有限元方法课程理论教学改革研究与设计

关键词：有限元方法；教学改革；农业机械；双语教学

0 引言

有限元方法（finiteelementmethod，FEM）是基于近代计算机的快速发展而发展起来的一种近似数值方法，用来解决力学、数学中的带有特定边界条件的偏微分方程问题，这些偏微分方程是求解各类复杂科学和工程问题的工具。有限元方法和计算机发展共同构成了现代计算力学的基础[1]。有限元方法课程是青岛农业大学农业机械工程专业硕士研究生重要的必修课程之一。不仅为学生提供扎实的力学、数学基础理论知识用于学科领域的更深层次的科研工作，还为学生利用大型商用有限元分析软件（如ANSYS、ABAQUS等）采用计算机辅助工程（computeraidedengineering，CAE）方法解决农业工程中的实际问题提供了基本的学科理论知识素养，使学生能够更加快速地上手和借助软件解决农业机械研制过程中复杂结构的强度、刚度、屈曲稳定性、动力响应和疲劳断裂等力学性能的分析、物理场计算及结构性能的优化设计，提高农机产品设计的效率和质量，为社会培养合格的CAE技术人才。

目前，国内开设有限元方法课程的院校很多，不仅在航空航天飞行器制造、船舶工业、汽车工业和土木建筑等工科领域，甚至生物学、医学领域都有越来越深层次的应用[2]。但课程普遍存在内容繁杂、不连贯、重点内容不突出，有限元方法与商用有限元软件脱节，试验环节匮乏及未突出专业特色等问题，使得学生普遍反映课程太难，理论知识晦涩难懂等问题，造成课程耗时长但实际收效低的局面[3-4]。因此，本研究对有限元方法课程理论教学部分进行改革，从学生易学、愿学、好学和学好的角度，系统梳理和优化现有课程内容，使理论课程内容更加契合农业机械工程专业研究生高素质人才培养的目标，提高人才培养水平，即具有更深层次科学研究的扎实理论基础，具备工程分析、实践和解决实际问题的能力，具备前沿资料的查阅能力和国际化的视野，紧跟专业领域的发展趋势和科技发展的步伐。

1 存在问题

1.1 课程内容繁杂、不连贯，重点不突出

有限元分析课程是建立在机械原理、理论力学、材料力学、农业机械学、CAD机械设计、高等数学和线性代数等多门前期课程基础上，对学生数学、力学、机械结构等基础知识要求高，以及现有课程普遍存在内容繁杂、前后知识不连贯、重点不突出、知识点零散及难以做到循序渐进等问题，使得课程内容晦涩难懂，学习难度大。

1.2 有限元方法与商用有限元软件之间脱节

有限元方法课程和有限元软件属于不同的概念，但对于需要工程化实际应用的工科硕士生而言，有限元方法课程学习是大型商业软件使用的知识储备基础。但是课程多采用杆、梁、门型框架结构及简单三维立体结构等作为实例，距离具有庞大网格数量的实际工程结构的有限元分析存在较大的差距，有限元方法课程理论与实际工程实践应用脱节。

1.3 验证数值计算试验环节匮乏

有限元方法课程所给出的实例多属于固定几何结构模型的解析求解和有限元法求解，通过Matlab或者ANSYS等软件实现计算和仿真。这些模型结构相对简单，如由两个垂直梁和一个横梁组成的门型框架结构，类似的实例应该在给出计算和仿真的同时进行实物试验，并对比各环节结果，建立起客观物理存在与理论分析之间的对比验证，使学生收获完整的认知闭环。

1.4 缺乏专业特色

有限元分析课程理论知识适用于各种不同的学科领域，不同的学科普遍采用典型的实例进行理论分析和仿真验证，这些实例有非常典型的代表性，或者在不同领域都具有适应性，但是缺乏专业特色。农业机械工程专业可适当引入一些农业机械关键部件的有限元分析实例，如拖拉机传动系统优化设计[5]、旋耕机刀片结构受载有限元分析[6]、蔬菜移栽机取苗驱动装置优化与结构减震研究[7]及玉米收获机果穗箱支架结构优化设计[8]等，为学生提供专业方向引导。

2 理论教学内容体系建立

有限元方法课程授课面对的是硕士研究生，理论知识的深造是课程的重中之重。只有打好理论基础，才能研究更深层次的内容，才能更好地理解知识，实现有效的工程应用。尤其是新材料、新技术、新领域不断涌现，掌握扎实的理论知识可以应用到不同领域，以不变应万变、举一反三。因此，在系统梳理有限元方法理论知识体系的基础上，找准关键节点、化繁为简，采用符合知识学习规律的方式循序渐进地调整课程内容，调整后的内容主要包括以下4部分。

