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核心素养背景下“懂而不会”现象的探索与研究

2024-12-10宋美丽

数学教学通讯·高中版 2024年12期

[摘 要] 在核心素养的背景下,数学课堂上常常出现一种令人困惑的现象:学生在课堂上的互动表现良好,似乎已经掌握了教学内容,然而课后的反馈结果却并不尽如人意. 这种现象被形象地称为“懂而不会”. 那么,该如何解决这一问题呢?研究者以高三复习中的变式教学为例,具体从概念变式深化概念理解、过程变式强化定理理解、变式应用发展数学思维三个方面展开探索与研究.

[关键词] 懂而不会;核心素养;复习教学

作者简介:宋美丽(1977—),本科学历,中学一级教师,从事高中数学教学与研究工作.

导致高中数学“懂而不会”现象的原因众多,主要受教师的专业能力、学生的理解能力以及教学环境等多重因素的综合影响. 从教育者的角度分析,如何确保学生不仅理解而且能够熟练运用知识呢?这是值得深入探索的问题. 本文旨在探究“懂而不会”现象的成因,并以高三复习课程为具体案例,通过几个实例,从概念变式、定理变式以及例题变式三个层面进行深入的探索与分析.

高三复习“懂而不会”现象的成因

高三复习对高考成绩具有决定性的影响. 然而,尽管一些学生在课堂上看似理解了授课内容,但在课后作业的反馈中却常常表oFw8i4pBEhmfxHUUXKBqig==现出思维上的混乱和错误. 即便是一些已经解答过的题目,在重新测试时,他们仍然会犯与之前相同的错误. 这不仅给学生带来了困扰,也在很大程度上给教师带来了难题.

1. 教师层面

经过深思熟虑,笔者对这些现象进行了深入研究,发现众多教师在努力提升教学效果的过程中,虽然广泛搜集资料以设计课程,却往往忽视了教材的重要性. 事实上,在新课程改革的背景下,数学教材本身已经提供了许多高质量的例题. 若要从根本上简化形式并提高教学效率,教师应以教材为核心,选取其中的经典例题作为切入点,通过变式方法对这些例题进行深入拓展和延伸,从而提升学生的思维能力.

2. 学生层面

一些学生对知识的掌握仍然停留在零散的点状阶段,未能从单元整体的视角构建起知识体系,因此难以形成结构化的思维模式,对知识间的内在联系理解不足. 同时,部分学生对知识的理解仅停留在表层,无法深入掌握其核心要义,导致在解题时只能进行机械性的模仿,无法灵活应对复杂综合的问题. 为了真正理解数学,必须具备将新旧知识相互关联的能力,并构建起一个完整的知识网络. 此外,还有学生在学习过程中缺乏主动性,课堂参与度不高,缺少及时的反思和总结,这导致他们无法既“懂”又“会”.

突破“懂而不会”现象的策略

1. 概念变式深化概念理解

概念是数学思维的基石,是数学知识体系的基本组成单元,亦是构建数学大厦的“地基”. 对数学概念的深刻理解是数学学习成效的关键. 若学生对这些概念存在理解上的偏差,他们在进行运算和推理时,无疑会遇到各种难题. 具体来说,即便学生能够准确无误地复述概念,若未能领会其深层含义及其应用范围,这将不可避免地对与该概念相关的进一步学习造成障碍,甚至对整个数学知识体系的构建产生负面影响.

在核心素养的背景下,如何加深学生对概念的理解深度?这是目前迫切需要解决的问题. 经验表明,概念变式设计可以从搜集错题、分析错题、明确目标和设计变式这四个维度进行. 在变式设计方面,必须紧密围绕核心概念,以核心概念为焦点,激发学生自主探索概念的起源和演变,从而推动学习能力的提升.

案例1 “椭圆的定义”教学.

