单元整体教学背景下的数学教学实践与探索

[摘 要] 随着新课改的深入实施，单元整体教学的研究日益受到重视. 研究发现，单元整体教学能够以知识与技能、学科素养、思想方法等为模块进行设计. 文章以“圆锥曲线与方程”的教学为例，从旧知回顾、新知探索、知识应用以及课后拓展等方面，展开单元整体教学实践与探索，旨在抛砖引玉.

[关键词] 单元整体教学;圆锥曲线;探索

作者简介：王丹（1992—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾荣获泰州优质课一等奖.

实施单元整体教学理念，主要遵循两条主线：一是外显的知识与技能，二是内蕴的思想方法或学科素养. 因此，单元整体教学被划分为以知识与技能为主导的模块和以思想方法或学科素养为主导的模块. 本文以“圆锥曲线与方程”单元中的第二节课——椭圆的教学为例，从旧知回顾、新知探索、知识应用以及课后拓展等方面，展开单元整体教学实践与探索.

单元整体教学的模块设计

1. 以知识与技能为模块的单元整体教学设计

新课标强调引导学生通过学习掌握适应发展的必需基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”）. 知识与技能虽然与数学学科核心素养之间存在显著差异，但它们无疑是培养学生数学学科核心素养的关键媒介. 因此，教师应注重学生的“四基”情况，关注知识与技能对发展学生数学学科核心素养的作用.

圆锥曲线章节主要涵盖了椭圆、抛物线和双曲线等内容. 从知识与技能的角度分析，这三种曲线的知识结构彼此相近，它们之间存在着内在联系，具有统一性的特征. 大多数教材采用“总—分—总”的结构，将这三个部分内容有效地融合在一起. 在教学设计时，教师应根据知识的特性和结构特征来构建教学框架（如图1所示）.

2. 以思想方法或学科素养为模块的单元整体教学设计

研究揭示，随着时间的流逝，学生掌握的数学知识可能会逐渐模糊，然而，在学习过程中培养的思想方法和学科素养却能为学生带来持久的益处. 因此，数学教育的核心在于培养学生思想方法和核心素养. 在制定教学计划时，教师应站在更高的视角，运用深刻的理论和思想来指导学生.

在圆锥曲线这一章节中，明线为知识的内在统一性，暗线为用代数法探索几何问题以及数形的辩证统一. 因此，教师在授课过程中，可以从思想方法的角度出发，重新梳理教学内容，引导学生从宏观的视角理解学科知识. 经过重新组织，本单元构建了逐步深入的教学目标（见图2）.

教学分析

本节课是关于椭圆的第二课时，重点讲解椭圆的四个基本几何性质：范围、对称性、顶点和离心率. 这些性质是本单元乃至整个解析几何领域不可或缺的基础. 椭圆的研究源于对三种圆锥曲线的探讨，通过方法的迁移，能够探究双曲线和抛物线的性质. 整个学习过程紧密围绕椭圆的研究方法展开，凸显了椭圆章节在数学学习中的基础性和关键性. 它为深入研究曲线性质和提炼数学思想方法提供了重要支撑. 鉴于此，本节课的教学受到了笔者的特别关注. 接下来，笔者将向大家展示本节课的教学流程.

教学简录

1. 旧知回顾

师：大家一起回顾椭圆的定义与标准方程.

在学生口头描述的基础上，教师借助几何画板展示焦点分别位于x轴和y轴上的椭圆图形. 邀请学生到黑板上板书：MF1｜+MF2｜=2a｜，｜F1F2｜=2c. 教师操作几何画板，将椭圆的两个焦点重合于一点，使学生直观感知椭圆是如何转变为圆的.

设计意图 建构主义理论认为，新知是在学生已有认知结构的基础上逐步构建起来的. 依据这一理论，在课堂伊始，引导学生复习椭圆的标准方程及其图形，有效地激活学生已有的认知结构，为他们理解并吸收新知打下坚实的基础. 使用几何画板展示椭圆到圆的演变，帮助学生理解数学知识间的内在联系. 这种教学设计体现了单元整体性的理念.

2. 新知探索

师：该怎样研究椭圆的几何性质呢？

生1：可从椭圆的图形、标准方程等多个角度进行分析.

问题1 椭圆的大小由谁决定？

为了探索这个问题，教师指导学生利用几何画板绘制椭圆，并展示其特征三角形.

设计意图 通过引导学生利用几何画板进行绘图和分析，使他们在直观的环境中更深刻地理解决定椭圆大小的因素. 这种教学设计不仅能揭示问题的结论，更关键的是它能培养学生的直观想象能力. 学生将体验到图形的直观性相较于代数方法更直接和易于理解，从而进一步促进他们发展数形结合思想方法.

师：通过操作几何画板并观察椭圆图形，分享一下你们的发现和收获.

生2：椭圆一直处于矩形圈内，矩形的长就是椭圆长轴的长，矩形的宽则为椭圆短轴的长，由此可确定椭圆上点的横坐标范围为-a≤x≤a，椭圆上点的纵坐标范围为-b≤y≤b.

师：这是通过肉眼观察得出的结论，大家能否用代数方法来证明它呢？

设计意图 此环节旨在引导学生从图形出发，探索椭圆的范围. 代数方法的应用意在验证结论是否正确. 该证明并不复杂，通过简单变形标准方程即可完成. 鼓励学生合作交流并板演，旨在深化学生对这部分内容的理解，留下深刻的印象.

