基于单元整体教学 促成学生深度学习

［摘 要］ 数学知识是一个充满联系的有机整体，教学中要重视引导学生从整体视角思考和解决问题，以此肃清知识的来龙去脉，建构完善的知识体系. 在实际教学中，教师切勿将知识割裂开来进行教授，应从整体视角出发，有意识地进行教材重构，以此凸显知识间的内在联系，帮助学生有效地构造认知，发展学生数学素养.

［关键词］ 整体视角；教材重构；数学素养

单元整体教学要从整体上考虑教学设计，基于学生认知基础和学习特点设计合理规划，凸显知识之间的关系和结构，优化学生认知结构，提高学生迁移能力和数学素养. 不过，在唯分论的影响下，大多数学生更多地关注解题方法，忽视了知识背后的逻辑关系，使得学习过程中出现了照搬照抄和模仿套用，影响了自身思维能力的发展. 在实际教学中，教师应从整体视角出发，引导学生追溯问题的本源，帮助学生理解知识的来龙去脉，以此培养理性思维，建构数学知识体系，发展综合学力. 笔者以“借助图形运动思想添辅助线”一课教学为例，教学中基于单元整体视角设计探究活动，引导学生探寻几何证明添线方法的本质，有效提高学生分析和解决问题的能力.

教材重构，整体把握单元知识的内涵

教材是数学家精心编写的，是课堂教学活动的重要依据，其在教学中的重要性是不言而喻的. 不过强调教材的重要性并不意味着教师可以照本宣科，要知道，不同的班级、不同的学生，其认知水平和理解能力都有所不同，若教学中教师只中规中矩、按部就班地进行知识点的传输，将不利于学生学习兴趣的培养和数学素养的培育. 基于此，教师应认真研究教材，认真研究学生，把握单元知识的内涵，结合教学实际进行教材重构，从而使教学内容和教学活动更适合学生的发展水平，有效推动学生知识网络的建构，促进深度学习的达成.

经历过程，提升学生学习品质

及素养

1. 一题多解，发散思维

例1 如图1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的角平分线，线段AB、AC、BD之间存在怎样的数量关系？

例1给出后，教师让学生独立思考，并鼓励学生尝试应用不同的解题思路解决问题. 在互动交流环节，教师巧妙地设计问题，以期借助问题引发思考，促成深度学习.

师：谁来说一说，你是怎么想的？

生1：看到“AD是∠BAC的角平分线”这一条件，我想到了翻折，这样在AC上截取AE=AB，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，又∠B=2∠C，所以∠C=∠EDC，则DE=CE，又DE=BD，所以AC=AE+EC=AB+BD.

师：非常好，生1从“角平分线”这一关键条件出发，通过翻折添加辅助线，并运用转化思想方法解决了问题. 你能具体说一说，你这样做的依据吗？

生1：因为角是轴对称图形，而它的对称轴恰好为角平行线所在的直线，所以我就想到利用轴对称的性质来构造全等三角形，进而得到了如上证明过程.

师：很好. 你们还有其他解决方案吗？

生2：看到“∠B=2∠C”，我想到了两倍角关系，延长AB，在AB延长线上截取BF=BD，所以∠F=∠BDF，易证△ACD≌△AFD，所以AC=AF，同样可得AC=AB+BD.

师：也是个不错的思路，从两倍角这一关键条件出发，得到了不同的思路. 在构造倍角关系的过程中，作∠B的平分线不是更直接吗？

生2：若直接作∠B的平分线，确实可以得到角的倍角关系，但是这样好像很难与边建立联系，难以有效地解决问题.

师：很好，可见在解题时我们要整体把握，结合多个条件综合考虑，这样才能成功地找到解题的突破口.

师：你还能找到其他解题思路吗？

生3：观察图1，并结合“大角对大边”这一性质不难发现，AC>AB，于是得到猜想：AC=AB+BD，然后利用截长补短的方法加以证明.

师：你们认可生3的思路吗？（学生点头表示赞成，教师预留时间让学生利用生3的思路证明）

师：生3从结论入手，通过直观观察和逻辑推理得到结论. 从以上过程不难看出，在解决几何问题时，既可以从条件出发，又可以从结论入手，这样通过不同角度思考可以得到多种解答过程. 在探究例1时，学生结合角的对称性想到了翻折，通过添加辅助线构造基本图形顺利地解决了问题. 对于以上过程，你能用精简的语言进一步加以概括吗？

教师预留时间让学生归纳总结，从而得到解决此类问题的一般思路，即：条件/结论—图形运动—添加辅助线—构造基本图形.

