启发引领思考 探究提升能力

[摘 要] 探究性学习是培养学生创新能力，激发学生学习兴趣，提高教学效率的有效途径. 在实际教学中，教师应以学生为主体，根据学生的实际学情有目的、有针对性地进行启发和引导，让学生在由无到有的探究中学会思考、学会提问、学会学习，从而提升学生的数学综合能力和综合素养.

[关键词] 探究性学习;启发;指导

作者简介：葛占军（1972—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作.

探究性学习是一种创新的学习模式，其核心在于，在教师的引导下，学生通过自主探索，寻找解决问题的策略，掌握学习技能. 在高中数学课堂中实施探究性学习，有助于学生更深入地掌握所学知识，并且更有效地推进学生对相关概念的理解，进而显著提升教学品质和成效. 在教学中，若教师直接将知识灌输给学生，未能为学生提供充足的时间和空间以独立思考和合作探究，则学生的“学”只能停留在浅层次的理解和识记上. 这种做法无法有效提升学生的自主学习能力，也无法促进其思维能力的发展. 因此，在高中数学教学中，教师应具备从学生角度出发的思想，为学生提供充足的时间和空间，以便他们能够自主地进行探索和研究. 这种做法有助于提升学生的自主理解能力，并确保他们的学习能力得到持续的发展. 那么，在高中数学课堂中如何实施探究性学习呢？笔者以“三角函数的化简与求值”为例，探讨如何借助启发式和引导式教学方法，激发学生进行探索性学习.

教学片段

三角函数的化简与求值是学生在学习三角函数之后，通过具体的习题来检验其应用能力的重要内容. 从复杂的三角函数到简洁的结果表征，其间需要的是学生严谨的逻辑推理，而学生的逻辑推理思路之所以能够被激活，很大程度上又取决于对三角函数各种存在形式的基本判断. 在对三角函数进行化简并求值的过程中，虽然表面上看似仅是从函数表达式到数值结果的转换，但实际上这一过程要求学生具备扎实的数学运算能力. 它不同于简单的四则运算，后者往往可以通过思维自动化来完成. 相反，三角函数的化简与求值往往需要依赖直觉思维和逻辑思维的双重支持. 因此，针对三角函数的化简与求值这一教学内容，教师应当重视培养学生思考能力的重要性. 通过科学且有效的引导，激发学生的思维潜能，使他们经历深入的探究活动，从而培养出对三角函数的深刻理解和计算直觉. 具体过程如下：

1. 巧设例题，探寻基本解决方法

例1 求sin50°（1+tan10°）的值.

例题给出后，教师让学生独立求解. 大多数学生能够顺利解决例题，然而，有少数学生遇到了障碍. 在这种情况下，教师并未直接提供答案，而是启发学生思考.

师：我们首先需要解决什么问题？

生1：通过切化弦或弦化切实现三角函数的恒等变形.

师：对于例1，你认为选择哪种方法最佳呢？说说你的理由.

生2：原式是非齐次的，所以选择切化弦最佳.

师：原式由此会变成什么？

生（众）：sin50°

1+

.

师：这里的

1+

是“整式+分式”的形式，我们该如何处理？

教师启发学生结合已有知识和经验，通过通分的方式将分式化简.

师：通分后，式子会变成什么？（教师让学生动手化简）

生3：sin50°·.

师：结合式子的特点，你能将它进一步化简吗？

生4：可以利用辅助角公式进一步化简，得sin50°·=sin50°·=2sin50°.

师：非常好. 根据角之间的联系，能否消除部分角度呢？

学生通过观察易于发现，50°和40°互余，这样式子就可以进一步简化为2sin50°，由此减少了角的数量. 经过上述分析，借助二倍角公式和诱导公式，问题便能迎刃而解.

师：回顾以上求解过程，在处理问题时，我们应用了哪些策略或方法？你有何心得体会？

教师安排时间让学生思考、交流.

生5：在简化包含正弦和正切的表达式时，通常采用切化弦或弦化切的方法来处理. 因为本题涉及一个非齐次式，所以采用切化弦的方法.

生6：在处理“整式+分式”的表达式时，可以通过通分操作来简化式子.

