数学“简约美”的教学实践与探索

[摘 要] 爱因斯坦提出：“美，从本质上来说都具有简约性. ”数学学科拥有独特的美，值得每一个人去深究. 文章从“简约美”的概述出发，以“直线的倾斜角和斜率”为例，从“开门见山，新旧知识关联”“问题引领，锤炼数学思维”“积极互动，促进猜想论证”“辨析拓展，深度理解本质”四个方面展开教学实践.

[关键词] 简约美;教学实践;斜率

作者简介：张辉（1977—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作.

>教学实践

教材是教学设计的基本载体，教材编写时受版面限制，必须将“简约”这一理念落实到每个章节中，这就给教师的教学带来了较大的空间. 例如，通过对教材的处理让学生基于辨证视角客观对待每一个问题，为获得科学、简约的结论奠定基础. 再例如，一些看似复杂的几何问题，其核心是简单图形的组合. 只要我们逐层深入，剥去表象，揭示其本质，就能将复杂问题简约化. 这样，课堂上便能充满智慧的光芒.

数学“简约美”的概述

1. 什么是数学“简约美”

高中数学课堂中的“简约美”主要是指将复杂的问题简约化的过程，即将核心知识点作为主体，不断向外拓展蔓延，长出细枝末节，让学生通过对问题的探索建构结构化的知识体系. 因此，简约美模式下的数学教学可将一些抽象的问题形象化、复杂的问题简约化，让课堂教学更加轻松自如.

纵观整个数学史的发展，随着人类思维的成长，研究的数学内容越来越深奥. 为了简化深奥复杂的知识，人类采用了大量简洁的数学符号语言（如公式、定理等）来描述复杂问题.

2. 追求“简约美”课堂的必要性

随着新课改的深入推进，单元整体教学、结构化教学等模式引起了教育界的广泛关注，追求“简约美”的课堂，可帮助学生更好地厘清知识结构，优化知识体系，使教学更具整体性. 实践发现，“简约美”属于核心素养背景下的一种重要教学模式，它在教学内容与形式上都比传统教学模式更清晰. 当然，追求“简约美”的课堂并非将课堂打造成“简单”的课堂，而是在课堂中将复杂的问题“简约化”，由此突出教学重点与难点，从而发展学生的学习能力.

从简约的视角分析教学内容

“直线的倾斜角和斜率”是高中数学的基础内容之一. 新课标对本节课的教学要求为：体会直线上任意两点的坐标、直线的倾斜角、直线的斜率之间存在怎样的关系. 结合学生的认知经验和知识的特性，可以省略传统的教学流程，采用“坡度比”来提炼斜率的概念. 将“斜率概念的提炼”与“通过两点确定直线斜率”的教学内容有机融合，更能突显数学教学的“简约性”.

基于知识展示过程来分析，本节课需要探索的核心问题是：什么是倾斜角？为什么将坐标横轴正向和直线向上方向构成的角定义成倾斜角？斜率是什么？为什么这样定义？从问题的视角出发，借助直线上的任意一点以及该直线的倾斜角，可以明确一条直线. 同样地，利用两个点，也能确定一条直线. 因此，课堂上主要探讨的问题是：“直线的倾斜角α与直线上任意两点的坐标之间存在怎样的关系？”

教学实践

1. 开门见山，新旧知识关联

师：通过对空间向量的探索，大家已经初步建立了立体几何的探索方法. 谁来说一说什么是解析几何？解析几何的发展历程是怎样的？请阅读章引言，思考本节课将要探索的内容是什么.

设计意图 回顾旧知与阅读章引言，一方面揭露解析几何的发展历程，促使学生形成用坐标法探索问题的基本意识;另一方面引导学生从整体的视角来分析问题，从简约的视角来探索内容，进而实现深度学习.

2. 问题引领，锤炼数学思维

若将直线置于平面直角坐标系内，可用什么方法来刻画这条直线具体处于什么位置？为了深入探讨这一问题，教师精心设计了问题链. 通过知识的内在逻辑，引导学生逐步了解和掌握知识要点，并发展数学思维.

问题1 根据以往的学习经验，明确过一点可画无数条直线，那么所画直线之间存在的区别该如何刻画呢？

问题2 关于直线的方向可如何理解？有没有简化方法？

问题3 有什么办法来描述直线的方向？能否从数量的角度进行描述？

问题4 在一个平面直角坐标系内画一次函数图象是大家所熟悉的，除此之外，还有什么办法可以描述直线的方向？

问题5 请在平面直角坐标系中画出具有不同倾斜角（锐角、钝角、直角）的直线，并说明倾斜角的取值范围.

设计意图 问题1旨在引导学生明确直线的几何要素. 问题2则促使学生理解直线方向的概念（直线的方向向上或向右）. 问题3旨在让学生认识到平面直角坐标系是研究直线问题的基础，理解探索直线的方向实际上就是研究直线与坐标横轴之间的夹角. 例如，在图1中，通过将原点设为共同点来研究不同的直线. 问题4旨在引导学生了解直线倾斜角的概念. 问题5则致力于完善学生的认知结构，使他们明确直线倾斜角的取值范围.

3. 积极互动，促进猜想论证

考虑到新旧知识间存在一些联系，可引导学生从自身认知结构出发提出猜想，即直线倾斜角的正切值与一次项系数相等. 通过对“点坐标表示直线倾斜角的正切值”的探索，打破学生固有的思维模式，使课堂在简洁中得到升华.

师：结合我们已有的知识，思考如何用坐标来表示倾斜角，可以举出一些例子来说明.

生1：三角函数涉及使用坐标来刻画角.