2.1 基本数学、力学概念和学科常识的系统化讲解

（1）力学体系和力学分类。力学分为质点力学、刚体力学和变形体力学等，不同情况、不同学科领域的力学知识构成一个庞大而复杂的系统。学生在学习时面对各种不断出现的力学名词和求解条件而感到茫然，思维适应性转变迟滞。改革后，采用对比的方式给出不同力学类别问题的基本变量、基本方程及求解方式，建立力学系统整体概念，给出有限元方法在整个学科的定位，便于学生建立力学体系，加深对有限元方法的理解。

（2）基本参数和基本概念体系。通过特定材料拉伸试验，从力的平衡、变形状态、材料行为描述材料的力学行为、建立基本的力学概念。逐步推导和建立起的3大类变量（位移、应力、应变）和3大类方程（力的平衡方程、几何变形方程、物理本构方程）。将1D、2D和3D问题进行汇总和比较，便于学生理解和对比记忆。

（3）全域和子域的概念及函数逼近的方法。基于全域的函数逼近方法：采用定义在全域上的基底函数的线性组合对原函数逼近，基底函数高次连续，仅采用几个基底函数便能够得到较高的逼近精度。基于子域的函数逼近方法：采用线性函数在子域上分段展开，在每个子域用不同的线性函数逼近，然后求和逼近原始函数。建立科学的概念体系，准确理解不同求解方法的原理。

（4）力学描述的思路，形成有限元方法的求解思想。对于简单几何形状（如杆、梁等）采用材料力学的特征建模方法，直接针对对象建模。建立线性方程或二阶微分方程用于分析拉伸、扭转和弯曲。对于任意复杂几何形状，采用通用建模方法，从对象中取出微小体元建立3大类变量和3大类方程，通过求解偏微分方程获得力学对象描述。

（5）几何形状复杂、边界条件复杂的变形体力学描述。系统讲解连续性、均匀性、各向同性、线弹性和小变形5个假定提出的目的及意义。给出取内部微元体，建立3大类变量+3大类方程+2类边界条件描述复杂形状变形体力学问题，通过求解方程获得应力、应变和位移分量的过程。

2.2 复杂变形体力学方程求解的经典试函数方法

在几何形状和边界条件都复杂的情况下，在给定边界条件下针对3大类变量和3大类方程采用直接求解的方法（如解析法、半解析法和差分法）非常困难，尤其是复杂的3D问题。采用试函数方法，可大大降低求解难度，试函数法分类及求解步骤如图1所示[9]。学习试函数方法是有限元方法求解微元体偏微分方程的基础。详细介绍有限单元力学方程求解的基本方法：加权残值法和基于能量原理求解试函数的方法。分析求解过程。试函数的选取非常关键，直接影响求解结果。

2.3 复杂变形体求解的有限元方法思想及基本性质

系统讲授有限元方法思想。如图2所示，将复杂几何体进行全域离散，分段、分片和分块（标准几何划分形成单元库，注意高阶及复杂单元的处理），在标准化微小单元上进行场描述，形成单元位移场函数、应变场函数和引力场函数。根据能量原理在单元上构造试函数并建立力学方程，形成单元刚度方程。将单元拼接集成形成整体刚度方程。处理位移边界条件获得所有节点位移值，计算约束支反力，并计算单元应力、应变等其他物理量。同时计算有限元分析数值解的精度、性质与误差，给出控制误差、提高精度的方法，以及梁单元、空间几何体的实例展示有限元方法的求解过程。

2.4 Matlab和ANSYS软件应用

Matlab是功能强大的数学软件，利用Matlab进行有限元分析是工程领域重要的研究手段之一，可以解决许多复杂的物理系统问题，如结构力学问题、流体或热传导问题等。Matlab提供了1D～3D的有限元求解函数，如表1所示。ANSYS是融结构、流体、电场、磁场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，功能强、操作简单方便，是国际流行的有限元分析软件之一[10]。课程通过实例给出Matlab、ANSYS有限元分析过程，演示复杂几何变形体的求解计算过程，提供农业机械工程专业硕士生必不可少的科研工具和必备技能，为新材料、新结构和新技术的研究及新领域的开拓提供重要的研究手段。

