关于圆锥曲线问题的易错点的解析探究

[摘 要] 探究圆锥曲线问题的易错点具有极高的教学意义，有助于学生深刻理解知识，规范解题思路，完善知识体系. 研究者对圆锥曲线问题的易错点进行了深入分析，并结合具体实例进行了详细探讨，同时据此提出了针对性的教学建议.

[关键词] 圆锥曲线;易错点;讨论;位置关系

作者简介：陈其楼（1982—），本科学历，高级教师，从事高中数学教学与研究工作.

探究综述

圆锥曲线作为高中数学的重点知识之一，在历年的高考试卷中均占有较高的分值，涵盖的知识点众多，既包括一般性的基础知识点，也涉及选拔性的复杂知识点. 探究解析时需要教师引导学生全面总结归纳，关注其中的难点和易错点. 建议结合实例开展易错点的解析探究，引导学生清晰地识别易错点的知识基础，并掌握相应的处理技巧，以形成有效的解析策略.

圆锥曲线问题中存在众多易错点，导致解析错误的情况多种多样，其中常见的有以下三类：

一是忽略了直线与双曲线相交的特殊性. 例如，当直线与双曲线相交时，虽然看似直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，但实际上，直线可能与双曲线的同一支有两个交点.

二是忽略了直线与抛物线特殊的位置关系. 在问题中，如果未明确指出两者的位置关系，那么就需要依据给定的条件进行判断.

三是忽略了对直线斜率是否存在的讨论. 在处理圆锥曲线问题时，如果未明确指出直线斜率是否存在，那么必须考虑直线斜率不存在的情况，而不能直接假定其存在.

解读指导

由于圆锥曲线问题中存在众多易错点，因此在探究复习时，教师应重点指导学生，详细解读这些易错点，并指导他们掌握这些问题的解决方法.

易错点1 忽略了直线与双曲线相交的特殊性.

直线与双曲线相交的特殊性容易被忽略.直线与双曲线的综合是数学中一个常见的问题类型，它们之间存在三种基本的位置关系：相交、相离和相切. 在解答这类问题时，学生往往会错误地判断相交的情况，特别是当直线与双曲线只有一个交点时，容易漏解或误解.

根据直线方程与双曲线方程联立并整理所得的方程ax2+bx+c=0的判别式Δ的符号可以直接判断直线与双曲线的位置关系：若a≠0，Δ>0，直线与双曲线相交，且有两个交点;若a=0，Δ>0，则直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点;若a≠0，Δ=0，则直线与双曲线相切，有且只有一个交点. 综合上述情况，教师必须指导学生关注直线与双曲线仅有一个交点的情形，即a=0，Δ>0或a≠0，Δ=0. 此外，在解题指导时，可以融入数形结合思想，借助直观的图形来辅助学生进行思考.

例1 过点（0，-1）且与双曲线-=1有且只有一个公共点的直线有（ ）条.

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

易错点分析 本题探究的是过点（0，-1）且与双曲线-=1有且只有一个公共点的直线有几条，解题时容易忽略与双曲线渐近线平行的情形. 直线与双曲线有且只有一个公共点，分为直线与双曲线相切和与渐近线平行两种情形.

过程解析 根据双曲线-=1，可得其渐近线的方程为y=±x.

情形1：该直线过定点（0，-1），且与双曲线的渐近线平行，则存在两条直线，分别为y=x-1，y=-x-1.

情形2：该直线过定点（0，-1），且与双曲线相切，可设直线方程为y=kx-1.联立直线与双曲线的方程，则有y=kx-1，

-

=1，整理可得（9-4k2）x2+8kx-40=0，Δ=（8k）2+4×40×（9-4k2）=0，解得k=±. 所以，切线方程为y=x-1或y=-x-1.

综上可知，过点（0，-1）且与双曲线-=1有且只有一个公共点的直线有4条，答案为D.

解后反思 在探讨直线与双曲线仅相交于一点的情况时，学生容易忽略a=0，Δ>0的情形，从而导致解题遗漏. 因此，在探究式教学中，教师应借助图形辅助教学，引导学生深入理解特定情境，并在解题过程中重视对问题条件的分析，给予针对性的指导.

易错点2 忽略了直线与抛物线特殊的位置关系.

在探讨直线与抛物线的位置关系时，学生容易忽略一个特殊情形：当直线与抛物线的对称轴平行时，它们仅有一个交点. 在解题过程中，教师应特别强调学生密切关注此类情形，并留意交点个数.

例2 已知直线y=（a+1）x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点，则实数a的值为________.

易错点分析 本题求的是在确定直线与曲线仅有一个交点时，实数a的值. 曲线的形状依赖于a值，它可以是直线，也可以是抛物线. 在求解本题时，必须探讨a的取值范围，并特别留意直线与曲线对称轴平行的情形，即当a=-1时.

过程解析 由于a值决定曲线的具体形状，因此必须对其值进行详细讨论，具体如下.

当a=0时，曲线y2=ax为直线y=0，显然两直线不平行或重合，必然有唯一的公共点（1，0），满足条件. 因此，a=0.

