研发微专题课例，促进学生学深悟透

［摘 要］ 微专题教学作为一类新课型，在复习课、习题课教学中被很多教师积极实践. 这类课型大都是基于教学实际或学情反馈，选取一道经典习题或某个基本图形，基于变式设问、拓展追问的方式组织教学，结合学情特点，尽量采取开放设问、留白等待、铺垫问题等教学方式，帮助学生“学一题、会一类、通一片”，并教会学生“学会思考”.

［关键词］ 微专题；圆；铺垫问题；变式教学；学会思考

最近一次九年级阶段检测中，我们选用了教材上一道圆的经典习题，结果得分率远低于预期，为此备课组经过集中研讨，决定围绕教材上圆的经典习题开展微专题教学，引导学生对教材上圆的经典习题“学深悟透”. 笔者分工了一个圆的微专题课例研发任务，经过深入构思、变式拓展，形成一节圆的微专题课例，组内教师一致认为这节微专题课较好地体现了“源自课本、高于课本、指向中考”的设计理念，在实际教学中也取得较好的教学效果. 本文梳理该课教学设计，并围绕微专题教学提出笔者的实践与思考，提供研讨.

圆的微专题教学设计

教学环节一：从课本题出发

问题1：如图1，☉O的直径AB为10 cm，弦BC=8 cm，∠ACB的平分线交☉O于点D. 连接AD，BD.

（1）判断△ABD的形状，并说明理由；

（2）求四边形ACBD的面积；

（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并用不同的方法进行证明.

设计意图与解法预设 第（1）问对应着课本题（求证△ABD是等腰直角三角形），属于基础热身；第（2）问有不同的算法，比如可以分别求出△ABC和△ABD面积，再相加得出四边形ADBC的面积，也可考虑（如图2）过点D分别向AC，BC作垂线段DE，DF，将四边形ADBC的面积转化为求正方形DECF的面积（这里需要安排学生证明四边形DECF是一个正方形）；第（3）问，可以借助图2进行转化，正方形DECF中，对角线CD是其边长的倍，而正方形的边长等于（AC+BC），进而可求得CD=AC+BC.

教学环节二：能力提升

问题2：如图3，AB是☉O的直径，AC是☉O的弦，∠ACB的平分线CE分别交AB于D，交☉O于E，连接EA，EB.

（1）设EA=m，EC=n，试用含m，n的代数式表示△ABC的周长；

（2）试探求：当边AC，BC的长度变化时，+的值是否发生变化？若不变，请求出这个不变的值；若变化，试说明理由.

设计意图与解法预设 第（1）问可以看成是“问题1”第（3）问的运用，将AC+BC转化为CE，再将AB转化为AE，可得△ABC的周长为（m+n）. 第（2）问的两个线段比值之和的探究，可以引导学生构造两条垂线段（如图4），将两个线段之比分别转化为与之相关的“+”，借助相似三角形的对应边之比相等，+=+=1，再结合CD=DG=DH，可得+的值为定值.

教学环节三：拓展挑战

问题3：如图5，锐角三角形ABC的∠A的平分线交BC于L，又交三角形的外接圆于N. 过L分别作AB和AC边的垂线LK和LM，垂足是K，M. 判断四边形AKNM的面积与△ABC的面积是否相等. 如果相等，说明理由；如果不相等，举出反例.

设计意图与解法预设 考虑到三角形面积公式与底边和高有关，结合题设“角平分线”，如图6，过点N作NG⊥AB，NH⊥AC，垂足分别为G，H，连接NC，可以证得△NCH≌△NBG，进而得到AH=AG=（AC+AB），记LM=LK=h1，NG=NH=h2，于是△ABC的面积可以表示为（AC+AB）·h1，即S△ABC=AH·h1. 四边形AKNM的面积可以用2S△AMN表示，所以S四边形AKNM=AM·h2，接下来只要沟通这两个表达式“AH·h1”和“AM·h2”相等即可，由CM∥NH，运用相似三角形的性质可贯通思路.