设计意图 例1难度不大，题设信息也是学生容易理解的，但是该题内容丰富，具有一定的探究性. 教学中，教师将探究的主动权交给学生，引导学生从不同角度出发，探寻不同的解题过程，让学生体会解题方法的多样性. 同时，教师引导学生对解题过程进行归纳总结，从而形成解决此类问题的一般思路.

2. 深入探究，挖掘本质

师：若其他条件不变，将“∠B=2∠C”改为“∠B=∠C”，此时点D在何位置？说说你的理由.

生4：因为“∠B=∠C”，所以△ABC为等腰三角形，又“AD是∠BAC的平分线”，根据等腰三角形“三线合一”定理可以判断点D为BC边的中点.

师：很好，现在我们一起来看一下例2，看看解决该题可以从哪几个角度入手呢？（教师PPT展示例2）

例2 如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且点D恰好为BC边的中点，问△ABC是什么三角形？

题目给出后，教师并未急于呈现答案，而是预留时间让学生自主寻找解题的答案. 教师巡视，学生独立求解. 从学生反馈来看，很多学生通过添加辅助线找到了解题方案.

师：我看很多学生添加了辅助线，谁来说一说你为什么要这样添加，你添加辅助线的依据是什么？

生5：添加辅助线的目的是构造全等三角形，根据已知“D为BC边的中点”，则AD是△ABC的中线，看到这一条件我想到了倍长中线，于是延长AD，并在AD延长线上截取DE=AD，然后连接EC，证明△ABD≌△ECD，所以有∠BAD=∠E. 又∠BAD=∠CAD，所以∠E=∠CAD. 所以AC=EC. 又EC=AB，所以AB=AC. 所以△ABC是等腰三角形.

师：很好，从“中点”这一条件出发，想到了倍长中线. 顺着生5的思路想一想，实际上图形是做了什么运动呢？（学生思考片刻）

学生齐声答：旋转.

师：这样借助图形的旋转运动，我们构造了等腰三角形这一基本图形，顺利地解决了问题. 那么为什么看到中点会想到旋转运动呢？（学生不语）

师：回顾例1的解题过程，当时我们看到角平分线想到了角的轴对称性，于是利用图形的翻折解决了问题，那么线段具有怎样的性质呢？

学生窃窃私语，有的学生说是轴对称，有的学生说是中心对称.

师：我已经听到很多学生给出了正确答案，没错，这里面所利用的就是中心对称这一性质来研究的. 那么中点是什么呢？

学生齐声答：对称中心.

师：很好，这样利用线段的中心对称性来构造△ACE为等腰三角形，实现了问题的转化，顺利地解决了问题. 刚刚我们利用倍长中线构造等腰三角形，将∠BAD进行换位. 你还能用其他方法来构造吗？

生6：也可以通过作平行线的方式来构造等腰三角形. 过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E.

教师预留时间让学生按照生6的思路构造，通过证明全等同样证明了结论.

师：作平行线相当于图形做什么运动呢？（学生边操作边思考）

学生齐声答：平移.

师：很好，这样借助图形平移同样可以构造基本图形.

师：回顾以上解题过程，我们分别用哪些图形运动来构造基本图形？

生7：翻折、旋转、平移.

设计意图 在例1的基础上将问题进一步推广，让学生进一步运用图形运动思想来构造基本图形，让学生领悟添加辅助线方法的本质，帮助学生形成深刻的理解，逐渐建构学生完善的知识机构，从而为知识的灵活应用打下坚实的基础.

3. 适度练习，拓展提升

例3 如图3，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，D、E为边BC上的任意两点，且∠DAE=45°，求证：线段BD，DE，EC为边构成的三角形为直角三角形.

解析：本题所考查的是运用图形旋转构造基本图形，运用全等来解决问题. 将△ABD绕点A旋转，使得AC与AB重合，得到△ACF≌△ABD，连接EF. 根据已有经验易证∠ECF=90°，△DAE≌△FAE. 在Rt△ECF中，EF 2=CF 2+CE 2，而DE=EF，BD=CF，所以DE 2=CE2+BD2.

例4 如图4，已知五边形ABCDE的五条边相等，且∠ABC=2∠EBD，求证：∠EBD=30°.

解析：该题同样考查的是通过图形的旋转来构造基本图形，将△ABE以B为旋转中心，顺时针旋转∠ABC，使得AB与BC重合，得到△BCE′，连接DE′. 通过证明△EBD≌△E′BD，易得△CDE′为正三角形，所以∠DCE′=60°. 又BC=CD=CE′，则∠E′BD=∠DCE′=30°，即∠EBD=30°.