生7：在遇到“asinx+bcosx”的形式时，可以通过辅助角公式来简化式子.

生8：如果式子中涉及多个角，应依据它们的特点，运用角之间的关系进行转换. 例如，这里的50°和40°互余.

生9：掌握倍角公式和诱导公式对于灵活运用数学表达式并简化计算过程至关重要.

在上述教学过程中，教师以学生已有的知识和经验为基础，通过创设“问题串”启发学生思考，引导他们逐步接近学习目标. 这种方法旨在培养学生的理性思维能力，并推动他们向更高层次的认知发展. 同时，教师在启发和引导学生的过程中，帮助他们形成正确的解题策略，并在成功解决问题后引导学生进行总结和归纳，使学生能够更深入地理解此类问题的解决策略，从而增强学生的解题信心.

例2 求的值.

师：式子具有怎样的特点呢？

生10：它是一个齐次式.

生11：有两个未知角.

师：这两个未知角具有怎样的关系呢？如何减少角的数量呢？

学生通过观察，发现了两个等量关系：20°=2·10°，30°=10°+20°.

师：对于该题，你认为是选择20°=2·10°这一等量关系，还是30°=10°+20°这一等量关系更佳呢？（学生积极思考）

生12：利用30°=10°+20°消除角度的差异时，需要注意一个关键问题：尽量让式子简单.

师：消除哪个角可使式子更简单呢？

教师鼓励学生独立思考并动手操作，学生决定消除10°，得到====.

在教学中，一旦学生构建起基本的解题框架，教师便引导他们亲自实践操作. 一方面培养学生的运算能力，另一方面让学生充分体验成功，增强学生的学习信心.

师：当以后遇到需要解决角度差异的问题时，我们还要关注哪些要点？

通过追问让学生知道消除角度并不是随意而为之，而是尽量使式子更简单.

例1和例2的解决，避免了机械性的灌输和简单的模仿，而是通过启发和引导，使学生逐步掌握了解决“三角函数求值问题”的基本方法. 在这一过程中，学生不仅明白了如何操作解法，还理解了解法背后的原理. 这有助于使学生的思维变得有序，并促进知识的内化.

分析上述两个案例可以发现，问题的设计以及解题方法和技巧的把握，实际上贯穿了三角函数化简与求值的整个过程. 进一步分析还可以发现，问题的设计主要针对教师（尽管在学习过程中，学生有时也会提出有价值的问题），而解题方法和技巧的把握则更多面向学生（尽管需要教师的指导）. 因此，紧密围绕“问题”和“解题策略”这两个核心要素来开展三角函数简化和求值的教学，是确保教学关系得以建立，确保学生在学习过程中提升能力和素养的关键. 实际上，在上述案例中，通过教师精心设计的问题和教学过程中的逐步引导，学生确实在掌握了三角函数的基础知识后，能够迅速培养出关于三角函数简化与求值的基本直觉，这为后续进一步提升解题技巧打下了坚实的基础.

2. 自问自答，开发自身潜能

在研究上述两个例题时，通过教师的启发和引导，学生建立了解决此类问题的通用思路框架. 在此基础上，教师可以鼓励学生主动提出问题，以此培养他们的问题意识，并提升他们的自主学习能力.

例3 计算2sin20°+cos10°+tan20°·sin10°值.

在教学中，教师激励学生通过自我提问和自我回答的方式，开启探索的旅程. 这种方法旨在让学生体验解决此类问题的思维过程，从而提升他们发现、分析和解决问题的能力. 学生独立思考，教师则在旁巡视指导，随后邀请学生分享他们的思考和见解.

教师鼓励学生充当“小老师”，学生于是提出了以下问题：

问题1 例3是一个什么问题？具有怎样的特点？该如何处理？

通过提示语，学生了解到这是一道涉及三角函数变换和化简求值的题目. 题目中既有正弦、余弦，还有正切. 对于此类问题，可以采用切化弦的方法来解决.

问题2 这里的角有什么特点？它们之间存在怎样的等量关系？

学生结合已有知识和经验，得到如下等量关系：①20°=2·10°;②10°=30°-20°;③20°=30°-10°.

