以生为本 引领探究 促进发展

［摘 要］ 新课改背景下的初中数学课堂教学中要重视体现学生的主体性，着力优化学生知识结构，发展学生综合学力. 在“实数”一课教学中，教师以发展学生为目标，引导学生亲历概念的引入、概括、辨析、应用等过程，着力发挥学生主体价值，促进学生综合能力和综合素养的发展与提升.

［关键词］ 发展学生；综合能力；综合素养

新课改背景下的数学概念教学要改变“灌输式”的教学模式，贯彻“以生为本”的教学理念，充分展示概念的来龙去脉，以此促进学生对概念的理解与深化和学生学习能力的发展与提升. 在传统概念教学中，教师往往直接呈现概念让学生理解和记忆，这样不仅难以让学生全面深刻地理解概念，而且影响学生学习积极性，限制学生发展. 因此，在概念教学中，教师有必要更新教学策略，引导学生经历概念形成过程，并提供机会引导学生多角度探究概念，以此促成深度的理解，有效激发学生潜能，将“一切为了孩子的发展”的教学目标落到实处.

“实数”一课是公认的比较难上的一节课，之所以难是因为无理数的概念学生很难体会，也很难将其与有理数建立联系. 基于此，笔者认为教学中可以借助直观帮助学生获得丰富的感知，以此促进概念的理解和掌握. 另外，教学中应重视引导学生类比，以此将有理数与无理数建立联系，帮助学生领悟概念的本质属性，促进概念的内化. 下面呈现具体过程，供参考！

教学设计

1. 创设冲突，引入概念

周知，概念不是凭空臆造的，而是在现实生活中逐渐抽象概括而来的. 概念教学中，若教师将概念抛给学生，这样无形中增加了数学的枯燥感，影响了学习兴趣和学习信心的培养. 为了改变这一局面，教师可以从学生最近发展区出发，创设符合学生认知水平的具体事例，让学生在问题的解决中理解引入新概念的重要性和必要性，以此点燃学生探索新知的热情.

正方形的面积公式及平方根的概念都是学生熟悉的内容，教师通过创设实际问题将两者建立联系，继而从解决问题的需要引入概念. 问题如下：

问题1 若正方形的面积分别为16，，2，你能求出对应的边长吗？

师生活动：问题给出后，学生轻松地给出面积为16的正方形边长为4，面积为的正方形的边长为. 不过，学生在求面积为2的正方形的边长时却犯了难，在教师的启发下，学生得到该正方形的边长为.

设计意图 从小学阶段的正方形的面积公式出发，让学生获得熟悉感和亲切感，淡化数学知识的抽象感，为探究活动的顺利开展做铺垫. 通过问题的解决，学生发现有些正方形的边长并不能用整数或整数之比来表示，由此引发认知冲突，继而激发学生的好奇心和探究欲.

问题2 边长为1的正方形的对角线是多少？

学生活动：学生通过探究发现，该正方形的对角线也不能用整数或整数之比来表示.

设计意图 通过问题的解决让学生体会有些数是无法用整数或整数之比来表示的，继而为新数的引出做铺垫.

2. 动手操作，感悟本质

活动1：现有一个面积是4的正方形ABCD，如果用它折出一个面积是1的正方形你会吗？如果用它折出一个面积是2的正方形又该怎么折呢？正方形的边长是多少？

师生活动：学生通过折叠2次可以得到面积为1的正方形. 学生在折叠面积为2的正方形时遇到了障碍，教师利用几何画板展示折叠过程，然后让学生动手操作，由此得到了如图1所示的面积为2的正方形.

活动2：若将两个边长为1的正方形拼成一个大的正方形，可以怎么拼？大正方形的边长是多少？（允许裁剪）

师生活动：学生将两个边长为1的正方形沿对角戏剪开，从而拼成了如图2所示的正方形.

设计意图 活动1中，学生在折叠中遇到障碍，教师用几何画板展示过程，然后再让学生动手操作，让学生直观感知是真实存在的. 活动2中，教师启发学生通过“剪拼”得到面积为2的正方形. 学生将面积为1的正方形沿对角线剪开，得到4个面积相等的等腰直角三角形，最终拼成面积为2的正方形，由此通过动手操作让学生真实地感知，这样势必会引发这样的思考：到底是个怎样的数，由此为后面探究活动的开展埋下伏笔.

