深度学习理念下的函数概念教学实践与思考
2024-12-10赵洋
[摘 要] 知己知彼,百战不殆. 深入了解学生认知的障碍点,并结合学情与教情设计具有明确针对性的教学方案,能够显著提升教学效率,推动学生进行深度学习. 研究者以“函数的概念”教学为例,具体从“理解对应关系”“判断函数是否相同”以及“抽象函数表达式的方法”三个方面,详细探讨学生在认知上可能遇到的障碍及其相应的解决策略.
[关键词] 深度学习;函数;概念教学
作者简介:赵洋(1982—),本科学历,中学一级教师,从事高中数学教学与研究工作.
核心素养导向下的数学教学更注重深度学习理念的落实. 一线数学教师应从深度挖掘教材、深度内化理念、深刻理解知识内涵、深度开发潜能等方面着手践行深度学习理念,以从真正意义上发展学生的数学学科核心素养. 本文以“函数的概念”教学为例,结合学生客观存在的认知障碍展开教学与分析,与同行交流.
理解对应关系
1. 存在的问题
不少学生在理解f(x)和初中阶段所接触的因变量y上存在疑惑,不明白为什么要应用这些符号;也有学生对f(x)中的f和括号等具体表达的意义缺乏理解. 究其主要原因,在于学生在构建概念时,未能将认知中的“y”与新知中的“f(x)”建立联系,因此无法区分两者,更无法理解使用符号f(x)来表示函数的必要性.
2. 应对措施
师:大家在初中阶段接触过哪些函数?
生1:初中时学过一次函数、二次函数与反比例函数.
师:关于函数变化的过程,如何判断因变量y是关于自变量x的函数?
生2:每个自变量x均有唯一确定的y与它相对应.
师:之前我们接触的函数,均是通过函数解析式来描述一个变化过程,现在让我们一起探索以下几个例题.
例1 某列车在车速达到360 km/h后匀速行驶半小时,在这半小时内,列车行驶的路程S(单位:km)与行驶时间t(单位:h)的关系式为S=360t.
思考:S是不是t的函数?若该列车以360 km/h的速度匀速行驶1 h,行驶的路程是多少?t的变化范围和对应的S的变化范围分别是多少?尝试用集合表示两者的变化范围.
探索所得的结论为:该函数实则为t与S的变化范围之间的对应关系.
例2 某公司要求维修工每周工作至少1天,最多不超过6天. 该公司确定的工资标准是每人每天360元,而且每周付一次工资. 如果你是财务人员,那么如何确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是其工作天数d的函数吗?如果是,请写出w关于d的解析式,并思考根据解析式是否可以计算出任何d所对应的w. 如果不是,请说明理由.
在探讨这类问题时,着重从集合的角度分析d与w的变化范围,明确w是否为d的函数.
例3 图1是某市某天的空气质量指数(AQI)变化图. 如何根据该图确定这一天内任意时刻t h的空气质量指数的值I?
思考:I,t的变化范围存在对应关系吗?I是t的函数吗?若是,你能写出两者的解析式吗?若不是,请说明理由.
学生在探寻这个例题时,虽然无法用解析式明确I,t的对应关系,却可用直观的曲线所给的对应关系说明I是t的函数.
例4 国际上常用恩格尔系数r(r=×100%)反映一个地区人民生活质量的高低,r值越低,代表生活质量越高. 如表1所示,此为我国某省城镇居民在这些年份的恩格尔系数变化情况,请大家思考年份y与恩格尔系数r之间是否为函数关系,可否用集合描述.
(探索过程略)
上述几个例题揭示了函数表达形式的多样性,包括解析式、图象和表格. 教师要求学生分析这些表达形式的共性,并尝试重新定义函数. 在定义时,教师着重强调函数的书写必须规范,需将自变量x置于f(x)的括号内,然后等于因变量y. 其中字母f为function(函数)的首字母.
在定义函数的同时,还需关注函数的值域与定义域. 可将函数比作一台运行中的机器,它在接收到输入指令后,会遵循一个程序产生唯一的输出. 在这个过程中,输入指令的范围对应于“定义域”,而输出结果的范围则对应于“值域”. 以f(x)=+1为例,其运算过程是“取算术平方根后加1”,因为输入范围为x∈[0,+∞),所以[0,+∞)为该函数的定义域;因为输出范围为f(x)∈[1,+∞),所以[1,+∞)为该函数的值域.
分析 新知必须建立在现有的认知结构之上. 在上述教学片段中,通过使用四个贴近学生生活的实例,激发学生认知冲突,从而帮助他们进一步完善对函数的理解. 同时,通过类比机器工作原理与函数的值域和定义域,使学生深入理解函数的概念,并实现新旧知识的深度融合.
判断函数是否相同
1. 常见的问题
对于“两个函数表达式能否表示同一个函数”的判断,一些学生存在一定的困难. 例如,函数f(x)=和函数g(t)=是不是同一函数?学生所犯的错误主要有两类:①不是,因为f与g不是同一个符号;②不是,因为自变量x与t不是同一个符号. 再如,函数f(x)=和g(x)=x是不是同一函数?学生所犯的错误主要有两类:①不是,因为两个表达式不一样;②是,因为两个函数解析式经化简后是一样的.
形成上述错误的主要原因在于学生未能深入理解函数的三要素(定义域、值域和对应关系). 要判断两个函数是否相同,必须探究这三要素是否一致. 从函数概念的本质来看,值域是由对应关系和定义域决定的,因此,根据对应关系与定义域是否相同,即可判断两个函数是否相同.
2. 应对措施
师:判断两个函数相同的条件是什么?
生:函数的三要素(定义域、值域、对应关系)均相同.
