例谈整体思维在高中数学解题中的实践探究

[摘 要] 整体思维是高中阶段较为重要的数学思想方法，将其合理地运用于解题过程中，不仅能达到化繁为简、化难为易的功效，还有助于学生形成整体意识，培养从全局考虑问题的习惯. 在日常解题中，学生不仅要关注局部，更要把握整体，妥善处理整体与局部之间的关系，以有效揭示问题的核心本质，从而提升解题技巧并培养数学素养.

[关键词] 整体思维;整体意识;数学素养

作者简介：崔冬林（1982—），硕士研究生，中学高级教师，从事高中数学教学工作.

高中数学知识具有高度的抽象性、密集性以及严密的逻辑性，要学好高中数学，不仅要关注局部，更要把握整体. 然而，在日常教学实践中，特别是在有限的课时内，教师和学生往往将大部分精力投入到对单一知识点的讲解与学习上，而忽略了知识、思想和方法之间的内在联系. 这种做法导致学生对知识的理解和掌握变得零散和碎片化，进而影响了他们将知识应用于实际问题解决的能力培养. 在解决复杂问题时，我们通常会将其拆解为若干简单的局部，以达到简化问题的目的. 然而，这些局部并不代表问题的全部，需要将这些分解的片段依据一定的逻辑关系重新组合，形成一个统一的整体. 这样做有助于学生从整体的角度把握问题的核心，提升他们分析和解决问题的综合能力. 笔者通过具体实例探讨整体思维在高中数学解题中的运用. 若有不足，请大家指正.

整体对比，凸显变化

在高中数学教学中，经常会出现“一听就懂，一做就错”的情况，究其原因是学生对知识的理解不够深刻，不关注解题细节，一看到似曾相识的问题时，就盲目地套用公式或方法，从而引发了错误. 从学生思维的角度来分析，可以发现，部分学生在解题时往往表现出一种机械性的思维模式. 他们倾向于将解题思路局限于特定的题目，而未能超越具体案例，发展出适用于一类问题的通用解题策略. 这实际上反映了他们缺乏对一类问题的整体性思维能力. 面对这种情形，仅仅依赖机械性的重复训练，或者通过不同类型题目的训练来培养学生的思维，其效果是相当有限的. 最佳的方法是引导学生在解题时有意识地分析解题思路，并通过这一过程培养出解题思维. 具体来说，在习题教学中，教师应提倡整体对比，渗透特殊与一般的数学思想方法，引导学生更加全面地理解知识. 从教学经验的角度来看，“特殊”与“一般”是相辅相成的，在具体题目解决过程中所形成的解题思维通常为“特殊”思维，而“一般”思维则体现在对一类问题的通用方法的理解和应用上. 因此，在具体题目的求解教学中，引导学生领悟解题思维的“特殊”之处，然后向“一般”迁移，有助于学生在整体对比中认识到整体思维的重要性，从而为整体思维的发展打下坚实的基础.

例1 已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2-1，g（x）=logx，试求函数h（x）=f（x）+g（x）的零点个数.

分析 已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），由此可知该函数是以2为周期的周期函数. 画出函数f（x）和g（x）的图象，根据数形结合很容易得到h（x）的零点个数为2. 虽然通过图象观察来解决问题看似简单直观，但图象在激发思维的同时，也可能在某种程度上限制学生的思维发展. 例如，将题目变一变——将函数g（x）=logx的底数“3”改成“1.1”，即改成g（x）=logx，如果在解题过程中仅限于使用图象来分析问题，可以观察到图象的趋势保持不变，那么结果是否也会保持不变呢？我们不妨回归到一般形式，将g（x）的底数用参数a来替代，即研究当g（x）=logax（a>1）时，h（x）的零点个数是否为2. 在教学中，教师鼓励学生以小组为单位共同探究这一问题，学生通过互动交流给出了如下解题过程：h（x）=x2-1-logax（a>1），h′（x）=2x-，故1<a≤时，h′（x）≤0. 所以，h（x）在（0，1]上单调递减，可得当x∈（0，1]时，h（x）≥h（1），即当x∈（0，1]时，x2-1≥logax. 由此可知，当1<a≤时，h（x）的零点个数为1.

