经历“再创造”，生长“数学味”

［摘 要］ 数学学习应让学生充分经历“再创造”的过程，从而在充分体验下生长“数学味”，水到渠成地发展数学思维与创新精神.文章从“再创造”理论的内涵谈起，结合“旋转中的三角板”的复习课，聚焦“再创造”展开，提出培养学生“再创造”能力的数学课堂需以“再创造”理论搭建课堂框架，以“再创造”的活动催生“再创造”，以“发展为本”的教学理念实现“再创造”.

［关键词］ 再创造；数学味；课堂教学

引领学生经历个性化的、主动的学习过程，培养学生数学思维与创新精神已然成为一线教师的共同愿景. 然而落实在具体教学中却困难重重，我们常常会发现置身于数学课堂中学生“只听不思、只学不问、只知不识”的现象，这样的学习状态足以引发我们的深思. 笔者认为，数学学习应让学生充分经历“再创造”的过程，从而在充分体验下生长“数学味”，水到渠成地发展数学思维与创新精神.

“再创造”理论的内涵

数学教育需沟通生活实际，培养与发展学生认识客观现象，发现数学问题的能力. 聚焦“再创造”理论的数学教学，首先，要摒弃传统教学的灌输式、一言堂以及死记硬背等方式，而应以探究式、引导式教学贯穿课堂. 其次，“再创造”理论下的数学课堂要从数学知识的本质出发，为学生构造“再创造”的时空，让学生借助操作、推理、想象、类比、归纳、反思等方式自主获取知识、感悟思想、积累经验、发展思维、提高素养. 以什么作为突破口实施教学，可使学生真正经历“再创造”、生长“数学味”呢？现在结合“旋转中的三角板”的复习课，聚焦“再创造”展开，谈谈笔者的教学实践.

聚焦“再创造”的教学过程

1. 情境导入，激发“再创造”

教具准备：投影仪，一副三角板，三角形纸片（与三角板大小相同）等.

师：既然本节课是一节复习课，那就让我们抛开课本，老师带你们玩“旋转中的三角板”，如何？三角板是我们学习数学的好助手，我们画线段、量长度、画特殊角、作平行线等都离不开三角板. 你们试过一副三角板的组合运用吗？（学生纷纷摇头）

师：看来玩过的同学不多，这样的组合不仅好玩，还蕴含各种知识奥秘，下面就让我们一起深入探索吧！

师：（先将含有45°的直角三角板举起来）同学们看一看，这个三角板有什么特点？

生1：有一个90°的角，另外两个角度是一样的.

师：生1用简洁的语言描述了角的本质特征，很不错！那这一块呢？（举起一块含有30°角的直角三角板）

生2：这也是一个直角三角形，有一个角是90°，其余两个锐角分别为30和60.

师：那现在角的度数呢？边的长度呢？（旋转该三角板，使得位置发生了变化）

生3：角的度数与边的长度均没有变化.

师：可见，旋转一个图形，其位置发生了改变，但角的度数与边的长度不会改变.

评析 从数学现实着手创设教学情境可以激发“再创造”的动机. 以弗赖登塔尔提出的现实数学教育理论为基础，可以看出现实数学教育包括三种. 第一，学生通过教科书获得知识；第二，以课标为基础，提出教学需求和目标；第三，学生掌握新旧知识的前后联系. 教师在设计教学时需沟通好这些客观现实和知识体系来创设教学情境，激发学生“再创造”的动机，自然而然地培养学生“再创造”的能力. 课始，笔者以趣味性、新颖性的教学情境，为学生营造生机勃勃的学习氛围，并以“这样的组合不仅好玩，还蕴含各种知识奥秘”来激发学生的求知欲. 之后，再从学生的现实思维与知识着手抛出问题，引领学生快速入课. 这样的导入，起点较低且十分生动，唤醒学生储备的知识，为学生积极主动地探索和再创造“旋转中的三角形”做好铺垫.

2. 探究“旋转”，经历“再创造”

探究1：将一副三角板按照如图1所示的方式放置，两直角顶点重合于点O，两斜边AB，CD相交于点P. 在这样的情况下，同学们还能估算出其他角分别是多少度吗？

学生活动：在开放性问题与探究活动的引导下，学生标字母、算角度、找答案，一气呵成，极好地复习了三角形内角和的性质与三角形内外角的关系等旧知识，促进了数学知识体系的构建.

探究2：如图2，先将含有30°角的Rt△COD固定住，再将含有45°角的Rt△AOB按顺时针方向绕着点O旋转，使得AO⊥CD，你能求出∠BOD和∠AOC的度数吗？

学生活动：学生知道三角形旋转，其内角度数不会发生改变，得出∠BOD=120°，∠AOC=60°.

探究3：将含有45°角的Rt△AOB按顺时针方向绕着点O继续旋转，AO正好过CD这条斜边的中点，你能求出∠BOD和∠AOC的度数吗？

学生活动：由于本题包含的定理“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，多数学生已遗忘，因此解题存在些许困难. 但不少学生从前面的探究经验中获得了感悟，并借助已知条件得出了结果.

探究4：通过探究2和探究3，试着猜想旋转过程中∠BOD和∠AOC可能有哪些数量关系，并证明你的猜想.

学生活动：由于探究4是探究2和探究3问题的深化与变式，也是一个开放性问题，因此具有较大的挑战性. 学生在深度思考、操作和探索后，启动了脑海中的元认知，基于图形旋转的不变性，设∠AOD=α，得出∠BOD=90°+α，∠AOC=90°-α，最终相加得到∠BOD+∠AOC=180°.

探究5：根据以上问题，请试着设计变式问题.

