从一道高考题目审视学生阐述问题能力的培养

[摘 要] 数学说题活动颠覆了传统教学中教师单向传授知识的模式，为师生互动交流搭建了平台，这有助于激发学生参与课堂讨论的热情，提升他们发现、分析和解决问题的能力. 在解题教学过程中，教师应鼓励学生阐述自己的解题思路，以便充分展现他们的思考过程，要协助学生构建清晰的思维框架，有效增强学生的语言表达技巧，培育他们勇于探索和创新的精神，从而促进学生数学能力与数学素养的发展.

[关键词] 说题;思考过程;数学能力

作者简介：曹春茂（1979—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

说题，作为一种创新的教学模式，秉承了以学生为中心的教学理念. 通过数学说题，学生能够锻炼其语言表达技巧，培养良好的学习习惯，从而有效增强综合能力和素养. 在高中数学教学实践中，教师应致力于营造一个宽松、民主、和谐的学习氛围，鼓励学生积极思考和表达，以此促进学生语言表达能力的提升，并全面增强学生的综合能力.

解题教学是数学教学的关键环节，也是培养学生说题能力的主要领域. 在这一过程中，教师应提供机会让学生阐述他们在解答问题时所运用的思维方法、解题策略和理论依据，从根本上提高学生解决数学问题的能力，并推动学生数学核心素养的提升. 笔者通过分析一道高考数学题，探讨如何有效培养学生的说题能力.

真题再现

例题 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，则当k的值发生变化时，直线l截得圆C的弦长的最小值为2，则m=（ ）

A. ±2 B. ±

C. ± D. ±

例题源于2021年高考数学北京卷的第9题，该题目综合难度较高，解题方法灵活多变，不仅具有一定的挑战性，还蕴含着探索的价值. 在高三的复习教学中，教师展示这道题目，鼓励学生独立解答，并详细阐述他们的思考过程. 这一做法旨在洞察学生的解题策略和遇到的难题，同时锻炼他们的表达技巧. 通过提供针对性的指导，帮助学生克服学习障碍，进而提升他们分析和解决问题的能力.

教学过程

1. 合作探究，形成思路

师：谁先来说说自己的解题思路？

生1：这是一道解析几何题目，解决这类问题最常用的方法是数形结合法. 根据题目的要求，可以得出图1所示的图形. 令圆的半径为r，弦心距为d，弦长为n，则d2+

=r2. 由点到直线的距离公式得d=，则弦长n=2. 又弦长的最小值为2，所以n=2≥2. 这里m，k都在变化，感觉无法分析取最大值或最小值的条件，所以没有得到答案.

师：利用弦心距来计算弦长，是一个相当巧妙的方法. 这里m，k都在变化吗？重新分析已知条件，谈谈你们的发现.

（教师预留时间供学生再次审阅题目，以揭示其中隐藏的信息.）

生2：根据题设信息，这里m为定值. 令n=2=2，当k=0时，n取最小值2，所以m=，解得m= ±. 因此，正确答案是C.

师：你们还有其他想法吗？

生3：由于该题目为选择题，我打算采用排除法来解答，然而最终未能成功.

师：也是一个值得考虑的想法，请详细阐述一下你的思考过程.

生3：根据给定的条件和选项，我们可以清晰地看出，直线l过点（0，m），且是定点，即直线l为过定点（0，m）的一直线族. 设m=±2，则直线l与圆C相切，显然与已知条件不符，所以排除选项A. 同理，设m=±，则定点为（0，±），即定点在圆的外部，直线l与圆C相离，因此排除选项D. 然而，对于选项B和C，我却不知如何选择.

师：这是一个相当有见地的想法. 然而，通过直线变化来判断弦长或弦心距的改变确实颇具挑战性. 或许我们可以尝试从不同的角度出发，比如专注于单一参数k的变化，来深入分析这个问题. 你们对此有何新的见解？（学生积极思考）

生4：我们可以从特殊情况出发分析，假设直线l与x轴平行，此时弦心距d=m，所以m=±.

师：很好！在解题过程中，务必仔细审阅题目，深入挖掘题目提供的信息，并在变化中寻找问题的不变本质，这样往往能够轻松破解难题.

观察学生的解题反馈，发现有些学生试图采用代数方法来解决问题. 他们将圆的方程与直线的方程联立起来，通过消元法得到一个关于x的一元二次方程，然后利用两点间的距离公式、韦达定理等数学工具来求解. 然而，不少学生选择了放弃，因为其运算过程相对烦琐. 不过，对于那些课后有额外精力的学生，笔者建议可以沿着这一思路深入探究.