(1)分析学生的易错点

问题:已知平面上的动点P和两个定点F(0,-5),F(0,5)的距离之和恒为10,那么动点P的轨迹是( )

A. 圆 B. 椭圆

C. 线段 D. 直线

对于此题,大约50%的学生选择的是“椭圆”这个选项. 实际上,“线段”才是本题的正确答案. 该错误产生的根本原因在于学生未能真正理解椭圆的定义. 实际上,椭圆还需要满足一个条件:一个动点与两个定点的距离之和大于两定点间的距离. 例如本题,若动点P的轨迹是椭圆,则必须具备

PF+

PF>

F

F,也就是2a>2c这个条件. 而本题所提供的条件为

PF+

PF=

F

F,因此动点P的轨迹是线段而非椭圆.

针对学生所展现的问题,设计变式教学便有了明确的依据. 学生的问题主要在于未能清晰理解椭圆定义中2a>

F

F的内涵. 因此,接下来的教学目标变得明确:教师从2a>

F

F的本质出发,分别从2a=

F

F与2a<

F

F两个角度设计变式,以助于学生辨析概念的内涵,并掌握概念的本质.

(2)具体层面的变式

从语义学的视角出发,引导学生通过文字、图形和符号这三种数学语言来理解概念之间的转换与对应关系. 调查结果显示,学生对类似于“2a=2c(2a=

F

F)”的符号并不理解. 因此,笔者决定先引导学生探索a,c的内涵,即从三种数学语言着手增强学生对椭圆概念的理解.

变式1 文字语言:椭圆是指在一个平面内,与两个定点F,F的距离之和为常数2a,且满足2a>

F

F的点的轨迹.

变式2 图形语言(见图1).

变式3 符号语言:

FM+

FM=2a(2a>

F

F).

(3)抽象层面的变式

变式1 若常数2a=

F

F,则动点轨迹是什么图形?(答案:线段)

变式2 若常数2a<

F

F,则动点轨迹是什么图形?(结论:无法构成图形)

在变式探索的过程中,要求学生在深入理解字母a,c内涵的前提下,通过画图来探索2a,2c之间的大小关系,从中发现关系变化导致不同结论,并用数学语言描述动点轨迹的三种情况:椭圆、线段以及无图形. 这样的变式探索有助于学生清晰地认识概念,克服理解与应用之间的障碍,即所谓的“懂而不会”的问题.

设计意图 低起点的教学方法能够让学生随着问题的逐步深入,思维得到逐步提升. 随着a,c内涵的逐步揭露,学生对椭圆的理解变得更加明确. 在此基础上,结合变式教学,学生能够真正深入理解椭圆的概念,并掌握其原理.

2. 过程变式强化定理理解

公式与定理是高中数学的重要内容,例如等差数列的前n项和公式、诱导公式,以及正弦定理和余弦定理等,它们揭示了数学现象背后的本质规律. 公式和定理通常以符号化的形式展现,它们具有高度的抽象性. 尽管一些学生能够记忆并默写出这些公式或定理,但他们往往难以灵活运用,从而导致“懂而不会”现象的发生. 殊不知,公式和定理是数学学科中承载知识的关键元素,它们对于深入理解知识的核心和提升学术能力至关重要. 在教学过程中,我们应当特别重视对公式和定理的变式探究,确保学生不仅了解这些基础知识是什么,而且明白它们背后的原理.

案例2 “二项式定理”的复习教学.

在展示二项式定理(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn的基础上,引导学生回忆二项式定理的推导过程:

(a+b)n指有n个(a+b)相乘,也就是从n个(a+b)中取a或b,需确保展开式的每一项都能满足如下条件:an-kbk(k∈{0,1,…,n}). 可将该条件理解为如下问题:从n个括号内择取k(k≤n)个括号以提取“b”,然后将剩余的“a”与之相乘. 具体可从以下几个环节入手进行:

①从n个括号内择取k(k≤n)个括号以提取“b”,情况存在C种;②从剩余括号内提取“a”,情况存在C种;③结合分步计数原理可知,总共存在C·C=C种择取方法. 因此,an-kbk的系数是C(k∈{0,1,…,n}),Can-kbk(k∈{0,1,…,n})为(a+b)n展开式的通项.

变式1 展开二项式(a+b+c)10后合并同类项,形成的项数有______.

变式2 展开式子(x+x2+y)5,其中含有x5y2的项的系数是______.