问题2 椭圆是不是对称图形？

通过几何画板的动态演示功能，学生可以观察到椭圆围绕x轴（见图3）、y轴和原点旋转（见图4）的过程.

生3：观察图形的旋转过程，发现椭圆关于x轴、y轴对称，对称轴为坐标轴，也关于原点对称，对称中心为原点.

设计意图 通过对椭圆形状及其旋转的观察，学生不仅确认椭圆是一个对称图形，而且还能理解其对称性的本质，从而达到不仅知其然，而且知其所以然的深度理解.

师：几何画板所演示的图形特性，能否利用代数方法加以证实？

设计意图 当学生从“形”的角度对椭圆的对称性有所了解后，再引导学生从“数”的角度分析椭圆的对称性，旨在培养学生运用代数方法解决几何问题，从而提炼出数形结合思想.

问题3 椭圆上存在哪些特殊的点？

学生独立思考后合作交流，得出椭圆的顶点.

设计意图 椭圆的顶点对学生而言，比较容易获得与理解，此问意在激活学生的思维，引导学生客观地表达自己的想法，教师仅需稍加点拨和整理即可.

生4：除了椭圆的顶点外，焦点也属于特殊的点.

师：不错！从椭圆的光学特性来看，当光线从一个焦点发射出来，经过椭圆的反射后，会汇聚于另一个焦点. 这是一个引人入胜的现象，有兴趣的同学可以在课后进行探索并加以证明.

设计意图 本节课不探讨椭圆的光学特性，但会强调焦点的光学特性的重要性，并鼓励学生课后进行研究，以培养他们的数学严谨性.

问题4 什么决定椭圆的扁平程度？

将学生依据学号的奇偶性分成两组，指导学号为奇数的学生研究在相同坐标系中具有相同焦点但长轴长不同的椭圆;同时指导学号为偶数的学生研究在同一坐标系中长轴长相等但焦点位置不同的椭圆.

当学生自主完成指定任务后，教师借助几何画板动态演示以上两类情况，并组织全班学生进行讨论，获得刻画椭圆扁平程度的条件.

生5：如图5所示，当c不变时，a越接近c，椭圆越扁平;如图6所示，当a不变时，c越接近a，椭圆越扁平.

设计意图 椭圆的离心率是一个相对抽象的概念，如果教师仅依靠讲解来完成教学任务，可能会遇到一定的难度. 将课堂的主导权交给学生，鼓励他们自主探究椭圆的扁平程度，可以进一步激发学生的学习兴趣，并体现“以生为本”的教育理念，使学生对离心率有更深入的理解.

师：以上结论是大家结合图象获得的，有没有哪位同学能用代数方法加以证明？

生6：利用a，c两个基本量可以刻画椭圆的扁平程度. 令椭圆的焦距与长轴长的比为e=，因为a>c>0，所以0<e<1. e越接近1，c越接近a，b就越小，椭圆就越扁平;反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，椭圆就越接近于圆.

设计意图 该探究活动以学生为中心，旨在培养他们的探索精神. 通过积极参与探索过程，学生不仅体验到了学习的成就感，还增强了自主发现新知的信心. 这种积极的体验激发了他们对数学学习的浓厚兴趣.

3. 知识应用

例1 求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、短轴长，以及顶点坐标和离心率，同时画出该椭圆.

设计意图 本例题旨在让学生理解将待求方程转化为标准方程的重要性，这是解决相关问题的通用方法. 同时，本例题还旨在加深学生对椭圆知识的理解，为灵活应用提供基础.

例2 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：①长轴长为12，焦点位于x轴上，离心率是;②椭圆过点Q（0，8）与P（-6，0）.

例3 分析椭圆8x2+y2=32和椭圆+=1的扁平程度，阐明理由.

设计意图 前两道例题展示了圆锥曲线的基本题型，旨在检验学生对椭圆几何性质的理解程度;第三道例题旨在加深学生对离心率在描述椭圆扁平程度方面的认识，以巩固知识基础并构建一个完整的知识体系.

4. 课后延伸

学有余力的学生可以在课后进一步探究焦点的光学特性. 例如，设计并制作一个椭球形状的镜子，将其放置于日光下，仔细观察焦点与椭球镜之间的互动. 同时，可以在椭球镜子的两个焦点位置装置发光的小灯泡，以便观察产生的光学现象.

设计意图 培养学生的创新意识是教师的重要职责，鼓励有能力的学生探索光学特性，不仅能激发学生的学习兴趣，还能提升他们的实践和思维能力，对发展他们的探索能力至关重要，也是提升数学学科核心素养的关键途径.

教学思考

单元整体教学是引导学生从宏观视角审视问题的关键途径，它对于揭示知识间的内在联系，以及帮助学生构建全面的知识体系具有显著的价值和深远的意义. 以本节课为例，教师可以在课堂的最后阶段，引导学生将所学内容按照知识模块、方法模块、数学思想模块等进行系统化的梳理、总结和归纳（参见图7），从而为深入研究其他曲线打下坚实的基础.

通过研究椭圆，学生不仅学会了从方程与图象的角度研究曲线性质的方法，还提升了自身的研究能力. 当然，每个知识点都有其独特之处，这些需要在后续的学习中逐渐发掘. 总之，基于单元整体设计教学活动，教师必须始终将整体教学理念置于首位. 这样，学生能够自始至终体验到新知与旧识之间的内在联系，为构建一个完整的知识体系和培养数学学科核心素养

打下坚实的基础.