用m△v=F△t变式研究洛仑兹力作用下带电粒子运动的特点

何尧荣

摘   要：洛仑兹力是一个横向力，在洛仑兹力作用下带电粒子的运动一直是教与学的难点。本文试图从牛顿第二定律出发，比较严密地论证带电粒子的运动，以期在高中生的层面解决这一难点。

关键词：洛仑兹力;圆周运动;带电粒子

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2015）1-0036-3

1    单一洛仑兹力作用下的带电粒子的运动

1.1    带电粒子以一定的速度垂直进入匀强磁场

在xOy平面内有垂直于平面向内的、磁感应强度为B的匀强磁场，有一个质量为m、带电量为q的带电粒子，以v0的初速由O沿x轴正方向进入该磁场（如图1），经过时间t，到达P（x，y），速度为v，其沿坐标方向的分速度分别为vx和vy，则由牛顿第二定律可得：

图1  带电粒子垂直进入磁场

在此过程中，因为只有洛仑兹力的作用，洛仑兹力与速度时刻垂直不做功，由动能定理得：

代入整理得

可以得到轨迹方程是圆心（0，），半径R=的圆方程。

由此可见，洛仑兹力提供了粒子做匀速圆周运动的向心力

周期

2    带电粒子以与磁场方向成θ角进入磁场

在某一空间有一个沿y轴方向的、磁感强度为B的匀强磁场，有一质量为m、带电量为-q的粒子从O点，在yOz平面内沿与y轴成θ角进入该磁场区域（如图2），经过t时间，到达P（x，y，z），其沿x、y、z轴方向的分速度分别为vx、vy、vz。

图2   带电粒子与磁场方向成θ角进入

max=Bqvzmay=0maz=-Bqvx

方程两边同乘Δt，并连续求和得：

由于只有洛仑兹力作用，洛仑兹力与速度时刻垂直，由动能定理得：

在垂直于B的平面（xOz）内做速率为v0sinθ，圆心为（R，0），半径R=的圆周运动，并沿y轴方向做速度vy=v0cosθ的匀速直线运动，即做等螺距的螺旋线运动。

3     洛仑兹力和恒力共同作用下的带电粒子的运动

在xOy平面内有垂直于平面向内的、磁感应强度为B的匀强磁场和y轴负方向的电场强度为E的匀强电场（如图3），质量为m、带电量为q的带电粒子以v0的初速由O点沿x轴正方向进入该正交的电磁场，设经过时间t后，到达P（x，y），速度变为v，其沿坐标方向的分速度分别为vx和vy，则由牛顿第二定律可得：

图3  洛仑兹力与恒力共同作用

方程两边同乘Δt，并求和得：

由动能定理得

代入整理得：

这个方程整体是个圆方程，其半径

R=  ，速度v'=v  -  的匀速圆周运动，其圆心O'坐标x0'=  ty0'=

圆心在以特定速度v特=  沿平行于x轴正方向做匀速直线运动。综合起来就是带电粒子以速率v'=v0-  绕圆心（xO′，yO′）做匀速圆周运动，圆心以v特=  沿平行于x轴正方向做匀速直线运动，其轨迹是条滚轮线。

1）若v0>  时，匀速圆周运动的线速度v'=v0-  >0，粒子沿逆时针方向转动，将向y轴正方向偏离x轴，经过时间t=n  +  时，离x轴的最大距离为Y=  ，速度变为平行于x轴，大小为v''=2  -v0;经过时间t=n  时，粒子回到x轴，速度方向沿x轴正方向，大小变为v0，其沿x轴方向的位移为：

2）若v0<时，匀速圆周运动的线速度v'=v0-<0，粒子沿顺时针方向转动，将向y轴负方向偏离x轴，经过时间t=n+时，离x轴的最大距离为Y=，速度变为平行于x轴，v''=2-v0;经过时间t=n时，粒子回到x轴，速度方向沿x轴正方向，大小变为v0，其沿x轴方向的位移为：

4    实例分析

（2013福建高考）如图4甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m、电量为q（q>0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。

图4  带电粒子在磁场、电磁复合场中运动

①若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A（a，0）点，求v1的大小;

②已知一粒子的初建度大小为v（v>v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值;

③如图4乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。

分析与解

图5 带电粒子轨迹示意图

①因粒子沿y轴正方向垂直进入磁场，粒子将绕圆心（R，0）顺时针方向做匀速圆周运动，经过x轴的坐标为x=2R1，故由题意可得：

②因为v>v1，R2>R1

要使粒子经过A点，圆心必须在OA的垂直平分线上sinθ=。

方向有两个，与x轴正方向的夹角分别为

③粒子以v0的初速度沿y轴正方向进入正交的电场和磁场区域后，经过t时间到达P（x，y），速度变为v，其沿x、y轴的分量分别为vx，vy。则由牛顿第二定律可得

max=Bqvymay=qE-Bqvx方程两边同乘Δt，并求和得：

mvx=Bqym（vy-v0）=qEt-Bqx

由动能定理得：

，只要v取最大值，v取最大值。

参考文献：

[1]廖忠福.例析洛仑兹力的分解问题[J].物理教学探讨，2010，（7）：50.

[2]陈霞.带电粒子在复合物中的旋转律运动分析[J].物理教学探讨，2011，（1）：47.

（栏目编辑  罗琬华）