学生活动：学生在深度研讨后，实现了“再创造”，并得出以下变式. 将含有45°角的Rt△AOB绕着点O任意旋转，使得∠BOD=105°，你能求出此时∠AOC的度数吗？

实验操作1：将含有45°角与含有30°角的直角三角板按如图3所示的方式放置，将Rt△DMN（含有30°角的直角三角板）的直角顶点与Rt△ABC（含有45°角的直角三角板）的斜边的中点D重合放在一起.

实验操作2：如图4，将Rt△DMN以顺时针的方向绕点D旋转，让其直角边分别与AB，AC相交于点E和点F.

（1）在旋转期间，哪些线段的长度有变化，变化是如何进行的？

（2）猜一猜AE与CF之间的数量关系，并说一说你是如何想的.

（3）通过实验观察，你能得出什么结论？把你的想法写下来，作为小组交流作业.

学生活动：对于学生最难理解的“图形旋转”问题，笔者通过设计动手操作的活动，引导学生在活动中“再创造”. 对于问题（3），学生经过操作、猜想和交流，通过添加辅助线的方法即可得出各种各样的结论，如AE=CF. 与此同时，学生在思考后，创意生成了如下操作变式. 如图4，若Rt△DMN（含有30°角的直角三角板）以顺时针的方向，绕着BC的中点D旋转，其直角边分别与BA，AC的延长线相交于点E，F，则CF=AE是否还成立？进一步地，学生借助前面问题的解决经验，思考得出，可以连接AD，通过“ASA”定理证明△ADE≌△CDF，继而得证.

评析 在教学中，若想将学生的创造思维激发出来，除了要“带动”学生原有的知识外，还要通过适当的提点，让学生更好地感受浓郁的数学气息，促进新知识的自然构建. 猜想、操作是“再创造”的前提，这里也正是由于学生拥有了充足的操作时空，才能充分体验到三角形旋转过程中的变和不变，从而了解旋转图形中的“等”与“不等”之间的关系，以此深化学生对知识的理解与认识，同时促成原有三角形知识的重大突破，促进学生的个性发展.

3. 深入反思，巩固“再创造”

问题1：回顾本节课的整个探究过程，我们经历了哪些数学知识的再探索，有什么收获？

学生活动：①拿一副三角板作为道具，针对三角形的边与角的关系展开复习； ②将三角形的旋转作为研究内容，分析旋转过程中“等”与“不等”的关系；③在实践操作与合作探究中掌握自主编题的技术，让自身的“再创造”思维与能力得到发展.

问题2：除去前面探究的旋转方法，你是否还有其他方法？

学生活动：学生再一次针对本题展开实验操作，交换两块三角板的位置，即改变旋转中心，如图5，移动三角板，Rt△MDN（含有45°角的直角三角板）的直角顶点D与Rt△ABC（含有30°角的直角三角板）的斜边BC上的垂足D重合，将Rt△MDN按照顺时针方向，绕点D旋转，其直角边与AB，AC分别相交于点E，F，则∠AED与∠CFD之间有什么样的数量关系？如果DE与DF之间存在着比例的关系，那么的值是多少？尽管此题是前面问题的变式，但前面问题是基于三角形全等的实际问题，而本题涉及的是三角形相似，显然学生有这样大的创造力确实十分喜人.

评析 再现教学过程，可以促成“再创造”的巩固. 当然，再现和反思教学过程并非简单地发现和创造，更多的是需要在教师的引导下巩固“再创造”，这里需要重点凸显的是教师的引导. 本课的实践表明，给予学生充分的操作时空，学生能还课堂以精彩. 这一环节中，笔者以问题引发学生反思，以知道引导学生操作，让学生在“做数学”中巩固“再创造”，最终由最原始的复现走向深度变式，让学生的发散性思维能力以及二次创造能力得到有效提升. 就这样，用意犹未尽的结尾为学生打造了无限的创造空间，使数学课堂久久弥漫着浓浓的“数学味”.

感悟与反思

1. 以“再创造”理论搭建课堂框架

纵观本课的教学，不难发现，整节课用弗赖登塔尔的“再创造”理论搭建课堂框架. 笔者基于数学知识的特质，为学生打造“再创造”通道，引导学生在一系列探究活动中，获取知识、感悟思想、培养思维、发展素养. 首先，笔者从学生的数学现实着手创设情境，引导学生自主自发地操作实践，激发“再创造”的欲望；其次，笔者牢牢把握住每一次引导学生动手操作的时机，让学生在“做数学”的过程中进行“再创造”，形成“数学化”的思想.

2. 以“再创造”的活动催生“再创造”

本节课中，笔者设计了多种形式的探究活动，一是通过简单的模仿性活动，有效激活学生的“再创造”；二是通过变式操作活动，为学生的“再创造”提供通道；三是通过延伸操作问题，为学生提供“做数学”的通道，让学生实现“再创造”. 正是有了这样符合学生认知规律的循序渐进的活动，才能引导学生多方位、多角度地观察、探索和交流，有效操控“图形的旋转”，最终学会举一反三，使“再创造”抵达学生的心灵深处.

3. 以“发展为本”的教学理念实现“再创造”

在素养本位的导向下，数学育人功能主要体现在培养学生初具思想、创新精神、理性思维和数学素养，其中创新精神和理性思维应作为数学活动设计的核心. 为此，教师在设计教学时需基于“发展为本”的教学理念，沟通数学与现实的联系，牢牢把握数学本质，通过一些具体探究活动引导学生步步深入思考与操作，让学生在举一反三中实现“再创造”，让数学课堂散发浓郁的“数学味”.

总之，在教学中，教师要善于设计有效的活动，让学生对知识的理解逐步走向深处，以促进学生理性思维和创新能力的发展；要引导学生展开有价值的思维活动，从而在获得丰富的活动体验的同时经历“再创造”的过程，形成积极的情感态度，促进“数学味”的生长.