设计意图 变式1的应用意在进一步深化学生对二项式定理的认识. 变式2的解决需要通过应用二项式定理来展开并得出结论. 对于那些学有余力的学生,他们可以利用三项式定理迅速地得到结果:(x2)xy=xy为(x2+x+y)5展开式的通项,与x5y2对比,可知2n+n=5,5-n-n=2,解得n=2,n=1. 由此可确定CC=30为含有x5y2的项的系数.

3. 变式应用发展数学思维

变式教学,如一题多解和一题多变,是培养灵活思维和深化学生对知识理解的关键策略. 在核心素养的背景下,高考试题的许多原型都能在教材中找到. 因此,在复习教学过程中,教师应有意识地回归教材,利用教材中的例题进行变式教学. 通过引导学生采用不同的方法来论证同一问题,揭示各种论证方法所体现的条件与结论之间的联系,从而揭示问题中蕴含的数学思想和方法. 这样的教学方式有助于发散学生的数学思维,拓宽解题思路,促进学生认知能力在横向和纵向两个维度上的发展.

随着时间的推移,学生所积累的知识可能会逐渐消退,但他们在解决问题过程中培养的数学思维和提炼的数学思想方法,却如同深植于脑海的技能,将对学生多方面的能力产生长远的影响. 因此,数学复习教学不应仅仅局限于“就题论题”的层面,而应超越教材中的经典例题,结合学生的实际情况、教学背景以及考试要求,对原题进行创新性的变式和拓展. 通过这种方式,学生能够在“万变不离其宗”的变式练习中,培养出扎实的数学思维能力,从而获得终身可持续发展的学习能力.

案例3 “椭圆参数方程求最值”的例题教学.

例题 已知直线l:4x-5y+40=0,椭圆C:+=1,椭圆上距离直线最近的点是什么?并求出最小距离.

这是一道典型的例题,主要涵盖了直线与椭圆位置关系的相关知识点. 学生一旦掌握了本题的解题技巧和知识本质,无论题目如何变化,都能够灵活应对.

变式1 已知直线l:x=t+2,

y=2-2t(t是参数),曲线C:+=1.

(1)写出直线l的普通方程与曲线C的参数方程;

(2)若过曲线C:+=1上的任意点P作与直线l:x=t+2,

y=2-2t夹角成30°的直线,交点为A,AP的最大值与最小值分别是多少?

本题对教材例题的条件进行了变式处理. 若设点P与直线l之间的距离为d,那么AP的值为2d,由此可将问题转化为学生所熟悉的形式,解题便毫无障碍可言.

变式2 已知平面直角坐标系xOy中的曲线C的参数方程是x=3cosθ,

y=sinθ,θ为参数,直线l的方程为x+4y-4-a=0.

(1)如果a=-1,直线l与曲线C的交点坐标是什么?

(2)如果曲线C上的点与直线l之间的最大距离为,那么a的值是多少?

本题是教材例题的逆向变式,旨在确定最大距离的同时,反过来分析参数的数值. 若学生对原题有扎实的理解,便能轻松地找到解题的途径. 分析学生的解题情况,发现大多数学生的失分原因在于未能讨论表达式d=中的“4+a”的符号.

设计意图 数学是思维的体操. 以教材中的例题为核心,通过变式方法拓展例题资源,这不仅能够加深学生对知识点的理解,为他们日后灵活应对各类复杂问题打下坚实的基础;同时,这种方法还能促进学生数学思维的成长,引导他们从宏观、结构化的视角分析问题,揭示知识间的内在联系,优化知识结构,并掌握解决问题的策略. 当然,学生才是课堂上真正的主人. 在教学过程中,教师应避免代替学生思考,而应为学生创造更广阔的时间和空间,让他们在自主探索的过程中摘掉“懂而不会”的帽子.

总之,学生在学习过程中出现“懂而不会”的现象,说明教学并未达到预期效果. 在核心素养的背景下,数学教学应将“会”作为基本目标,通过设计变式教学来全面提升思维品质和能力. 教学应确保学生不仅在字面上理解概念、公理、定理等的含义,而且能够随着例题的变化,真正掌握并运用这些知识. 这是培养学生数学学科核心素养的有效措施.

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