苏教版高中数学三角函数解题中辅助角公式的应用剖析

摘 要：文章首先概述了辅助角公式的基本概念，随后详细探讨了其典型应用，针对辅助角的选取原则、常见转换方法及与其他三角恒等式的结合运用.通过系统地分析与总结，帮助学生更好地掌握辅助角公式，提高解决三角函数相关问题的能力.

关键词：苏教版；高中数学；三角函数；辅助角

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0095-03

收稿日期：2024-09-05

作者简介：唐佳俊（1981.2—），男，江苏省泰州人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

三角函数作为高中数学课程的重要组成部分，其应用范围广泛，解题方法多样.在众多解题技巧中，辅助角公式无疑是一把锐利的“尖刀”，能够有效简化复杂的三角函数表达式，为解题开辟一条捷径.然而，对于许多高中生而言，辅助角公式的灵活运用仍是一个难点.如何准确把握辅助角公式的本质，在何时何地巧妙运用这一利器，成为困扰学生的难题.本文立足于苏教版高中数学教材，着眼于辅助角公式在三角函数解题中的实际应用，旨在为学生提供一份详尽而实用的指南.

1 高中数学三角函数解题中辅助角公式概述

辅助角公式的本质是将复杂的三角函数表达式转化为更为简洁的形式，使原本晦涩难懂的问题豁然开朗.

辅助角公式的基本形式为acosα+bsinα=

（a2+b2）·cos（α-φ），其中φ=arctan（b/a）.这个看似简单的公式，蕴含着深刻的几何意义和代数变换，它巧妙地将两个三角函数的和转化为单一的余弦函数，不仅简化了表达式，还为进一步运算和分析铺平了道路.在苏教版高中数学教材中，辅助角公式被赋予了重要地位，它不仅是解决复杂三角函数问题的有力工具，更是培养学生数学思维、提高解题能力的重要载体.

2 辅助角公式在高中数学中的典型应用

2.1 化简复杂三角函数表达式

在高中数学的三角函数解题中，化简复杂的三角函数表达式是一个常见且重要的步骤.辅助角公式在这一过程中扮演了关键角色.

例1 已知f（x）=3sin2x+2cos2x+m（m∈R），

（1）求函数f（x）的取值范围；

（2）求函数的最小值.

分析 （1）求函数f（x）的取值范围，首先分析3sin2x，由于sin2x的取值范围是［-1，1］，所以3sin2x的取值范围是［-3，3］.

其次分析2cos2x，由于cos2x的取值范围是［0，1］，所以2cos2x的取值范围是［0，2］.

因此f（x）=3sin2x+2cos2x+m（m∈R）的取值范围是［m-3，m+3+2］.

（2）要找到函数的最小值，需要同时考虑

3sin2x和2cos2x的最小值.

因为3sin2x的最小值为-3，2cos2x的最小值为0，所以，函数f（x）的最小值为f （x）min=-3+0+m=m-3［1］.

因此函数f （x）的最小值是m-3.

通过这一过程，我们成功地将复杂的三角函数表达式转化为一个较为简单的形式，便于进一步分析和计算.这一应用不仅展示了辅助角公式的威力，也体现了数学中化繁为简的美妙之处.

2.2 解三角函数的最值

在解三角函数的最值问题中，辅助角公式同样是一种强有力的工具.通过将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，我们可以更容易地找到其最大值或最小值.下面以一个具体例子来说明这一过程.

例2 若函数y=2sinx+acosx+4的最小值为1，则实数a=.

分析 已知其最小值为1，我们需要求出常数a.

首先，使用辅助角公式将y=2sinx+acosx+4转化为一个简单的形式.设A=2和B=a，则

2sinx+acosx=A2+B2sin（x+φ），

其中，φ=arctan（BA）=arctan（a2）.

因此，原表达式可以改写为

y=4+asin（x+φ）+4.

由于sin（x+φ）的取值范围为[-1，1]，我们可以进一步分析y的取值范围，即a=5.

通过这一例子，我们可以看到辅助角公式在解三角函数最值问题中的应用，将复杂的三角函数表达式转化为一个简单的形式，不仅使求解过程更加直观和容易，还能有效地提高解题效率和准确性.

2.3 函数图象的变换

函数图象的变换是高中数学的重要内容之一，通过图象变换，我们可以更直观地理解函数的性质.辅助角公式在这一过程中也有着广泛的应用.下面通过一个具体例子来分析函数图象的变换.