教学环节四：回顾小结

小结问题1：本课是从一个圆的教材习题出发，变式、拓展出一些较难问题，你对其中哪道问题留下了较深的印象？说说你是如何理解的.

小结问题2：围绕这道圆的经典习题，你还能提出怎样的问题？可先在小组交流，然后全班汇报展示.

作业：如图7，AB为☉O的直径，∠ACB的平分线交☉O于点D. 连接AD，BD. 作∠ABC的角平分线BI，交CD于点I.

（1）补全图形，求证：DI=BD；

（2）设AB=2r，分析CI的最大值（用含r的式子表示）.

解法预设 这里第（1）问也源自一道教材习题，关键步骤是证明∠DIB=∠DBI，可利用三角形外角性质得出∠DIB=∠ICB+∠IBC，而∠DBI=∠DBO+OBI，再结合∠DBO=∠ICB=45°，∠ABI=∠CBI可以连通思路. 第（2）问是对第（1）问的“再深入”，发现点I在以点D为圆心、DI为半径的一段圆弧上，如图8，当DC′经过圆心O时，此时C′I′取得最大，即CI的最大值为（2-）r.

关于微专题教学的实践与思考

第一，预设开放问题，促进学生提出问题

宁连华教授及其团队在文［1］中指出“教师在备课时应根据课型、教学内容、学生情况等因素对课堂留白进行预设”.事实上，重视预设开放问题也是课堂留白的一种设问追求. 在上文课例中，我们在“问题1”第（1）、（3）问，“问题2”第（2）问以及“问题3”中都没有使用“封闭式设问”，而是以开放式的“结构不良问题”为呈现方式，这样的设问方式也是促进学生善于提出问题的学法指导. 考虑到解题教学的效率与学情关系密切，如果学情较好，我们在课堂小结阶段还安排了更加开放的问题，让学生围绕圆的基本图形自主提出问题并研究解题思路.

第二，预设铺垫问题，促进学生学会思考

涂荣豹教授指出：“数学解题教学的任务，学生的主要任务并不是解题，而是‘学解题’. 并且通过学解题‘教学生学会思考’.”［2］以上文关注的圆的微专题教学为例，我们从一道教材经典习题出发，通过变式拓展，以三个“主问题”层层递进，在前两个“问题组”内部，设置了铺垫式问题，以帮助学生在这些铺垫问题的引导下，自主获得后续问题的解题思路. 这样的设计立意，不但促进学生学会解一类圆的经典题组，同时也是促进学生“学会思考”. 具体来说，就是要让学生通过学习解答圆的系列习题，掌握如何分析较难问题，比如先回到题设想清能得到哪些信息，由题设中给出的一些基本图形想到哪些重要定理或性质，并围绕解题目标（求解方向）尝试转化、贯通思路.

第三，预设变式问题，促进学生学深悟透

解题教学中重视变式教学是很多教师的自觉追求，这在微专题课例研发中也是非常必要的. 比如，微专题教学选定某个主题或某个基本图形之后，各个教学环节、系列问题都要围绕主题进行变式设问，切不可离开主题或偏离基本图形“太远”，否则会影响教学目标的达成，也会使得全课教学的“内容效度”不高. 只有精准选题、恰当变式、融入微专题的教学主线，才能促进学生将一类问题学深悟透，达到深刻理解的程度. 顺便指出，就微专题课例研发的不同类型来看，“一图一课”“一题一课”等，都是基于变式教学的处置方式，能促进学生对一个图形、一个主问题的丰富变式或拓展方向深度思考，以达到“做一题、会一类、通一片”的深度学习效果.

参考文献：

［1］蔡甜甜，刘国祥，宁连华. 数学课堂留白艺术的理论探析与实践反思［J］. 数学教育学报，2018，12（6）：29-32.

［2］涂荣豹. 数学教学设计原理的构建：教学生学会思考［M］. 北京：科学出版社，2018.