设计意图 在教学过程中，通过“说”来探究学生的解题思路，可以识别他们在解题过程中遇到的难题. 通过积极的互动和交流，教师协助学生构建正确的解题方法，从而提高他们的解题能力. 在这一环节，教师确保给予学生充分的时间进行表达和交流，并激励他们尝试多种解题策略. 这样做不仅能巩固学生的基础知识，还能帮助他们积累实践经验，并增强他们解决数学问题的信心.

2. 变式拓展，发散思维

师：在保持问题核心不变的前提下，如果调整原题中的数学元素，如数值或符号，以形成一道新的题目，你们打算如何进行这样的变化？（教师给予学生时间进行思考和讨论）

生5：可以更改弦长的大小，如将弦长的最小值由“2”改成“3”.

师：可以是“5”吗？

生5：不可以，弦长是有范围的——范围为（0，4].

师：非常棒，我们在调整题目时，必须全面考虑题目的科学性和合理性. 你们还想怎么变？

生6：“弦长的最小值为2”这一条件可以等价转化为“弦心距的最大值为”.

生7：“弦长的最小值为2”这一条件也可以等价转化为“直线l与圆C相交于A，B两点，△ABC为等边三角形”.

师：非常出色. 同学们的这些变式是形式上的改变，其核心结构没有变化，因此解题策略无需调整.

设计意图 在教学过程中，教师以学生为核心，鼓励他们自主设计变式题目. 通过这种方式，学生能够更深入地理解问题的本质结构，并通过变化练习来提升他们的语言表达技巧，从而培养他们阐述问题的能力.

师：从以上解题过程可以看出，m是定值这一隐藏信息在解题中起到了关键作用. 如果m不是定值，而弦长为定值2，那么能否求出m的取值范围呢？（通过调整固定参数，改变了问题结构，教师预留时间供学生思考和交流.）

生8：根据已知条件画出如图2所示的图形. 已知AB=2，则OD=，也就是说圆心O到弦AB中点的距离为. 因此，无论直线l的k值如何变化，弦心距不变，即点D一定在以O为圆心，半径为的圆上，也就是说直线l一点过圆x2+y2=3上的某个点. 由n=2=2，整理得m=·. 无论k如何变化，k2≥0恒成立，所以≥1，所以m≥.

师：非常好，运用数形结合方法顺利解决了问题. 那么，有没有一种可能，使得k，m，n都能变化？

生9：基于先前的问题，我们可以将“弦长为定值2”修改为“弦长的最小值为2”，这样三个参数都能变化.

师：很好的思路，此时的m为何值呢？

生10：如图3所示，结合以上探究结果，可知弦长n的取值范围为[2，4]，直线l过小圆x2+y2=3上的某点D. 当直线l与小圆x2+y2=3相切时，弦长取最小值2. 当k变化，且直线l与小圆x2+y2=3不相切时，直线l与y轴相交于任何位置，由此可知m取任意值.

师：非常棒，通过图形的直观性，结合观察与想象得出了结论. 在此基础上，你们能否进一步进行验证呢？

生11：若弦长的最小值为2，即弦心距的最大值为时，由点到直线的距离可得m≤. 这里无论k如何变化，都有k2≥0，所以这里k可以取到任意值，显然m也可以取到任意值.

设计意图 通过进一步的变式练习——使固定参数变得动态化，从而加深学生对问题核心的理解，并有效地扩展他们的思维广度，提升他们分析和解决问题的能力. 在这一过程中，教师鼓励学生积极发言，主动分享自己的见解和对问题本质的理解，使学生充分体验到探索的乐趣，并有效增强学生学习的主动性和积极性.

教学思考

在高中数学教学过程中，教师的职责不仅限于传授知识，更关键的是激发学生的思考能力. 在解题教学时，如果仅仅专注于解决个别问题，这不仅会加剧数学学习的乏味性，还会抑制学生思维能力的成长，进而妨碍他们在解题技巧上的进步. 因此，教师在解题教学中应当引导学生深入探索题目的深层含义，培养他们的思考习惯和自主学习能力. 在实际教学活动中，教师可以鼓励学生口头表达，通过讨论不仅能够揭示正确的解题思路，还能帮助识别错误的根源.

例如，在本节课的教学过程中，教师以学生为中心，充分展现学生的思考过程. 教师将“说”融入整个课堂教学之中，通过“说”协助学生克服思维障碍，形成正确的解题策略，最终促进思维能力和表达能力的提升.

综上所述，在高中数学教学过程中，学生必须积极参与课堂活动，才能实现从“理解”到“掌握”，并最终达到“自主学习”的境界. 教师应提供机会，鼓励学生主动发言和思考，通过解决实际问题来巩固基础知识，提升技能，并培养出色的解题表达能力，进而促进数学学科核心素养的发展.