在上述示例中，通过让学生进行比较，我们能够认识到，仅凭直观观察得出的结论并不总是可靠的，必须借助数据进行进一步的验证. 在这一教学过程中，教师指导学生将问题抽象化，促使学生从更宏观的角度分析和解决问题，从而有效地培养学生的整体思维能力. 在解决问题之后，教师可以运用几何画板进行演示，通过不断调整参数a，让学生直观观察到随着底数的变化，零点个数是如何变化的. 这种做法能有效地减轻数学的抽象性，有助于学生获得全面的直观理解，并激发他们的数学学习兴趣. 不过，值得注意的是，几何画板的主要作用在于为学生提供直观感受，在具体实施过程中，仍然需要借助代数方法进行分析、推理和论证. 通过“数”与“形”的有机结合，学生能够获得更全面和直观的理解，从而有效地培养他们的整体思维能力，并促进数学素养的发展.

整体入手，以静制动

随着新课程改革的推进，培养学生的数学思维能力已成为数学教学的核心目标. 在高中数学教学过程中，恰当运用动静转换的策略，能够更有效地发挥出解决问题的整体性优势，从而增强学生的整体意识. 动静转换已成为众多高中数学试题的考查重点，旨在评估学生是否能清晰地构建基于数学知识的动态概念，并能运用精确且逻辑严密的数学语言来描述这些概念. 面对需要结合动静思维解决的数学问题，学生通常需要在整体思维的引导下，深入挖掘题目信息，以便在已知信息与待解决问题之间建立完整的理解. 随后，在动静转换的过程中找到问题的解决之道. 特别是，以静制动的策略在处理相关问题时显得尤为重要，它要求学生能够从变化的动态信息中提取出恒定不变的要素，从而有效地解决问题.

例2 已知数列{a}各项均为正数，其前n项和为S，若对于任意n∈N*，Sn=恒成立，求a.

分析 例2是学生比较熟悉的一个问题，其求解思路简单：由2Sn=a+ n可得2Sn-1=a+n-1（n≥2），两式作差并化简得a-a=1或a+a=1. 令n=1，2，解得a=1和a=2，因此a-a=1，a+a=3. 在这里，部分学生得到a+a=3，发现与a+a=1不相符，认为a+a=1不成立，进而直接将其舍去. 显然，直接将其舍去是错误的. 他们之所以会犯下这个错误，是因为未能全面地把握整体情况，即对逻辑连接词“或”的理解不够充分：这里不是“对于任意n∈N*，都有a-a=1”或“对于任意n∈N*，都有a+a=1”，而是“对于任意n∈N*，都有a-a=1或a+a=1”. 这样要证明a+a=1恒不成立，仅凭两个特值显然是不具说服力的，而是需要证明不存在任何n值使a+a=1成立. 若想证明这一结论，直接从正面着手可能难以找到解决问题的切入点，不如使用反证法来证明：由于a+a=3，不妨设n（n>2）是满足a+a=1的. 由于a+a=1，且各项为正整数，所以a∈（0，1），而a-a=1，所以a为负数. 显然其与已知条件相矛盾，所以该假设不成立. 因此，该数列只满足a-a=1（n≥2），由此可得a=n.

从已知条件出发不难发现，数列{a}的项在变化，因此，想要解决这一问题，就需要在变化中寻找不变，充分体现以静制动的思想方法. 动与静既相互联系，又相互制约.在解决动静问题时，要跳出局部的束缚，从整体视角分析和处理它们之间的联系，以此顺利地解决问题.

整体运算，化繁为简

整体运算是高中数学思维的关键组成部分，它主要依据数学表达式的结构特点来进行综合运算，以此达到简化复杂问题的目的，有效提升解题效率. 从数学学科核心素养的培养视角来看，数学运算构成了学科核心素养的关键要素，而这一核心素养的培养与数学问题解决过程中所运用的整体思维紧密相关. 若能在解决数学问题时，引导学生运用整体运算来构建对问题的宏观理解，通常能够帮助学生在解决问题时化繁为简，从而在解决运算难题的过程中促进学生整体思维的发展，进一步培养学生的数学运算能力.

例3 如图1所示，点A，B是椭圆E：+y2=1的左、右顶点，点F是椭圆的焦点，点P（x，y）是椭圆上异于A，B的任意一点，求P处的切线方程.