问题3 利用哪个等量关系消除角度更方便？

学生从式子的结构特征入手，认为使用“10°=30°-20°”来消除角度可使化简后的式子相对简单. 在形成解题思路后，教师安排时间引导学生亲身实践. 在实践过程中，学生又提出了问题. 例如，在化简得到式子3sin20°+·cos20°-·后，学生主动提出了疑问：对于含有整式和分式的式子，该如何处理呢？通过通分得到后，又该如何处理呢？根据式子的特点，不难想到使用倍角公式可以进一步简化原式，得到，再利用辅助角公式得到. 因此，答案为.

在本环节中，教师采用“自问自答”的策略，鼓励学生自主发现、探索和领悟，以充分激发他们的潜能，并增强他们持续学习的能力. 面对这类问题，解决方法并非一成不变. 教师在教学过程中应激发学生思考，引导他们从多角度分析和解决问题，并安排时间让学生进行互动交流，从而加深对相关知识和方法的理解. 这有助于学生找到适合自己的解题策略，进而提高解题技巧.

值得注意的是，鼓励学生“自问自答”旨在激发他们的内在学习动力. 这一点在数学学习中尤为关键. 在传统数学教学中，教师主导课堂的情况较为普遍，这可能削弱学生的主体地位. 而让学生“自问自答”则是一种有效手段，能帮助学生重新确立在课堂上的主体地位. 与其他教学策略相比，“自问自答”并不需要额外的时间和空间资源，它仅仅要求教师在角色上做出适当的转换. 三角函数作为数学的基础知识点，学生在学习和应用过程中往往会产生许多自主思考. 因此，“自问自答”能够满足学生思考的需求，并为他们提供充足的时间去整理和表达自己的问题. 这不仅符合数学学科核心素养中对数学语言应用的要求，也是培养学生数学学科核心素养的重要途径.

教学感悟

在目前高中数学教学过程中，大多数学生在探索和自我驱动学习方面显得不足，对教材内容的理解往往不够深入和全面，导致他们在应用所学知识解决具体问题时显得不够灵活. 因此，教师在教学过程中应当提供更多的机会，引导学生进行独立的探索性学习，以此来提高课堂的教学质量和效率，同时也有助于学生在数学逻辑和推理能力上的成长，以及学习技巧的增强.

1. 学会思考

数学学习的目的不仅在于掌握知识和方法，更在于培养思维方式. 在教学过程中，教师应从教学内容出发，结合实际情况，精心设计“问题串”，以引导和激发学生积极思考，从而改变学生被动跟随教师思路的局面，提高教学效果. 然而，在高中数学教学中，部分教师往往倾向于使用传统的讲授法，导致思考和探究活动缺乏，使得学生的学习仅停在模仿阶段，这不利于学生学习能力的提升. 鉴于此，教师在实际教学中应当引导学生通过自主探究，从无到有地发现并解决问题，使学生能够学会独立思考和学习.

2. 学会提问

众所周知，单纯依靠机械式的训练，难以真正提升学生的解题能力. 在教学中，教师要充分发挥启发者的作用，在关键节点提出问题，引导学生思考与探究. 例如，在探究例1时，部分学生因为不知道如何处理tan10°而陷入迷茫. 教师则从学生的最近发展区出发，适时地提出问题，引导他们运用切化弦的方法找到了解决问题的关键点. 又例如，在探究例2的过程中，在消除角度时，学生给出了“20°=2·10°”和“30°=10°+20°”这两个等量关系. 这时，教师提出了一个问题，引导学生思考如何转化才能达到最优解. 这样做旨在让学生认识到，消除角度的同时，还必须保证次数整齐，从而培养学生的整体意识. 在研究例3的过程中，教师鼓励学生采用“自问自答”的方法来解决问题，旨在通过提问激发深层次的思考，并通过回答来巩固和加强基础技能.

综上所述，在日常教学中，教师应充分尊重学生的主体地位，并引导他们通过自身的努力来彰显这一地位. 这种努力主要表现在对数学知识的深入理解和实际应用，以及在形成、分析和解决数学问题的过程中. 在实际教学中，教师应避免急于向学生透露答案，而应设计一系列合理的问题，引导学生运用自己的方法解决问题，促使学生学会提问、思考，并掌握学习的技巧.