3 教学改革引入新内容

3.1 双语教学

（1）主流有限元软件使用需求。在有限元仿真软件领域，已形成了ANSYS（Workbench、LS-DYNA、nCode、Fluent、Maxwell）、DassultSystems（Abaqus、CATIA、PowerFLOW、CSTStudioSuite）、Altair（HyperMesh、OptiStruct、EDEM、PBS）、MSC和Siemens为主的局面[11]。国产有限元仿真软件少，投入商用的更少。学生在进行复杂几何模型计算机数值分析时，要想熟练使用这些全英文软件，需要掌握英文专业术语，才能查看英文材料获得第一手信息。如使用Abaqus时，其帮助文件提供了从基础理论到工程实践过程的综合性文件，提供原始的理论模型，能够详尽地解释有限元理论所涉及的数学、力学及建模过程的原理，英文原版资料降低了学生吸收错误知识的几率。

（2）阅读外文文献需求。目前，世界重要的期刊和前沿科技信息大部分是使用英文，有限元方法的发展过程和重要书籍也是外文资料。为了阅读、撰写和投稿，需要提升英文水平，引入双语教学后，课程专业术语得到积累，有利于形成关键字，便于查阅论文、网站资源，形成研究生的一项基本能力。

3.2 经典科技作品查阅和导读

想要学好有限元方法课程，只上一门课程或者只看一本书得到的知识是有限的，引入经典书籍和前沿科技论文的阅读，是拓展课程知识、学科视野、加深知识理解的重要途经。可以在课堂上选取部分章节学习，阅读作业可以作为平时成绩计入学科总成绩。如图3所示，给出部分经典的有限元书籍，除此以外，《AFirstCourseinFiniteElements》《TheFiniteElementMethod》《TheFiniteElementMethod：LinearStaticandDynamicFiniteElementAnalysis》《ComputingwithHp-adaptiveFiniteElements》和《EnergyandFiniteElementMethodsinStructuralMechanics》也是比较好的书籍，课程可以提供电子版的阅读材料。

3.3 引入具有专业特色的实际工程案例

由于计算机大规模计算能力的提升，有限元数值分析软件功能越来越强大，应用范围越来越广。以ANSYSWorkbench为例，可以对复杂机械系统的结构静力学、结构动力学、刚体动力学、流体动力学、结构热、电磁场及耦合场等进行分析模拟。有限元方法课程内容偏重于力学和数学理论基础求解，研究对象虽然是复杂几何变形体，但是实例的网格单元数有限，即使采用Matlab和ANSYS，也仅是门型框架结构、简单空间结构，距离具有庞大网格数量的实际工程结构的有限元分析存在较大的差距，学生学完课程后依然很难与实际工程项目建立联系。因此，课程引入复杂系统有限元分析实例，将有助于学生了解工程实际应用，掌握有限元方法在CAE分析中的作用。对于农业机械工程专业，课程可以重点引入与农业机械专业相关的有限元仿真过程，如利用ANSYSWorkbench实现全自动蔬菜穴盘苗移栽机栽植机构有限元仿真分析，如图4所示[12-15]。由于复杂系统的有限元分析计算对计算机配置要求高，数值计算所需时间长，因此这种分析过程在实验室或者课堂上通过事先录制视频的形式向学生展示，可以建立相应的视频库，开拓学生的视野和思路。

4 结束语

从课程存在问题分析、建立新的有限元方法课程理论教学内容体系、引入有限元方法教学改革新内容3个方面阐述了有限元方法课程的理论教学部分的内容与改革。系统地梳理了课程重点知识、整理了授课思路，采用符合知识学习规律的方式循序渐进地调整课程内容。同时引入双语教学、经典科技作品查阅和导读、计算机有限元数值计算软件的工程实际应用案例实现课程改革，实现课程内容的完善和补充。

改革后，授课内容重点突出、循序渐进，繁杂知识点得到了很好地梳理，学生思路清晰，克服了由于数学、力学基础知识不扎实而造成的听不懂现象，准确建立学科知识体系概念，清晰地明确课程在学科中的定位和工程应用中的作用。课程改革取得良好的教学效果，学生整体学习成绩上升。同时由于双语教学、经典外文书籍荐读，学生英语搜索、阅读、撰写和投稿水平得到提升，形成了研究生的一项基本能力。因此，改革有助于学生获得扎实的理论基础，具备工程分析、实践和解决实际问题的能力，具备前沿资料的查阅能力、国际化的视野，紧跟专业领域的发展趋势和科技发展的步伐，为将来开展更深层次的研究和行业工程应用打下坚实的基础。