分析 该题求的是切线方程，因此不妨设切线的斜率为k，则其方程为y-y=k（x-x）. 将其代入椭圆E：+y2=1中，消除x（或y），根据Δ=0，使问题获解. 尽管学生构建了类似的解题思路，但许多学生并未得出正确答案. 从解题反馈来看，部分学生在应对复杂计算时显得茫然无措. 确实，当方程联立并展开后，产生的项数相当多，这不仅容易导致计算错误，而且计算起来也相当困难. 那么，可以如何优化运算过程呢？从整体视角分析不难发现，方程联立并消去y（或x）后，所得的是关于x（或y）的一元二次方程. 在理解了这一本质之后，不妨将y-y=k（x-x）变形为y=kx-（kx-y），再将其代入椭圆的方程，展开后很容易得到关于x的一元二次方程，即4（k2+1）x2+8k（y-kx）x+4（y-kx）2-4=0. 这样通过小小的改变，使得计算Δ变得轻松了很多. 但是，在计算Δ的过程中要注意，其中的常数项不宜展开，将一次项系数平方后得64k2（y-kx）2，这在不展开的情况下可以直接消除掉，从而有效减少运算量. 同时，在化简过程中必须明确，所求的是斜率k，因此化简后应该得到关于k的一元二次方程，即（4-x）k2+2x0y0k+（1-y）=0. 又点P（x，y）为椭圆上一点，根据一元二次方程的特点，可以将其二次项系数和常数项通过代换，得到4yk2+2x0y0k+=0，即

2yk+

=0，所以k=-，问题迎刃而解.

通过上述解答过程，我们可以清晰地看到，整体思维在优化计算过程中发挥着重要作用. 它不仅能降低计算的复杂度，还能够培养学生的整体分析和问题把握能力，进而促进学生逻辑思维的提升和数学计算素养的增强. 面对复杂的计算问题，教师应引导学生回到问题的起点，深入思考代数式的结构. 通常，通过整体代换来优化计算，可以达到事半功倍的效果.

整体观察，凸显本源

观察是一种很重要的思维活动，是学好数学的重要途径. 当学生面对数学问题时，首要任务是通过整体观察，来全面理解题意. 在这一过程中，如果学生能够在脑海中构建起关于关键信息的多维联系，那么在寻找解决问题的策略时将会更加高效. 通常来说，数学问题是由一系列相互关联且不冲突的量组成的整体，因此通过整体观察，学生能够更好地掌握量与量之间的联系，把握问题的本质特征，从而顺利找到解决问题的关键点.

例4 设0<a，b，c<1，证明：a（1-b），b（1-c），c（1-a）不可能全部大于.

分析 本题若分开看，很难解释a（1-b），b（1-c），c（1-a）中的一个不大于，所以证明该结论显得尤为困难. 但仔细观察三个式子不难发现，它们具有交叉联系，因此可以从整体出发，利用反证法和假设法解决问题. 假设a（1-b），b（1-c），c（1-a）全部大于，则a（1-b）·b（1-c）·c（1-a）>. 因为0<a，b，c<1，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，则0<a（1-a）≤

=. 同理，0<b（1-b）≤，0<c（1-c）≤. 所以，a（1-b）·b（1-c）·c（1-a）=a（1-a）·b（1-b）·c（1-c）≤××=. 可见这与假设相矛盾，所以假设不成立，问题得以获证.

反证法，作为逆向思维的典范，其独特的思考方式对于提升学生的数学思维能力具有显著的重要性. 众所周知，矛盾并非孤立存在，至少涉及两个对立面. 反证法作为一种构建矛盾的有效工具，在教学中恰当运用，能够促进学生形成全面的思维方式，并有助于提高他们的数学素养.

综上所述，在高中数学学习中，特别是在解题过程中，我们应高度重视对学生整体思维的培养. 虽然传统的解题教学习惯于通过“分析”来使学生的思维更加缜密，但同时我们也应重视整体思维在其中的作用. 整体思维与解析式思维是相辅相成的，前者通常在更大程度上决定着学生对数学问题解决方向的把握，因此它在解题思维中扮演着“敲门砖”的角色. 由此可见，整体思维在解题中具有举足轻重的地位. 因此，在高中数学教学中，教师应采用多样化且有效的教学方法，引导学生掌握整体思维，以此来有效提升学生的数学思维能力，促进学生数学学科核心素养的发展.