一道试题的错解所引发的探究

摘 要：文章对一道试题的错解展开探究，探求错解的原因，得到两个一般性的结论及相应的应用，以此说明数学解答严谨的重要性.

关键词：严谨性；错解；三角最值；均值不等式

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0018-04

收稿日期：2024-09-05

作者简介：林国红（1977—），男，广东省佛山人，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

数学的严谨时刻体现在知识的运用和解决问题中，若轻视数学的严谨性，往往在解决数学问题时，会导致解答的过程失之严密完整，产生遗漏甚至错误的结果[1].本文对一道试题的错解展开探究，探求错解的原因，并给出正解的结论及相应的应用.

1 探究的缘由

最近在阅读某中学数学期刊时，发现一篇文章对一道三角函数的试题进行了研究，并在试题的基础上进行推广，得到一个性质.以下是试题与性质及其原解答过程.

试题 已知0lt;x，ylt;π2，求8sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值.

解析" "由基本不等式及柯西不等式得，

8sin2x+1cosxcos2ysin2y

≥1cosx［（cos2y+sin2y）/2］2+8sin2x

=8sin2x+4cosx

≥（22+2）2sin2x+cosx

=12+821-cos2x+cosx

=12+82-（cosx-1/2）2+5/4

≥12+825/4

=48+3225，

当cosx-12=0，即x=π3时取等号.

故8sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值是48+3225.

性质 已知0lt;x，ylt;π2，a，bgt;0，则asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是45（a+2b）2.

证明 由基本不等式及柯西不等式，得

asin2x+bcosxcos2ysin2y

≥

bcosx［（cos2y+sin2y）/2］2

+asin2x

=asin2x+4bcosx

≥（a+2b）2sin2x+cosx

=（a+2b）21-cos2x+cosx

=（a+2b）2-（cosx-1/2）2+5/4≥（a+2b）25/4

=45（a+2b）2.

所以asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是45（a+2b）2，当且仅当cosx-12=0，即x=π3时取等号.

上述解法巧妙，引起笔者的兴趣，对此进行探究，发现试题与性质的解法有误，所得的结果（结论）也不对！笔者分析其错误原因，并修正其结果（结论）.特意成文，与读者分享.

2 错解剖析

原解答利用基本不等式、柯西不等式及配方法进行多次放缩，粗看思路清晰，解法巧妙，似乎正确，但其实在放缩过程中没有注意各个取等条件的一致性，导致解答出现错误！

（1）试题的解答中第二个不等号成立的条件是22sin2x=2cosx，第三个不等号成立的条件是cosx=12，即x=π3.但当x=π3时，22sin2x≠2cosx，即两处不等号的取等条件不一致，所以原解法有误，8sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值不是48+3225.

（2）性质的证明中第二个不等号成立的条件是asin2x=2bcosx，第三个不等号成立的条件是cosx=12，即x=π3.但当x=π3时，asin2x与2bcosx不一定相等，即两处不等号的取等条件可能不一致，所以原解法有误，所以asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值不一定是45（a+2b）2.

因而原解答的“巧解”不一定是正解.

3 两个结论

试题与性质的原解法有误，那么试题有最小值吗？若有，又该如何解答？

经探究，可得到以下两个结论：

结论1 若0lt;x，ylt;π2，a，bgt;0，则asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是2ak0+334b2k0-k0（其中k0是关于k的方程ak+34b2k2=1的根）.

证明 由均值不等式，得

asin2x+bcosxcos2ysin2y≥

bcosx［（cos2y+sin2y）/2］2+asin2x=asin2x+4bcosx，

当且仅当siny=cosy，即y=π4时，等号成立.

由0lt;xlt;π2，则sinxgt;0，cosxgt;0.

设kgt;0，令M=asin2x+4bcosx，由均值不等式，得

M=asin2x+4bcosx=（asin2x+ksin2x）+（2bcosx+2bcosx+kcos2x）-k≥2ak+334b2k-k，

当且仅当asin2x=ksin2x，2bcosx=kcos2x， 即sin4x=ak，cos3x=2bk时，等号成立.即sin2x=ak，cos2x=34b2k2.

所以ak+34b2k2=1.

令f（k）=ak+34b2k2-1，agt;0，bgt;0，kgt;0，则f（k）在（0，+SymboleB@）单调递减.

又f（a）=34b2k2gt;0，且当k→+SymboleB@时，f（k）→-1.

