基于培养思维能力的单元整体教学实践研究

[摘 要] 数学教学的关键是提高学生的数学思维能力. 单元整体教学设计强调知识的系统性和内在联系，为提升学生数学思维能力提供了机会. 在教学中，教师应激发学生的主体意识，引导他们自主探究，并运用数学思维思考问题，从而提高学生解决问题的能力，提升他们的数学素养.

[关键词] 单元整体教学;思维能力;数学素养

作者简介：李大志（1986—），本科学历，一级教师，从事高中数学教学与研究工作.

目前，数学课堂的教学方法和手段经历了显著的变革，更加注重培养学生的自主学习能力和数学思维能力. 然而，在传统教学中，普遍存在重视思维结果而忽视思维过程的问题，这限制了学生思维能力的发展. 在数学教学中，大多数教师会安排学生自主探究以掌握知识和技能，但这种探究通常在教师的引导下进行，限制了学生思维的自由，使得探究活动仅限于表面. 那么，应如何有效地提高学生的数学思维能力呢？笔者认为，采用单元整体教学法是一种行之有效的方式. 本文从单元整体教学的视角出发，探讨如何促进学生数学思维能力的提升.

教学分析

在学习本节课之前，学生已经掌握了同角三角函数的基本关系、诱导公式以及平面向量等知识，这为他们学习本节课打下了坚实的基础. 然而，学生的逻辑推理能力是有限的，他们独立发现并证明数学公式存在一定难度. 因此，在实际教学过程中，教师不仅要为学生营造独立思考和合作交流的机会与环境，还要设计有效的问题来引导学生持续地提出问题并解决问题. 这样，学生才能学会运用数学思维来分析问题，从而提高他们的数学思维能力.

在本节课的教学中，教师应从宏观视角出发，帮助学生整合各个课时的内容，构建知识体系. 这样，学生不仅能够掌握两角和（或差）的余弦公式，还能理解一系列相关公式，从而优化他们的认知结构，并提升思维能力和思维品质.

教学过程

1. 新旧沟通，引入主题

问题1 前面我们学习了诱导公式，你能列举一二吗？

师生活动：学生表示，教师板书.

问题2 观察这些诱导公式，你有什么发现？

师生活动：学生通过观察发现，它们都与任意角α的正弦值和余弦值有一定的关系.

问题3 诱导公式中的角是特殊角与任意角α的和（或差），那么，根据你的经验，你认为接下来我们应该探讨什么问题呢？

师生活动：在上述问题的引导下，学生很容易联想到当两个角均为任意角时，这两角和（或差）的三角函数具有怎样的恒等关系.

问题4 如果我们将诱导公式中的π，等特殊角，换成任意角β，那么α与β的和（或差）的三角函数是否也可以用α，β的三角函数来表示呢？如果可以，如何表示呢？

师生活动：学生根据他们的经验清楚地认识到，α与β的和（或差）的三角函数可以用α，β的三角函数来表示，但他们不知道该如何表示. 因此，教师顺利地引入了本节课的研究主题：研究“sin（α±β）= ？”“cos（α±β）=？”“tan（α±β）=？”.

设计意图 教师以学生已经理解并掌握的诱导公式为基础，运用从特殊到一般的思想方法，直接引入本节课的研究主题，有效激发了学生的探究兴趣.

2. 合作探究，证明公式

问题5 我们应该采用怎样的方法来研究这些问题呢？

师生活动：学生通过互动交流一致认为，上述几组公式的研究方法应当是相互关联的. 因此，只要掌握了一组公式的研究方法，并运用联系与变换的方法，便能够推导出其他公式. 这样，研究的范围便可以有效地缩小至研究“sin（α±β）=？”或“cos（α±β）=？”. 在此基础上，学生结合学习经验，联想到将问题置于单位圆的背景下，利用三角函数的定义来展开研究.

问题6 你认为，选择研究哪一个比较好呢？是sin（α±β），还是cos（α±β）？你猜想的结果是什么？

师生活动：教师鼓励学生独立思考，并尝试进行猜想. 大多数学生提出的猜想如下：sin（α±β）=sinα±sinβ. 然而，学生引入特殊值进行验证后发现，该猜想不成立. 根据课堂生成，教师追问道：展开式只与sinα和sinβ有关吗？学生通过诱导公式能够轻松地联想到，展开式还可能与cosα和cosβ有关. 然而，它们之间具体存在何种关系，却难以明确.