设计意图 应用是巩固知识的重要手段，是提升学生学习兴趣，培养学生解题技能的重要途径，其在数学教学中是必不可少的. 在以上环节，教师引导学生借助具体操作体会利用图形运动添加辅助线的应用价值，培养学生数学应用意识，提高学生解题能力.

拓展延伸，借助单元活动促进深度学习

从以上教学活动可以看出，构造全等三角形是解题的关键，为了帮助学生更快地形成解题思路，教师还应以“三角形全等问题”为主题设计有效的教学活动，让学生通过多角度探究获得深刻地理解，促成深度学习. 例如，教师结合教学实际设计如下主题活动.

1. 活动目标

（1）通过经历数学语言的转译过程，提高学生数学语言运用能力；

（2）经历证明全等的过程，提高学生演绎推理能力.

2. 活动步骤

步骤1：全等证明

（1）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD，A′D′分别为BC，B′C′上的中线，且AD=A′D′，问△ABC与△A′B′C′是否全等呢？若全等，请写出证明过程；若不全等，请说明理由.

（2）在△ABC和△A′B′C′中，若∠B=∠B′，∠C=∠C′，AD，A′D′分别为∠A和∠A′的平分线，问△ABC与△A′B′C′是否全等呢？若全等，请写出证明过程；若不全等，请说明理由.

（3）在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，AD，A′D′分别为BC，B′C′上的高线，问△ABC与△A′B′C′是否全等呢？若全等，请写出证明过程；若不全等，请说明理由.

设计说明：该设计具有一定的开放性，更能考查学生的基础知识掌握情况，有利于培养学生思维的灵活性，发展学生的思辨能力，提高学生的逻辑推理素养.

步骤2：类比创新

与以上题目相类比，你能自己设计一些新题吗？请写出题目，并尝试证明.

该环节教师将探究的主动权交给学生，让学生对给出三角形中边、角及特殊线段中三组对应关系进行自由组合，这样既可以丰富练习内容，提高学生的探究欲，还可以加深对三角形全等问题的理解，从而为合理构造打下坚实的基础.

教学中，教师要有意识地引导学生将相似或相关内容相类比，这样可以有效沟通知识间的内在联系，通过对区别与联系的深度辨析揭示问题的本质，以此促成深度学习. 另外，通过有效地沟通，可以使零散的、碎片化的知识变得系统化，有利于提高学生知识迁移能力，有利于提高学生的数学应用水平.

结束语

在课堂教学中，教师不要局限于单一知识的讲授和单一问题的解决，应从整体视角出发，通过综合性问题的解决强化知识间的内在联系，加强单元教学的连贯性. 教学中，教师要打破章节的束缚，有机整合教学内容，将一些相关或相似的内容有效地连接起来，通过对教材的深耕最大限度发挥教材的育人功能，提升教学品质. 例如，以上教学中，通过对教材内容的重组，将图形运动、三角形全等、几何证明方法等内容有效地联系在一起，让学生学会从整体视角看问题，促进知识的深化和能力的提升.

教师在授课过程中，要以培养学生“学科素养”为方向，根据学生的学习状态和自身的教学水平合理设计教学活动，引领学生经历知识形成、发展及应用等全过程，以此促进知识的深化，提高学生数学应用水平. 在以上设计中，教师从学生认知特点和认知水平出发，通过逐层探究让学生掌握借助图形运动思想来添加辅助线，体会“构造”在解题中的价值，让学生学会用整体视角来思考问题，培养思维的灵活性、变通性，让学生的思维变得有序化.

另外，在课堂教学中，教师要提供时间和机会让学生去发现、去创造，以此激发学生潜能，促成有深度的学习. 从以上教学环节可以看出，教师没有直接将答案呈现给学生，而是将解题主动权交给学生，鼓励学生从不同角度探寻解题方法. 例如，在探索例1、例2的过程中，教师预留充足的时间让学生思考与交流，鼓励学生从不同角度分析，引导学生借助翻折、旋转、平移等图形运动来添加辅助线，有效地拓宽了学生的视野，促进了学生数学素养的提升.

总之，数学知识是一个整体，教师在设计教学活动时要学会从整体视角出发，以此有效沟通知识间的内在联系，打破学生思维的局限性，为学生提供更广阔的探究空间，逐渐完善学生的知识结构，发展学生数学素养.