当a≠0时，联立两者的方程，有y=（a+1）x-1，

y2=ax，整理可得（a+1）2x2-（3a+2）x+1=0. 对于该方程，需要讨论a值. 当a=-1时，解得x=-1，y=-1，直线y=-1与曲线y2=-x有唯一的公共点（-1，-1），满足条件. 所以，a=-1. 当a≠-1时，可应用二次函数的判别式确定其交点个数. 即Δ=（3a+2）2-4（a+1）2=5a2+4a=0，则a=-. 此时直线y=x-1与曲线y2=-x相切，有唯一的公共点，满足条件. 所以，a=-.

综上可知，实数a的值有三个，分别为0，-1和-.

解后反思 在探讨直线与曲线的位置关系时，需要注重两个核心要素：①若参数a的值不确定，则需要对其进行讨论;②解析过程中要重视思路的引导，即帮助学生清晰地理解不同情形下的构造方式，以及在这些情形下图象之间的关系.

易错点3 忽略了对直线斜率是否存在的讨论.

解决直线与圆锥曲线位置关系问题的常规思路是：先设定直线的方程，然后通过联立和整合方程，将其转化为根与系数之间的关系问题，便于后续用“设而不求”和“整体代换”的方法求解. 但在求解之前，必须先探讨直线的斜率是否存在.

例3 已知等轴双曲线C：-=1（a>0）的左、右焦点分别为F，F. 现过F的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4，试回答下列问题.

（1）求C的方程;

（2）若MN⊥FN，求MN.

易错点分析 本题探讨双曲线与直线相交形成三角形的情形，题设两问，其中第（2）问为垂直关系下求线段长的问题. 基本的解题思路是：根据题设条件绘制图象，联立直线与曲线的方程，通过“整体代换”求解. 容易618c544b823d7a0068dd4f4948978331忽略的一个情形为：直线l的斜率不存在.

过程解析 首先解读题设条件，根据曲线与直线的位置关系绘制如图1所示的图象.

第（1）问（简答）：C的方程为-=1.

第（2）问：先设直线l与C的右支的两个交点分别为M（x，y），N（x，y），其中x>0，x>0. 由第（1）问可知，F（-2，0），F（2，0）. 现讨论直线l的斜率是否存在.

当直线l⊥x轴时，此时直线l的斜率不存在，显然不满足MN⊥FN，因此这种情况不符合题意.

当直线l不与x轴垂直时，可设直线l的方程为y=k（x-2），与双曲线的方程联立后整理可得（1-k2）x2+4k2x-4k2-2=0，由韦达定理得x+x=，xx=. 因为=（x+2，y），=（x-2，y），MN⊥FN，所以·=x-4+y=（1+k2）x-4k2x+4k2-4=0①. 由xx=可得x=，将其代入x+x=，得x+x=+x=，整理可得（k2-1）x-4k2x+4k2+2=0②. 综合①和②，可得k2=7+4，所以MN=

x

-x==.

解后反思 本题的第（2）问为核心之问——设定垂直条件，求线段的长. 面对此问，学生容易直接设定直线的方程来求解，忽略掉直线斜率不存在的情况. 这种解题习惯显然是不正确的. 在教学过程中，教师应当引导学生掌握正确的解题步骤和规范的答题格式，以避免解答遗漏.

教学思考

探究圆锥曲线问题的易错点具有极高的教学意义，有助于学生深刻理解知识，规范解题思路，完善知识体系. 尽管忽略一些易错点可能不会影响后续的答案，但培养良好的解题习惯对学生思维的塑造极为有益. 以下是一些教学建议.

建议1 重视易错点的解读，加强知识理解.

圆锥曲线问题的易错点较多，部分内容不易理解，教学中教师应针对性地引导学生深入探究易错点背后的原理，以充分整合知识，确保学生能够透彻理解. 以直线与双曲线的相交为例，可以通过分析参数a的取值和Δ的符号，判断交点情形.

建议2 重视易错点的指导，强化思路分析.

在探究易错点时，建议通过结合具体实例来加强指导和强化理解. 这意味着要针对易错点精选问题，引导学生深入分析解题思路，并深刻理解这些易错点，随后再进行解题策略的指导. 这一过程一般分为以下三步：第一步，解析问题，剖析条件;第二步，关注易错点，讨论思考;第三步，把握易错点，构建思路，转化求解.

建议3 重视易错点的反思总结，拓展发散思维.

在解题教学中，鉴于考题种类繁多且易错情形各异，教学过程难以全面覆盖所有细节，因此需要教师引导学生在解题后进行适度的反思与总结，以识别易错点的根本原因. 通过合理拓展和变式探究，激发学生的思维发散，从而增强他们解题的灵活性.

写在最后

圆锥曲线问题的易错点应当成为复习备考时讲解的重点. 为此，可以设立专门的易错点探究专题，引导学生明确易错点，深入挖掘错误的根源，整理出清晰的解题思路和正确的解题步骤，从而形成有效的解题策略.