问题7 如果将α，β放入单位圆中，如何利用α，β构造α±β？三角函数之间具有怎样的联系呢？

师生活动：教师鼓励学生在单位圆中构造α±β. 学生通过动手操作易发现，角α-β更易于研究，由此将研究范围进一步缩小. 通过图形的辅助，学生发现研究“cos（α-β）=？”更加便捷. 教师鼓励学生运用他们所掌握的知识推导公式.

问题8 cos（α-β）=cosαcosβ+sinα·sinβ中的角是否有限制？该公式对任意角均成立吗？

师生活动：学生通过引入特殊值进行验证，发现该公式对任意角均成立.

问题9 几何证明过程可能稍显复杂，但若结合式子的结构特性想一想，在我们之前所学的知识中，是否遇到过角度的余弦值呢？

师生活动：教师启发学生利用向量法证明公式（证明过程略）.

设计意图 通过逐步引导，学生的思维得以螺旋式上升，充分体验向量方法的强大效用，并在此过程中培养出思维的严谨性.

问题10 如何推导“cos（α+β）=？”“sin（α±β）=？”“tan（α±β）=？”？如果这里的α=β，你又能得到怎样的结果呢？

师生活动：教师激励学生以团队合作的方式进行研究，共同解决上述问题. 在学生遇到挑战时，教师给予恰当的指导. 最终，各团队分享他们的发现和成果.

设计意图 教师激励学生将独立思考与合作交流相结合，共同推导出其他公式. 通过亲身体验公式的推导过程，学生能够更深入地理解相关知识和研究方法，从而促进知识体系的全面构建. 这种做法旨在提升学生的自主探究能力，培养他们的合作精神和数学学科核心素养.

3. 课堂小结，深化认知

问题11 在本节课的学习过程中，你获得了哪些成果？请从知识掌握、思维启迪、技能提升等多个维度分享你的感悟和体会.

师生活动：学生先独立思考和归纳总结，随后相互交流.

设计意图 教师安排时间供学生进行反思和回顾，引导学生将学习内容、学习目的、学习方法以及学习成果等有效地串联起来. 这样的做法有助于学生理清问题的脉络，深化对相关知识的理解，并促进学生知识结构的优化以及数学思维能力的提升.

教学思考

1. 关注知识的整体性和关联性，培养学生思维的广阔性

数学是一个整体，不同的数学知识之间存在重要的联系. 数学学习的目的不仅在于让学生掌握数学知识，更在于让他们理解并沟通这些知识之间的内在联系. 因此，在数学教学中，教师应当注重知识之间的逻辑联系，深入分析、重组和整合那些具有内在联系的内容，从而构建出更加完整的单元模块. 这有助于单元教学顺利进行，并能显著提升课堂教学效果与学习质量，同时有效增强学生的数学思维能力.

例如本节课教学，教师打破了课时教学的束缚，以单元教学的视角提出大问题：如何用α，β的三角函数来表示α±β的三角函数？揭示了两角和与差的公式属于同一系统，使学生更加深刻地理解了知识间的内在联系，并促进了知识的融会贯通.

将单个知识点融入到整个知识体系中进行研究，不仅能够凸显知识间的内在联系，而且有助于提升学生的自主探究能力，有效培养学生思维的广阔性和灵活性.

2. 关注学生的思维过程，培养学生思维的深刻性

众所周知，数学知识可以通过讲授来掌握，但数学能力和数学素养的培养则需要在学习实践中不断积累和体验. 因此，单元教学设计应以学生为中心，注重展示学生的思维过程，引导他们经历知识的生成过程. 通过亲身实践，学生的思维品质才能得以锤炼，思维能力才能得以提升.

例如本节课教学，在发现和推导公式的阶段，教师以生为本，通过构建问题链引导学生联想、猜想、证明和反思，鼓励学生恰当地重构教学内容，合理地进行调整，以充分激发他们的主动性和积极性，从而促进其思维能力的发展. 例如，教师并未直接引导学生研究两角差的余弦公式，而是通过提问的方式，让学生自己去感悟“为何要先探讨cos（α-β）”和“怎样研究cos（α-β）”的问题，从而在不知不觉中增强学生的学习能力和思维能力. 当然，在探索的过程中，学生难免会遭遇诸多难题. 教师应适时提供指导，通过“教”与“学”的相互促进，助力学生的思维能力得以提升.

总之，在日常教学过程中，教师应深入研究教学材料，并擅长从宏观角度出发，对教学内容进行恰当而合理的整合. 这样做不仅能够展示知识的完整性和内在联系，还能协助学生构建全面的知识架构，并增强他们综合运用所学知识解决问题的能力. 此外，教师还应创造条件，让学生全面参与新知的探索过程，从而促进学生思维能力的发展.