接下来,教师提出一个问题:当两个函数在某个单一要素上相同时,是否可以断定这两个函数完全相同?在学生得出否定的答案后,问题被进一步扩展:如果两个函数在两个要素上相同,我们能否确定它们是相同的函数?随着探索的深入,学生自发地制作了表2,以明确在不同条件下两个函数是否相同.
师:通过上述探讨,我们可以得出结论:判断两个函数是否相同,从函数的定义域和对应关系来看,就像比较两台功能相同的机器. 如果它们的操作程序相同,并且接收到相同的输入指令,那么它们的输出结果必然一致. 例如函数f(x)=和函数g(t)=,从本质上来看均为算术平方根,不论它们的名称如何变化,其本质都不会改变. 它们的操作对象均为[0,+∞)上的所有数,不论在括号内放入x或t,对本质均不会产生影响.
基于上述探索,教师提供相应的练习(略)供学生巩固所学知识,帮助他们从根本上掌握判断两个函数是否相同的准则.
分析 人脑对知识的吸收是一个主动选择和推导的过程,绝非被动地接受. 为了防止学生在判断两个函数是否相同时犯下各种错误,教师设计了这一教学环节. 该环节包含三个核心点:①以学生的自主探索为主,让学生明确判断两个函数相同的充分必要条件为对应关系与定义域均相等;②任何字母只是符号,只要问题的本质不变,不论用哪个字母,都不会影响对比结论;③练习训练,让学生通过实例操作充分感知对应关系与定义域两个关键条件的应用.
抽象函数表达式的方法
1. 存在的问题
关于抽象函数的表达式,不少学生在认知方面存在障碍,致使解题的正确率偏低. 例如,已知函数f(+1)=2+x,求f(x). 常见的错误解法为:令+1=t,经整理得x=(t-1)2,因此f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1.
从学生所犯的错误来看,他们对于此类题型考查的重点并不理解,当无法通过拼凑法解题时,选择换元法来求解,然而,对于变量之间的替换关系却感到困惑,一些学生甚至忽略了定义域的重要性. 之所以会出现这样的问题,主要是因为学生未能真正理解函数的概念,同时对复合函数的理解也存在不足. 当遇到f(g(x))类型的函数时,他们便无从下手.
2. 应对措施
基于上述分析,可以看出学生对函数概念的理解尚浅,存在多种认知障碍. 为了解决这一问题,教师在深度学习理念的指导下,引导学生主动构建新知,克服各种障碍,实现深刻理解和灵活应用的目标.
问题1 已知函数f(x)=x2,求f(x-1).
本题难度系数较低,求f(x-1),用x-1替换x即可(过程略).
问题2 已知函数f(x+1)=x2+2x+1,求f(x).
生1:结合题设条件可知f为平方运算,即f(x+1)=x2+2x+1=(x+1)2,所以f(x)=x2.
师:此为拼凑法,具体是怎么拼凑的?
生1:先结合条件拼凑出x+1,再用x进行替换.
师:如果无法直接拼凑出答案,该怎么办呢?例如,已知函数f(x+1)=x2+4x+3,求f(x).
生2:也可以先拼凑出x+1,再用x进行替换,如令x=x+1,但表达式中存在两个x,容易造成混淆.
师:有什么办法可以解决这个问题呢?
生3:可以将“求f(x)”改成“求f(t)”.
师:经过这样的修改,我们求解的还是同一个函数吗?
生4:是同一个函数,因为其本质并没有发生变化,只是用不同字母表示而已.
师:很好!令t=x+1,用含t的式子来表示x,即x=t-1. 将该式代入原式,可得f(t)=(t-1)2+4(t-1)+3,经整理得f(t)=2t+t2. 题目求的是f(x),该如何处理呢?
生5:f(t)=2t+t2与f(x)=2x+x2是相同的函数,直接转化即可.
师:不错,解决这一类问题的关键在于拼凑法与换元法的应用. 现在,请大家自行整理换元法的应用思路.
学生通过思考和交流,得到换元法的应用思路:①用含t的式子表示x,并获得t的取值范围;②将含t的式子代入原式并整理得到关于t的函数;③将关于t的函数转换为关于x的函数.
问题3 已知函数f(+1)=2+x,求f(x).
这是一道拓展题,目的在于引导学生关注判断函数相同的条件——除了对应关系之外,还需分析定义域. 只有当两者完全一致时,才能确定两个函数相同.
分析 该教学环节主要包含以下三个核心内容:①利用拼凑法引出换元法,引导学生抽象出函数关系式的转换步骤,提升学生对函数概念应用理解的深度;②针对学生的认知障碍点设计问题,引导学生在求解的同时进行自我纠错,以不断完善其认知结构;③将所学知识串联起来,对学习内容进行系统性的整理与归纳.
综上所述,高中生所接触的函数概念本身极为抽象,受限于思维水平,他们在理解和应用这些概念时,不可避免地会遇到各种认知障碍. 因此,在深度学习理念的指导下设计教学活动变得至关重要,这是克服学生认知障碍、梳理知识结构、完善认知体系的有效途径.
在教学中,教师应关注以下几点:①加深学生对知识本质的理解,深入了解初中与高中阶段函数之间的联系,为有效教学打下坚实基础;②构建教学支架,运用与学生认知发展规律相适应的信息,激发学生认知冲突,使他们理解函数的对应关系;③采用整体观进行课堂教学,协助学生构建全面的知识结构;④针对学生的错误,深入探究其根本原因,并设计有针对性的问题.
总之,函数作为高中阶段的核心教学内容之一,许多学生在理解和应用方面面临挑战. 将深度学习理念有效地融入到函数概念的教学中,可以帮助学生从根本上理解错误的根源,从而为灵活应用函数概念和发展核心素养打下坚实的基础.