何用含有α的式子来表示∠ABC，∠C，∠BDC？

（3）若∠DBC=30°，则△ABC各个角的度数分别是多少？

学生在独立思考的基础上进行交流，发现前面两个问题具有铺垫作用，随着问题的解决，第三个问题也就自然而然地得到解决了. 因此，从复杂图形内提炼出等腰三角形是解决这一类问题的基本过程，属于思维的过渡阶段.

设计意图 想要明确一个三角形各个内角的度数，首先需明确各个内角的关系. 本题提供了几条相等长度的线段，为提炼等腰三角形奠定基础，而角边之间本来就有千丝万缕的联系，因此以等线段为突破口发现等腰三角形，那么角的度数也悄然浮现. 择取本题作为课堂教学的示范，意在进一步强化学生对等腰三角形的理解，以促进学生逻辑思维与合情推理能力的发展.

【环节五：延伸阶段】

问题7：等边三角形属于一种特殊的等腰三角形，它具备等腰三角形的一切属性，除此之外，等边三角形还存在其他特征吗？具体从对称轴的数量与内角度数来分析.

设计意图 此问意在引导学生自主构建等边三角形的性质，让学生将本节课所提炼的数学思想方法灵活地迁移到新知的探索中，获得一般性的研究能力. 当然，此问属于新知的生长阶段，对促进学生推理能力的进一步发展具有重要价值.

数学活动的开展与经验的积累是提升学生个人学习能力的重要方式，学生在“做中学”的背景下，沉淀经验、提炼方法、发展学力.

3. 关于研究方法的提炼

纵观以上教学流程，在环节二的时候，学生在自主操作的基础上提出等腰三角形的相关性质；环节三对性质进行了完整、规范的证明；随着环节五等边三角形性质的提出，学生的思维经历了一个闭环到延伸的过程. 在此过程中，学生充分感知了研究方法的普适性，并从中提炼出数学思想方法. 总结环节，教师可带领学生进一步梳理整节课的教学内容，帮助学生构建完整的认知体系，提炼完整的研究方法.

【环节六：总结阶段】

问题8：谈谈你在本节课的收获.

对于这个问题，学生的回答异常丰富，有关于知识与技能方面的收获，也有数学思想方法方面的收获. 最后，教师与学生一起从如下两个角度厘清知识与方法脉络，帮助学生建构完整的认知结构.

（1）当面临一个待研究的几何对象时，除了要探索它的一般情况之外，还要关注该图形是否存在特殊情况. 如探索完三角形之后，就着手探索一些类似于等腰三角形、等边三角形、直角三角形等，此过程就是将三角形的边、角由一般向特殊转化的过程. 明确“定义→性质→特例”研究路径是探索几何图形的基本思路.

（2）等腰三角形的性质具体可从哪些方面，用哪些方法进行探索？将研究方法推广到一般三角形与其他特殊三角形的研究中来，存在哪些共性与个性特征呢？本节课，学生亲历实验过程，积累了良好的探索经验，基本了解了关于特殊图形的探索历程，在研究完定义之后就进入性质与判定的探索中来. 等腰三角形的性质，可从边、角、三线等角度着手，如“底角相等”“三线合一”，学生从中抽象出一般性的研究方法（图3）.

设计意图 从宏观的角度整理一般化的研究思路，进一步促使学生完善研究几何图形的基本方法，让本节课成为后续探索更多平面几何图形的典范.

总之，核心素养背景下“等腰三角形性质”的教学探索与实践，为学生后续探索更多平面几何问题提供了蓝本. 教师不仅要关注对学生新旧知识的衔接工作，还要注重对学生几何直观能力、逻辑思维能力、推理能力等的培育，以从真正意义上促进学生深度学习，让核心素养落地生根.