例3 设f（x）=23sin（π-x）sinx-（sinx-cosx）2，

（1）求f（x）的单调递增区间和对称中心与对称轴；

（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（π6）的值．

分析 （1）因为sin（π-x）=sinx，

所以f（x）=23sin2x-（sinx-cosx）2

=23sin2x-（sin2x-2sinxcosx+cos2x）

=23sin2x-（1-2sinxcosx）

=23sin2x-1+2sinxcosx.

由于sinxcosx=12sin2x，

所以f（x）=23sin2x-1+sin2x.

通过求导法可以进一步分析其单调递增区间：

f ′（x）=43sinxcosx+2cos2x，

解f ′（x）=0可以找到临界点，从而确定单调递增区间.

对称性方面，函数f（x）具有周期性和对称性.可以分析发现其对称中心和对称轴.

（2）将y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即x→x2.即y=f（x2）.

再将图象向左平移π3个单位，即x→x+π3.

即y=f（x+π/32）=f（x2+π6）.

所以g（x）=f（x2+π6）.

所以g（π6）=f（π6×12+π6）=f（π4）［2］.

将x=π4代入原函数f（x）即可得到g（π6）的具体值.

通过以上分析，可以看出辅助角公式和函数图象变换在理解和解决三角函数问题中的重要性.

3 辅助角公式的解题技巧与方法

3.1 辅助角的选取原则

在运用辅助角公式解题时，选择合适的辅助角至关重要.通常情况下，我们应优先考虑能够简化表达式、突出重点信息的角度.选取辅助角时，要着眼于化繁为简，使原本复杂的问题更加直观明了.同时，辅助角的引入应尽量避免出现冗余或无关的信息，以免增加不必要的计算量.3.2 常见的辅助角转换方法

在三角函数解题中，我们常常需要在不同的角度表示之间进行转换，这时就需要运用一些常见的辅助角转换方法.例如，利用倍角公式将简单角度转化为复杂角度，或反之利用半角公式将复杂角度化为简单角度.同时，我们还可以借助和差化积、积化和差等恒等变换，实现不同角度表示之间的相互转化.在具体运用时，我们要根据问题的特点和需要，选择恰当的转换方法.灵活运用各种辅助角转换技巧，能够帮助我们简化问题、拓展思路，提高解题效率和准确性.此外，在转换过程中，我们还要注意条件的等价性，确保转换前后表达式的一致性.

3.3 结合其他三角恒等式的应用

辅助角公式的威力固然强大，但在实际解题中，我们往往需要将其与其他三角恒等式相结合，发挥协同效应.例如，在化简复杂三角函数表达式时，我们可以先运用辅助角公式将其转化为简单形式，再利用其他恒等式如倍角公式、降幂公式等进一步化简.在求解三角函数方程时，我们可以先引入辅助角将方程转化为相对简单的形式，再结合其他恒等关系求解.总之，灵活运用辅助角公式与其他三角恒等式的组合，能够发挥各自的优势，取长补短，提高解题的效率和质量.这就要求我们在学习过程中，不仅要深入理解每一个公式和恒等关系，更要注重它们之间的内在联系，培养融会贯通、灵活运用的能力.

4 结束语

辅助角公式作为高中数学三角函数解题的重要工具，其应用贯穿于方方面面.通过深入剖析辅助角公式在苏教版高中数学中的典型应用，我们可以看到，无论是化简复杂三角函数表达式、解三角函数最值问题，还是探究函数图象的变换，辅助角公式都能发挥其独特的优势，为解题提供便捷高效的途径.然而，辅助角公式的运用绝非一蹴而就，它需要我们在深刻理解其内在原理的基础上，掌握灵活多变的解题技巧与方法，选取合适的辅助角、运用恰当的转换方式，并将辅助角公式与其他三角恒等式相结合，这些都是我们在解题实践中需要不断探索和积累的宝贵经验.作为教育工作者，我们要以开放的心态、严谨的态度来对待辅助角公式的教学和应用.

参考文献：

［1］吴贵铎.创设问题导引激活课堂思维：以三角恒等变换教学为例[J].高中数理化，2016（02）：20-21.

[2] 余玚.上海高一学生三角函数学习的SOLO水平调查研究[D].上海：华东师范大学，2015.

［责任编辑：李 璟］