追求自然、朴实的数学课堂

[摘 要] 随着新课改的推进，各种新兴的教学手段给课堂注入了新的活力. 在这热闹的大环境下，研究者发现回归自然、朴实的课堂教学模式另有一番风采. 文章以“正弦、余弦函数的图象”为例，从“自主阅读，揭示新课”“积极互动，探索画图”“练习训练，巩固提升”“总结归纳，拓展延伸”四个方面展开教学设计，具体探讨关于自然、朴实的数学课堂的实践与思考.

[关键词] 高中数学;课堂教学;自然;朴实

作者简介：张彩霞（1981—），一级教师，从事高中数学教学工作.

数学是自然、朴实、清楚且有用的学科. 如何将这些特点应用在课堂教学中呢？事实证明，教师在课堂中适当引导、鼓励与期盼，可有效激活学生的学习热情，促使学生树立良好的数学观. 因此，大家可将朴实、自然、流畅作为课堂教学的基本标准，以不断优化学生的思维，提升学生的数学学科核心素养.

反观当下的数学课堂，想要达到这一标准并不容易，究其主要原因在于每一位教师的执教理念有较大差别，尤其是新课改的推进让部分教师更注重各种新兴教学手段的应用，一不小心就偏离了教学的初心. 因此，笔者对追求自然、朴实的数学课堂进行了大量实践与思考，现以“正弦、余弦函数的图象”为例，展开教学分析.

教学过程设计

1. 自主阅读，揭示新课

师：本节课将要探索的核心内容为三角函数中正弦、余弦函数的图象. 现在给大家1分钟的时间，打开课本自行阅读，感知本节课将要接触的知识有哪些.

生1：本节课的初始阶段主要涉及正弦、余弦函数的定义及其相关内容.

生（众）：它们的定义域均为R.

师：很好，基于过往的学习经验和刚才的课本阅读，谁能说一说，当遇到一个新函数时，我们一般从哪些方面着手探究？

生2：一般从定义、图象、特殊点、性质等方面去探究.

师：不错，通过之前的学习，大家都已经明确了三角函数有周期性规律，由此让你想到了什么？

生3：“周而复始”，揭露了函数图象的关键特征.

师：本节课我们着重探究正弦、余弦函数的图象，看看它们具备怎样的特征.

设计意图 考虑到部分学生缺乏预习的习惯，因此课堂上给学生1分钟的时间带着问题快速浏览教学内容，初步做到“先学”的目的. 通过阅读课本，学生从简谐运动的位移与时间关系的图象中感知数学与生活、社会、科技的关联性，体会三角函数在变化过程中所拥有的特殊规律，从而更直观地理解正弦、余弦函数图象的特征，为规范、标准地作图奠定基础.

2. 积极互动，探索画图

（1）绘制正弦函数的图象

师：大家认为，如何绘制正弦函数y=sinx的图象呢？

生4：结合以往的学习经验，我们可以通过“列表、描点、作图”这三个步骤来完成绘制.

师：这种方法是否适用于正弦函数呢？现在请大家取出纸、笔、尺等，准备作图.

生5：在取值方面，是否需要从整个实数范围内选取？

师：这是一个非常好的问题. 实际上，取值也需要一定的策略和技巧，并非数量越多越好. 当然，我们也不能随意选取几个数值去描点. 那么，哪位同学愿意具体来说一说？

生6：因为任意角的正弦值，均能转化为区间[0，2π]上的角的正弦值，因此无需描绘太多点.

师：不错！既然明确了这一特点，那么作图就变得简单了. 现在请大家自主作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象，然后比一比谁作出的图象更精确.

师：想要作出精确、规范的图象，有什么地方值得特别注意？

生7：不能减少所描绘的点数，只有当点的数量达到一定阈值时，图象才能变得更加精确.

师：如果准备描绘100个点，那么该怎么取点呢？

生8：我认为可以随机取点.

师：虽然随机取点能够体现函数的特征，但此方法耗时且费力，是否存在更为便捷的方法呢？

生9：用“等间隔法”来取点，效果不错. 例如将区间[0，2π]分为100等份，从0开始，每隔个单位长度就取一个x值，那么就存在一个相对应的y值，然后通过描点、连线，获得图象.