3. 深入探究，引出概念

问题3 通过动手实践可以感知是真实存在的，那么到底多大呢？

师生活动：教师先让学生独立推导，学生分别计算1.1，1.2，1.3， 1.4，1.5的平方，感知是在1.4和1.5之间的数. 为了让学生更加直观地感知的大小，教师用Excel表格中的求平方功能继续计算，1.412=1.9881，1.422=2.0164，从而发现是1.41和1.42之间的数. 在此基础上，教师继续用Excel表格中的计算功能计算小数点后三位时，是什么范围的数，由此可得是1.414和1.415之间的数，这样可以继续无限制地计算下去.

设计意图 在此过程中，教师充分发挥现代信息技术的优势，用无限逼近思想引导学生提炼无理数的本质属性，即无限、不循环. 这样通过以上实践活动，为概念的抽象积累丰富的感性素材，此时引出无理数和实数的概念自然也就水到渠成了.

问题4 我们知道在数轴上可以表示有理数，那么无理数呢？它能否在数轴上表示呢？

师生活动：教师启发学生从最熟悉的π和入手，让学生思考能否在数轴上准确地表示出来. 在教师的启发和指导下，学生以正方形和圆为背景，借助“形”寻找“数”. 学生以坐标轴为中心，先画一个边长为2的正方形ABCD（如图3），然后连接各边中点，得到边长为的正方形EFGH，再转换到图4，这样以数轴原点为圆心，以边长为1的正方形的对角线为半径画圆，从而得到了. 在研究π的过程中，学生将其与半径为1的半圆周长建立联系，一致认为可以在数轴上表示π. 为了让学生更加直观地感知π在数轴上的位置，教师利用几何画板进行演示，得到图5.

设计意图 教师引导学生与有理数相类比，让学生真实地感知这些数是真实存在，并可以在数轴上表示出来，体会实数和数轴上的点有一一对应的关系.

4. 概念辨析，促进深化

问题5 判断下列说法是否正确？如果不正确请给出理由.

（1）无理数都是无限小数；

（2）所有无限小数都是无理数；

（3）带根号的数都是无理数.

师生活动：教师让学生以小组为单位进行思考辨析，学生列举了许多实例进行说明，课堂气氛活跃.

设计意图 辨析是深化概念理解的重要途径之一，其可以很好地检测学生对概念的理解深度. 该环节教师鼓励学生合作、争辩，以此通过思考辨析让学生正确、全面、深刻地理解无理数的概念.

问题6 在研究时，运用无限逼近思想来解释是无理数，如果运用已有经验进行推理验证，是否可以更好地解释是无理数呢？

师生活动：在教师的启发和指导下，学生利用反证法证明了结论，证明过程如下：假设是有理数，必有=（p，q为互质的正整数）. 两边平方得2=，所以p2=2q2，由此可知p为偶数，设p=2k（k为正整数），则4k2=2q2，即q2=2k2，由此可知q也为偶数，显然其与p，q互质相矛盾. 因此假设不成立，所以为无理数. 学生得到该推理证明后，教师顺势让学生思考：无理数能否用分数表示？以此通过推理辨析进一步深化无理数概念的理解.

设计意图 教学中，教师引导学生运用特殊化一般的思想方法进一步说明是无理数，以此加强学生对无理数概念的理解，培养学生逻辑推理能力. 另外，教学中，教师结合教学内容进行适时追问，以此让学生明晰无理数不能用分数表示.

5. 巩固应用，提升能力

例1 下列各数中，______是有理数，______是无理数. （请将序号填写在横线上）

①π，②，③，④0，⑤，⑥0，⑦-，⑧-4π.

例2 请将以下实数在如图6所示的数轴上表示出来，并比较它们的大小. （用“<”连接）

-，，-，π，1.5

<D：＼数学教学通讯中旬＼2024数学教学通讯中旬（11期）＼2024数学教学通讯中旬（11期） c＼8-72.tif>[图6][-1][0][1][2][3][4][-2][-3]

设计意图 例1旨在进一步强化学生对有理数和无理数概念的理解，同时通过分类明确一个数不是无理数就是有理数. 设计例2旨在引导学生将其与有理数的定义、性质、分类、表达等内容相类比，让学生知道无理数不仅可以在数轴上表示，而且无理数也有相反数、绝对值，由此通过知识迁移让学生明晰，相反数、绝对值的概念同样适用于无理数. 教学时，教师先让学生在数轴上表示各数，一是让学生理解实数与数轴上的点一一对应；二是让学生学会用近似值表示无理数.