故由零点存在性定理，可知存在唯一的k0gt;0，使得f（k0）=ak0+34b2k20-1=0，即关于k的方程ak+34b2k2=1有唯一的正实数根k0.

所以asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是2ak0+

334b2k0-k0（其中k0是关于k的方程ak+34b2k2=1的根）.

评注 在结论1中，令a=8，b=1，则得8sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值是42k0+334k0-k0（其中k0是关于k的方程8k+34k2=1的根，k0≈14.76），这正是原试题的结果.且由结论1可知，若关于k的方程ak+34b2k2=1没有有理根，是很难求出asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值的，所以原试题不适合用于考试.

结论2 若0lt;x，ylt;π2，a，bgt;0，且a=9b，则asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是20b.

证明 由基本不等式及柯西不等式得，

asin2x+bcosxcos2ysin2y=9bsin2x+bcosxcos2ysin2y

≥9bsin2x+bcosx［（cos2y+sin2y）/2］2

=9bsin2x+4bcosx

≥（3b+2b）2sin2x+cosx

=25b-（cosx-1/2）2+5/4

≥25b5/4=20b.

当且仅当3bsin2x=2bcosx，cosx=12，siny=cosy， 即x=π3，y=π4时，等号成立.

所以asin2x+bcosxcos2ysin2y的最小值是20b.

4 两个结论的应用举例

事实上，形如结论1或者结论2（a，b取特殊值）的试题在竞赛中较为常见，常考常新.

例1 （2022 年全国高中数学联赛山东赛区预赛第10题）已知0lt;x，ylt;π2，则9sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值是.

解析 由基本不等式及柯西不等式，得

9sin2x+1cosxcos2ysin2y

≥9sin2x+1cosx［（cos2y+sin2y）/2］2

≥9sin2x+4cosx

≥（3+2）2sin2x+cosx

=25-（cosx-1/2）2+5/4

≥255/4=20，

当且仅当3sin2x=2sinx，cosx=12，siny=cosy 即x=π3，y=π4时取等号.

所以9sin2x+1cosxcos2ysin2y的最小值是20.

评注 显然，例1就是在结论2中，取a=9，b=1的情形.

例2 （2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛第10题）设x∈（0，π2），则函数y=2254sin2x+2cosx的最小值为.

解析 由x∈（0，π2），所以sinxgt;0，cosxgt;0.

设kgt;0，则

y=2254sin2x+2cosx=（2254sin2x+ksin2x）+（1cosx+1cosx+kcos2x）-k≥15k+33k-k，

其中等号成立当且仅当2254sin2x=ksin2x，1cosx=kcos2x

sin4x=2254k，cos3x=1ksin2x=152k，cos2x=13k2，此时152k+13k2=1.

设1k=t6（tgt;0），则2t4+15t3-2=（2t-1）（t3+

8t2+4t+2）=0，解得t=12.

注意到sin2x=152klt;1，cos2x=13k2lt;1， 可知t=12满足条件.故当t=12，即k=1t6=64时，等号成立.

所以y=2254sin2x+2cosx的最小值为1564+

3364-64=68.

评注 例2的解答过程实际上与结论1的证明中求M=asin2x+4bcosx的最小值是一致的.

5 试题的变式

原试题还可进行相应的变式.

例3 "（2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试题第17题）设x，y∈（0，π2），则1cos2x+1sin2xcos2ysin2y的最小值为.

解析 由基本不等式及柯西不等式，得

1cos2x+1sin2xcos2ysin2y

≥1cos2x+1sin2x［（cos2y+sin2y）/2］2

=1cos2x+4sin2x

≥（1+2）2cos2x+sin2x=9，

当且仅当siny=cosy，1cos2x=4sin2x， 即y=π4，x=arctan2时，等号成立.

评注 例3能否推广得到类似结论1的结论？这些留给感兴趣的读者自行探索.

6 结束语

解题要反思，对于发现的错题（错解），也不要轻易放弃，如果能充分挖掘错题（错解）的教育功能，对于调动学生的学习积极性，培养他们思维的严密性和批判性都将起到很好的作用.对于解答中出现的不同结果，要学会区别和联系，明辨是非和方向，深入剖析错解的根源，引导学生从多角度进行深度思考问题.此外，还应该对错题（错解）进行修正，重新开发利用，使其变废为宝.

参考文献：

［1］林国红.缜密思维严谨答题：以一道判断三角形形状的问题为例[J].数理化解题研究，2023（01）：50-52.

［责任编辑：李 璟］