师：这是一个不错的方法，所取的点既有规律又有代表性. 问题是当我们取到x值时，又如何获得对应的y值呢？

生10：由于这些角度的正弦值并不常见，因此需要查阅表格或使用计算器来获取相应的数值.

师：但由这种方法得到的数值只是近似值，无法精确描绘出点的位置. 那么，我们如何解决这个问题呢？换句话来说，我们能否找到一种方法来准确表示某个角度的正弦值？

（学生摇头）

师：大家之前是否遇到过可以用来表示正弦值的方法？

生11：遇到过，正弦线可以用来表示正弦值.

师：具体该怎么操作呢？

生11：第一步，绘制角α的终边，获得该边与单位圆的交点P，同时过点P作x轴的垂线，M为垂足，由此获得线段MP=sinα.

教师充分肯定了这位学生的方法，并引导学生将区间[0，2π]分为12等份，从0开始，每隔个单位长度取一个x值，在单位圆上绘制与这些角有关的正弦线. 教师邀请学生上黑板展示作图技巧，并要求他们根据y=sinx位于区间[0，2π]上的图象，自主分析y=sinx于实数范围内的图象的绘制方法.

生12：只要将y=sinx位于区间[0，2π]内的图象进行左、右平移即可.

师：这种思路没问题，但表述得还不精确，应该说清楚平移多少个单位长度，比如平移1个单位长度行不行？

生13：不行.

师：现在请大家再次回归到课本，看看教材是如何描述“正弦函数图象（正弦曲线）”的. 若作正弦函数位于区间[0，2π]内的图象，均采取这种描点法，会不会比较烦琐？有没有办法能更加简单、快捷地作出y=sinx位于区间[0，2π]内的图象？

生14：我认为只要将五个特殊点描绘准确了，大致图象就出来了.

师：哦？具体说一说是哪五个点.

生14：（0，0），（π，0），

，-1，

，1和（2π，0）.

师：大家赞同这位同学的说法吗？为什么？

生15：赞同，因为他捕捉到了问题中的主要矛盾，这五个点容易确定又很重要，分别涵盖了函数的最高点和最低点，以及与x轴的交点，等等.

师：非常好！现在我们已经初步了解了正弦曲线的形状，在对图象精确度要求不特别高的情况下，可借助这五个关键点绘图，这种方法省时省力，实用性强. 但这种方法的精确度有限，仅适用于制作简图或大致的图象.

（2）绘制余弦函数的图象

师：接下来，我们一起探索“余弦函数y=cosx的图象”的绘制法.

生16：先绘制y=cosx位于[0，2π]内的图象，再进行左、右平移.

师：这是通过类比正弦函数的作图方法来绘制余弦函数的图象，然而这种方法耗时且费力. 是否存在更简便的作图方法呢？我们可以从以下这个方面进行思考：正弦函数与余弦函数之间存在着紧密的联系. 既然正弦函数的图象已经清晰了，那么我们能否从这两个函数之间的关系中，探索出一种更简便的作图方法呢？

生17：这两个函数之间的关系有sin2x+cos2x=1，cosx=sin

-x，cosx=sin

+x.

师：你们认为这三个关系式中，哪一个更易于绘制余弦函数的图象？请说明理由.

生18：用cosx=sin

+x更易于绘制余弦函数的图象. 理由为：sin2x+cos2x=1为平方关系，这类关系式所对应的图象不明确;从y=sinx到y=sin

-x=cosx，需经过两次转化，比较复杂;而从y=sinx到y=sin

+x=cosx，仅需一次平移即可，因此更加简便.

师生通过共同探索，发现余弦函数的图象可由正弦函数y=sinx的图象向左平移个单位长度得到. 同时，正弦、余弦曲线处于直线y=1与y=-1之间，并向左、右无限延伸，它们的形状完全一致，仅在位置上有所区别.

设计意图 在师生互动与探索的过程中，学生对正弦和余弦函数的作图方法的理解和掌握经历了以下四个主要思维阶段：①简化作图，以作y=sinx，x∈R的图象为起点，简化为作y=sinx，x∈

0，

的图象;②从毫无规律的描点，转变为利用单位圆的正弦线来作图;③从作精确图象转化为作大致图象;④将正弦函数的图象平移为余弦函数的图象. 学生的思维在连贯的转化过程中不断得到优化和提升，潜移默化中培养了转化与化归思想.

