物理教学中圆周运动临界问题教学探析

摘 要：高中物理圆周运动临界问题复杂且抽象，主要考查学生的受力分析及运用动力学基本定律的能力.在对此类问题进行求解的过程中，临界条件往往具有隐蔽性特征，学生需要对物体在圆周运动过程中所受各种力有深刻的理解，并运用相关定律进行准确分析.据此，文章分水平面、竖直面与斜平面三种情景，介绍圆周运动临界问题的解决方法，以提高学生运用所学知识解决物理问题的能力.

关键词：圆周运动；临界问题；水平面；竖直面；斜平面

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0104-03

收稿日期：2024-09-05

作者简介：梁远洪（1988.9—），男，贵州省黔西布依族苗族自治州人，本科，中小学一级教师，从事高中物理教学研究.

对于某一物体而言，在其从一种物理状态向另外一种物理状态转变的过程中，通常会有一个转折点，用以实现物理状态的过渡，而物体在该转折点的状态即临界状态，该转折点的物理条件被视作临界条件，但其通常相对隐蔽[1].在对临界问题进行求解的过程中，关键点在于寻找临界条件.通过观察可以发现，很多临界问题的题干中都会用到“恰好”“至少”“不脱离”等字眼，这是关于临界状态所给出的暗示，在审题的过程中，教师应重点对学生引导，让其将这些特殊字眼抓牢，在此基础上挖掘规律，进而确定临界条件.

1 水平面内圆周运动临界问题

一般情况下，可以对水平面内圆周运动的临界问题进行两大类型的划分[2].其一，相关于摩擦力，在两个不同的物体之间，摩擦力刚好达到最大值，这是它们不会出现相对滑动现象的临界条件.其二，相关于弹力，在两个不同的物体之间，弹力刚好为零，这是二者不存在压力与支持力的临界条件；对于一根绳子，刚好处于拉直状态且不存在弹力，这是其松弛与不松弛的临界条件，而绳上的拉力刚好达到其能够承受的最大值，这是其断与不断的临界条件.

例1 已知有一个转盘呈水平放置的状态，将质量分别为M与m的两个物块A与B放到该转盘上，并用一根长度为L的轻绳连接两个物块，其中，物块A和转轴之间的距离同样为L，如图1所示.设在物块与转盘之间，二者的最大静摩擦力是物块自身所受重力的n倍，当转盘处于静止状态之时，轻绳刚好为拉直状态，而在转盘不断加速转动的过程中，可以用图2来表示轻绳张力FT和转盘角速度平方ω2之间的关系.假设在转盘角速度平方ω2大于3ω21时，两个物块A和B会开始滑动，下面描述中正确的为（" "）.

A.L=F1mω21 B.L=F12mω21 C.n=2F1mg D.m=M

解析" 根据图2可以知道，在轻绳刚好存在张力之时，转盘角速度的平方取值为2ω21，在此状态下，物块B所受静摩擦力达到最大值，即nmg=m·2L·2ω21.在两个物块A和B正好要滑动之时，物块A所受静摩擦力达到最大值，此时转盘角速度的平方取值为3ω21.对于物块B来说，满足条件nmg+F1=m·2L·3ω21，联立求解可得n=2F1mg，L=F12mω21，因此A选项错误，B和C选项正确.对选项D的正误进行验证，当转盘角速度平方达到3ω21时，对于物块A来说，满足条件nMg-F1=M·L·3ω21，将n与L的值代入该式，可得M=2m，因此D选项错误.

例2 如图3所示，用两根绳子系住一个质量（用m表示）为100 g的小球，两根绳子的另一端分别系在竖直转轴上的A、B两点，上面的绳子长度（用l表示）为2 m，当两根绳子都处于拉直状态之时，上面绳子与竖直转轴的夹角为30°，下面绳子与竖直转轴的夹角为45°，请回答以下两个问题：

（1）如果想让两根绳子都张紧，需要将小球的角速度控制在什么范围之内；

（2）如果小球的角速度为3 rad/s，计算上、下两根绳子的拉力.

解析 （1）当转轴以一个比较小的角速度（用ω表示）转动时，两根绳子AC和BC与轴之间的夹角同样比较小，这时下面的绳子BC并不会达到张紧的状态；在小球角速度不断变大时，绳子与轴之间的夹角会不断变大，当BC与轴的夹角恰好变大到45°时才会被拉直（由此可以断定这是一个临界状态），不过此状态下BC绳的张力依旧为零.用ω1表示此时小球的角速度，有FACcos30°=mg，FACsin30°=mω21lsin30°，对两式进行计算，有ω1=2.4 rad/s.

在小球的角速度进一步变大的过程中，AC绳子的张力FAC会呈现出持续减小之势，对应地，BC绳子的张力FBC则越来越大.当FAC恰好减小到零时，会达到另外一个临界状态，假设此时小球的角速度为ω2，有FBCcos45°=mg，FBCsin45°=mω22lsin30°，对两式进行计算，有ω2=3.16 rad/s.所以，想让两根绳子都张紧，小球的角速度需满足2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.