6. 归纳概括，建构体系

教学中，教师以学生认知规律为起点，引导学生经历概念的引入、抽象、辨析、应用等过程，促进了概念的理解与深化. 在此基础上，教师可以引导学生与有理数、实数概念建立联系，以此形成实数知识的学习框架图（如图7）.

设计意图 教学中，教师要提供时间让学生进行归纳总结，让学生用最精练的数学语言将课堂教学中的重点内容以框架图的方式呈现出来，在学生的脑海中形成清晰的知识脉络，构建完善的知识体系. 在此环节，教师指导学生将实数、有理数、无理数等相关概念建立联系，凸显教学重难点，有利于培养学生整体意识，发展学生数学素养.

教学思考

1. 强调类比迁移，引导学生主动建构体系

数学教学不单是教授知识，更重要的是培养学生的能力. 类比迁移法是一种重要的教学方法，其有利于学生自主探究能力的培养和学生知识体系的建构. 类比思想是一种重要的数学思想方法，通过类比迁移，不仅可以实现旧知的巩固，而且可以促进新知的理解，有利于学生学习和创新能力的发展与提升. 在新时代背景下，教师有必要引导学生将一些相关或相似的知识相类比，以此提升教学质量和学习品质，发展学生自主学习能力.

数学是一门逻辑性较强的学科，新知识的学习一般建立在原有认知基础之上. 在实际教学中，教师要认真研究教材、认真研究学生，探明新知与旧知的联结点，引导学生通过经历类比、抽象、归纳等活动理解新知识，掌握新方法，提高学生创造力. 在教学无理数定义、分类、性质、表达时，教师有意识地引导学生与有理数相关知识的学习方法相类比，以此为无理数的学习提供方法和途径，有效地吸引了学生的注意力，让无理数相关知识的学习变得更加轻松、顺畅，促进学生知识体系的建构与完善.

2. 由直观到抽象，促进概念的理解与深化

数学概念具有高度的抽象性. 为了让学生能够更好地理解抽象的概念，教师应从学生已有经验出发，通过创设有效的活动帮助学生积累丰富的感性素材，引导学生经历由直观到抽象的过程，以此让学生更好地理解概念、应用概念.

在本课教学中，为了突破无理数这一难点，教师以为研究对象，通过“折”、“剪”、“拼”等方式让学生感知的存在性. 然后让学生思考在数轴上如何表示，以此将“数”与“形”建立联系，使抽象的“数”变得更加具体化、直观化. 最后教师又让学生在数轴上表示数，让学生学会用近似值来表示无理数. 这样通过一系列动手实践活动，使抽象的概念变得更加形象、具体，有利于加深学生对无理数概念的理解，有利于课堂教学有效性的提升.

3. 强调生本价值，提升学生自主学习能力

新课程重点强调学生的主体地位，重视学生自主学习能力的发展. 在概念教学中，教师要提供机会让学生参与概念形成、发展、应用等过程，体会数学知识是不断发展变化的，以此让学生学会用发展的眼光看数学，培养学生创新意识.

在本课教学中，教师首先从学生已有经验出发，通过创设认知冲突让学生感知已有知识已经很难解决现有问题，由此感知扩充数的重要性和必要性. 接下来教师又以学生最近发展区为出发点，引导学生亲历感知、探索的大小、数轴表示等过程，让学生学会用数学方法研究新知识、探索新问题. 在此过程中，教师坚持以学生为主体，以发现学生素养为导向，提供机会让学生主动发现，主动建构，以此增强学生数学学习信心，发展学生数学综合能力和综合素养.

总之，在数学教学中，教师作为课堂教学的组织者和引导者，要认真研究教学内容，找准新旧知识的联结点，引导学生主动类比、主动探究、主动建构，以此逐渐完善学生个体知识结构，发展学生数学核心素养.