3. 练习训练，巩固提升

要求学生自主作出下列函数的大致图象：①y=1+sinx，x∈[-π，π];②y=-cosx，x∈[-π，π].

学生自主完成作图，教师随后挑选两位学生的画作进行投影展示，与全班同学一起探讨在作图过程中应注意的事项，并共同思考以下问题：①如何寻找五个点？②如何进行图象变化？③在作图的过程中，哪些环节容易出错？

设计意图 具有明确针对性的练习不仅能够加强学生对正弦和余弦函数图象的理解，深化他们运用“五点法”作图以及掌握图象变化的实际操作能力，还能助力学生提炼转化思想和数形结合思想.

4. 总结归纳，拓展延伸

要求学生阐述本节课所学的绘制正弦、余弦函数图象的方法，每种方法具有什么特点，以及它们涉及哪些数学思想;要求学生课后应用本节课所学的方法作y=sinx的图象，分析不等式sinx<（x∈[-π，π]）的解.

设计意图 回顾作图方法有助于学生维持思维的连贯性，而拓展作业则为深入探索作图方法的内涵打下基础，同时也能在一定程度上激发学生的探索热情.

几点感悟

1. 在自然的基础上进行课堂预设

深入掌握学情是精心设计和促进课堂动态生成的核心，鉴于部分学生未能充分预习，教师应在课堂上安排时间让学生阅读教材，以便对教学内容有一个初步的了解. 这种教学策略本质上对教师的教学能力提出了更高的要求，它体现了教师的专业素质和对教学的敏感度. 课堂预设的多少直接决定了课堂是富有创造性的生成型还是单向的注入式. 预设不足可能导致授课时内容牵强附会;预设过多则可能造成填鸭式的教学;只有科学和适度的预设，才能使课堂自然流畅、真实有效.

在倡导课堂自然生成的教育理念下，对预设情境的重视显得尤为关键. 本节课在知识的连接点上采用了自然预设的方式，并取得了显著的教学效果. 例如，在探讨如何由y=sinx的图象获得y=cosx的图象时，尽管课前预设能使学生准确运用平移方法来解决问题，但在实际教学过程中，学生的表述尚不充分. 因此，教师适时地提出了“平移1个单位长度行不行”的问题，巧妙地促进了学生认知体系的完善.

2. 在朴实的基础上突破教学难点

如果教师采取“告知式”的教学方式来解释为何使用正弦线描绘正弦函数在区间[0，2π]上的图象，那么学生可能感到困惑：为什么这种方法更精确？是如何想到这种方法的？将单位圆等分的理由是什么？有些点可以描得很准确，为何还要借助正弦线来描点？等等. 如果教师引导学生自主联想到正弦线，那么上述问题便可迎刃而解，学生亦能从本质上理解并掌握其原理.

因此，教师应在朴实的基础上引导学生突破教学重点与难点，为学生的思维搭建“脚手架”，使他们从本质上理解描点法画图时所选择的点必须具有典型代表性，而非仅仅追求数量. 正弦线正是这种选择的典范.

3. 在流畅的基础上渗透数学思想

众所周知，知识的掌握是暂时的，而思想方法的掌握才是长久的，数学思想方法隐藏在知识的探索过程中. 本节课的探索过程之所以自然、流畅，正是因为对思想方法的处理较为灵活，例如数形结合思想的形成，就经历了“数”与“形”互相转化的过程. 即以“形”为起点，通过作图来揭示三角函数的变化规律，引导学生在感知、操作、思辨、计算的过程中提炼出数形结合思想.

另外，就作图而言，精准度与效率是关键，因此选点尤为重要. 通过探索发现，绘制正弦函数图象时选取五个特殊点，可以显著提高绘图效率. 这一过程紧密贴合数学的本质，体现了化归与转化思想，同时也使课堂更加自然、朴实、高效.

总之，数学学科对于学生的智力和理性思维的发展具有深远的价值和意义. 教师在教学时应遵循自然、简洁、流畅的教学原则，从而有效地实现教学目标，培养学生的数学学科核心素养.