师：很好！谈谈你们对于使用坐标刻画倾斜角的想法，并说明理由.

生2：使用倾斜角的正切值来刻画更为恰当，因为过原点的直线上的任意点P（x，y）（x≠0）的纵、横坐标的比值为该直线倾斜角α的正切值，即tanα=. 这样可以简化原本复杂的问题.

师：很好！还有其他理由吗？

生3：tanα是我们所熟悉的一次函数的自变量系数，将新旧知识关联在一起比较容易理解.

师：当一条直线不经过原点时，该如何将其倾斜角“坐标化”呢？

生4：如图2所示，应用平移法将原点O平移到O′的位置.

师：平移后的直线的方向与倾斜角都没有发生变化，由此可想到之前所接触的什么知识？

生（众）：向量.

师：不错，哪位同学能具体描述一下？

生5：在平移后的直线上任取点A（x，y），B（x，y）（x≠x），如果的方向朝上，那么该直线的方向向量为（x-x，y-y），同时过原点与该直线平行的直线的方向向量==（x-x，y-y）. 根据x≠x的条件，结合正切函数的定义，可得=tanα（α≠90°，0≤α<180°）.

师：如果的方向朝上，那么该如何坐标化？

生6：同理得=tanα=（α≠90°，0≤α<180°）.

师：如果直线与坐标横轴恰好重合，会出现什么情况？

生7：上式依然成立，这种情况下的正切值与倾斜角均为零.

随着探索的深入，倾斜角的概念越发清晰. 通过与教师的积极互动，学生清晰掌握了坐标化倾斜角的具体操作方法.

设计意图 问题链引导学生从个人经验出发，逐步克服思维障碍，培养创新思维，并在主动探索、推理和概括的过程中构建新知. 根据认知发展规律可知，学生在接触新知时，首先会尝试用已有的知识去同化它，以达到认知平衡. 如果无法同化，他们将调整现有的知识结构，通过适应新知来恢复认知平衡. 在这一过程中，基于同化和顺应两个维度，激励学生在问题探索中构建新知，在简洁的背景下发展创新意识.

4. 辨析拓展，深度理解本质

从认知心理学的角度来看，概念学习不仅需要适当的拓展，在必要时还需进行推论，这是“精细化”概念的过程. 想要进一步提升教学效果，就需要“深加工”概念的内涵与外延，帮助学生构建清晰的概念体系，对概念形成全面的理解.

探究直线斜率与取点之间的联系，即“精细化”概念的过程，具体可从以下几个角度进行教学.

师：如图3所示，请用网格内的数据算出各条直线的斜率，并思考在没有网格的情况下，可否获得这些直线的斜率. 请与同伴讨论，说说你的发现与猜想.

生8：关于直线斜率的计算，两点的选择方法存在多种，就算选择了两个相同的点，其计算顺序也有所区别.

生9：不管选择哪几个点，获得的斜率是相同的.

师：这些结论适用于一般情况吗？说明理由.

学生通过合作与交流，以图4为例，确认了直线的斜率与直线上点的排列顺序无关. 同时，也有学生利用相似三角形的原理进行了证明.

设计意图 如此设计，凸显了知识发展的自然规律与学生思维发展的一般过程，彰显了数学教学的“简约美”.

几点思考

1. 明确目标是践行“简约”教学的基础

课堂上的所有活动都应围绕教学目标展开，而某些课堂之所以显得冗长和拖沓，往往是因为教学目标不够明确，从而导致教学过程中主次不分明. 在“简约美”教学理念的指导下，首先必须明确教学目标，准确把握课程标准和教材内容，从宏观的角度出发设计教学方案，使学生能够在最短的时间内，构建起最完整且牢固的知识体系.

在本节课的教学准备阶段，教师从课程标准、教学内容特性以及问题产生的角度进行了深入分析，从而确立了明确的教学目标. 课堂上的教学活动紧密围绕这些目标展开，确保每个问题都触及学生思维的最近发展区，促使学生对新知的构建既自然又朴实，且不失简洁. 教学流程的主次分明，使得课堂的“简约美”在强烈的节奏感中得以提升.

2. 重构教材是增进“简约美”的关键

教材是教学的依据，但教材的编写需要考虑不同学情的接纳性. 为了让课堂教学更加简约而自然，教师必须在深入了解学生情况的前提下，精心地重构教材内容，选择与学生契合度更高的教学方法. 在课堂上，究竟应该采用何种教学方式是一个值得深入探讨的问题. 在“简约美”教学理念的指导下，教学应当从“教教材”转变为“用教材教”，这是实现课堂简约而不失深度的关键.

本节课，教材用“坡度比”这一具体情境抽象直线的斜率. 然而，教师基于学生的实际学习情况，决定跳过这一情境，转而引导学生在复习已学知识的基础上引入新主题. 教师鼓励学生从他们现有的认知结构出发，通过问题引导的方式逐步深入理解，取得了预期的教学效果.

3. 科学的方案是优化教学的核心

多个环节构成一节课，各个环节活动的开展都需围绕“怎么教”而设计. 部分教师在某些教学环节上停留时间过长，这影响了整节课的教学进度. 这种做法显然违背了简约、自然的教学理念. 若要真正提升课堂的“简约美”，必须深入了解学生的情况和课程内容的特性，从而制定出科学合理的教学计划. 这样，每个教学环节都能做到既详尽又精炼，有效提高教学质量.

综上所述，追求“简约美”的数学课堂体现了新课改背景下数学教学回归本质的理念. 重要的是，在追求“简约美”时，教师必须注重必要的教学环节，更不要为了追求形式上的“简约美”而生硬套用，以免丧失教学的核心精神.