（2）如果小球的角速度为ω=3 rad/s，结合上面分析可知此时FAC与FBC均不为零，进而有FACsin30°+FBCsin45°=mω2lsin30°，FACcos30°+FBCcos45°=mg，对两式进行计算，有FAC=0.27 N，FBC=1.09 N.

2 竖直面内圆周运动临界问题

竖直面内的圆周运动比较典型，属于变速圆周运动.在实际运动过程中，物体受力及其速度均会随位置的变化而不断变化[3]，对学生而言是学习的难点.在解题的过程中，需要对研究对象的实际受力及运动情况进行全面把握.在此基础上构建运动物理模型，多数情况下需分析物体在圆周运动过程中达到最高点时的运动状况[4]，并通过对动力学、功能关系以及动量观点等的综合运用完成问题的求解.

例3 如图4所示，有一小球从C点由起初的静止状态向下摆动，当到达最低点D时，绳子恰好断开，这时小球会从D点开始沿着粗糙的水平面做匀减速运动，当小球运动到A点时，会进入竖直放置的光滑圆弧轨道之中，此时，立刻将A点处的孔门关闭.已知小球摆动时绳子的长度（用L表示）为2 m，小球初始位置时绳子和OD之间的夹角（用θ表示）为60°，小球的质量（用m表示）为1 kg，DA之间的长度（用s表示）为2 m，圆弧轨道的半径（用R表示）为0.3 m，g取10 m/s2.请回答以下两个问题：

（1）绳子可以承受的最大拉力是多少；

（2）为了保证小球可以进入圆弧轨道且不会与轨道脱离，需要将水平面的摩擦因数μ控制在什么范围内？

解析 （1）小球由C点向下摆动到D点的过程中，根据机械能守恒定律得mgL（1-cosθ）=12mv2D ；小球到达D点时，根据牛顿第二定律得Fm-mg=mv2DL，对两式进行联立，代入题干各值求解，可得Fm=2mg=20 N.

（2）为了确保小球不会与轨道相脱离，有两个对应的临界条件：其一，小球恰能到达圆心等高位置；其二，小球恰好通过轨道的最高点.为了使小球顺利进入圆弧轨道，小球在运动到A点时需要满足条件vA≥0.在由D点向A点运动的过程中，根据动能定理得-μ1mgs=12mv2A-12mv2D，对两式进行联立，有μ1≤0.5.

其一，如果小球在刚进入圆弧轨道时速度较小，小球在运动到某一高度时速度减小为零.根据机械能守恒定律得12mv2A=mgh，此时满足条件h≤R，进一步结合动能定理，有-μ2mgs=12mv2A-12mv2D，联立求解，有μ2≥0.35.

其二，如果小球可以顺利通过圆弧轨道的最高点，根据牛顿第二定律有mg≤mv2R.小球由D运动到圆弧轨道最高点的过程，根据动能定理得-μ3mgs-2mgR=12mv2A-12mv2D，计算可得μ3≤0.125.综合上述分析，可以确定动摩擦因数μ的取值范围，即0.35≤μ≤0.5或μ≤0.125.

3 斜平面内圆周运动临界问题

相对于水平面和竖直面而言，倾斜平面内圆周运动问题难度更大，学生需要充分掌握力的合成与分解，清楚向心力的本质来源，在此基础上恰当运用等效方法和类比方法进行求解.

例4 如图5所示，倾斜角度为θ的光滑倾斜平面固定在水平面上，一根长度为L的轻绳，一端固定在倾斜平面上的O点，另一端系住质量为m的小球，使小球在光滑倾斜面内做圆周运动，假设小球可以通过圆周运动的最高点，请计算小球在最低点时的速度大小.

解析 本题与竖直面内的轻绳模型问题具有一定的相似性，因此可以考虑类比方法.基于此，可以将等效重力引入，按照图6所示方式对重力进行分解，有g′=gsinθ，此时类比竖直面内轻绳模型可知，小球通过圆周运动最高点的速度vA≥g′L，由动能定理得-2mg′L=12mv2A-12mv2B，解得vB≥5gLsinθ.

4 结束语

高中物理教学中，解答圆周运动临界问题时，教师应先引导学生判断问题情境属于哪一类临界问题，确定临界状态，明确临界条件；然后根据牛顿运动定律求解临界速度；最后将临界速度作为桥梁，与机械能守恒定律、动能定理等物理规律相综合，完成后续问题的解答.

参考文献：

［1］韩宗齐.高中物理圆周运动临界问题解题技巧[J].数理天地（高中版），2024（08）：36-37.

[2] 姜春香.水平面内圆周运动的临界问题分析[J].高中数理化，2023（Z2）：12-13.

[3] 丁海锋.动态研究竖直圆周运动一般位置的临界问题[J].中学物理，2022，40（07）：44-46.

[4] 靳云雷.圆周运动中临界问题常见题型分析[J].高中数理化，2023（18）：13-14.

［责任编辑：李 璟］