构建自主探究课堂 促进学生思维进阶

[摘 要] 数学教学是数学思维教学，课堂教学应立足学生数学思维的发展，为学生提供独立思考和合作探究的时间和空间，引导学生主动参与知识建构，培养学生的理性思维，让学生习得终身受益的关键能力. 在具体实施过程中，教师应从学生的角度出发，精心构建由浅入深、逐步精细化的思维框架，鼓励学生积极主动探究新知，从而实现深度学习，提高学生的思维能力，落实数学学科核心素养.

[关键词] 自主探究;数学思维;理性思维;数学学科核心素养

作者简介：徐金兰（1975—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作.

高中数学教学的重要任务之一，就是促进学生的思维发展. 站在学生的角度看思维发展，也就意味着思维从低阶走向高阶. 摆在数学教师面前的重要课题之一，是如何促进学生的思维进阶. 显而易见，学生的思维发展主要在课堂上进行，而课堂教学设计的质量直接决定学生思维境界的高度. 思维进阶是学生自己的事情，学生只有在充分体验、主动学习的过程中才能实现思维进阶，这就需要教师构建能够保障学生自主定位、能够让学生主动探究的课堂. 因此，自主探究课堂的构建与学生思维能力的提升之间存在着直接的因果联系. 教师必须设计出具有鲜明自主性和探究性的课堂环境，以便为学生的思维能力提升奠定坚实的基础. 接下来，从解决问题的角度出发，探讨笔者的一些实际操作和思考.

问题提出

高中数学中的问题常常以习题的形式出现，习题解答的过程很大程度上对应着问题解决的过程. 解析几何以其鲜明的数形结合思想和对数学知识方法的广泛包容性，成为反映学生思维水平的有效工具. 相应地，其教学活动能够成为推动学生思维能力提升的关键途径. 在解析几何的学习过程中，学生应被赋予自主探索的空间，这同样为教师在教学设计与执行方面提供了重要的指导思路.

例题 如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，且过点

，

，点P为椭圆上一点， 且点P在第四象限，点A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，连接PA，PB，分别交坐标轴于点C，D.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）求△PCD面积的最大值.

例题是一道典型的解析几何题，此类题目在平时教学中重点讲解并练习过，但是从模拟考试效果来看，未达到预期效果. 考试后统计本班学生的得分结果，发现大约60%的学生在第（1）问中得到了满分，而第（2）问的得分情况并不理想，几乎没有人能够拿到满分. 认真分析学生的试卷，并与部分学生进行访谈，发现学生在解题过程中存在以下几个问题.

第（1）问，大多数学生能根据已知条件构建关于a，b，c的方程组，不过在解方程组的过程中，部分学生因为运算错误而没有得到答案. 当然，也有学生对离心率及a，b，c之间的对应关系的理解不够深刻，没有形成正确的解题思路.

第（2）问是一个动点问题，部分基础较为薄弱的学生看到动点问题就出现了畏难情绪，所以直接放弃解答;也有部分学生选择引入点P的坐标，但是引入后却不知道如何表示△PCD的面积（即使表示出来也不知道如何转化为代数式求最值），从而半途而废;还有学生在解题时选择设直线PB的斜率为k，试图通过与椭圆方程联立，从而求出点P的坐标，但是因为感觉运算烦琐，未能进行到底.

从上述反馈来看，学生在解决此类问题时没有形成适度模式化操作的经验模块，解题思路单一，数学运算能力不高，逻辑推理能力低下，缺乏转化与化归和数形结合思想. 因此，教学中有必要“借题发挥”，充分挖掘题目背后的价值，助力学生提升解题能力，发展高阶思维能力，促进学生数学学科核心素养的自然生成.

问题解决

师：题设信息中出现了离心率、对于这一条件，我们在解题时一般如何处理？

生1：由于离心率e=，因此可以得到a，c之间的关系.

生2：也可以由=1-e2得到a，b之间的关系.

生3：椭圆的离心率可以转化为a，c或a，b的比值，也可以将其看成直角三角形中一个锐角的三角函数值.

师：说得非常好，至于最终转化为何种形式，需要结合题设中的其他信息做进一步的选择. 对于例题，你们认为如何转化可以达到简化运算的效果呢？

教师预留时间供学生复习，最终明确：对于本题而言，将离心率转化为a，b之间的关系，显然比建构关于a，b，c的方程组更高效，可以有效降低运算成本，提高解题效率.

教学说明 对于第（1）问，部分学生之所以没有得到正确的答案，一是学生的计算能力较弱，二是在理解及处理离心率方面有所不足. 基于此，在讲解第（1）问的过程中，教师通过创设开放性问题引导学生回顾离心率的处理方法，以此激活学生已有的认知经验，帮助学生构建完善的思维体系，提高学生分析和解决问题的能力. 另外，学生得到多种转化方法后，教师预留时间供学生思考最优方式，以此培养学生的最优意识，有效提升解题效率，促进学生高阶思维的发展.

师：你们认为解决第（2）问的关键点在哪里？

生4：把△PCD的面积表示出来.

师：很好. 那么，应如何表示呢？

（教师预留时间供学生思考，并交流自己的想法，以便学生通过再探究找到解题的突破口. ）

生5：最初我是这样想的：先求出线段CD的长，再求出点P到CD的距离，最后表示出△PCD的面积. 不过没有成功.

生6：我想分别求出线段PC，PD，CD的长，然后利用海伦公式表示出△PCD的面积，但感觉用这种方法运算比较烦琐.

生7：能不能求出PC，PD的长以及∠P，用PC·PDsinP表示△PCD的面积呢？

师：看来△PCD面积的表示方法真是多种多样，不过，不同的表示方法的运算量有所不同. 解题时不要急于动笔，应该先合理预判解题方法，以免误入歧途，影响解题效率. 在解决该题时，我们先要考虑如何简约表示△PCD的面积，以便合理引入参数，高效解决问题. 你们认为如何表示△PCD的面积更简约呢？

生8：点P是一个动点，点C，D随着点P的运动而运动，因此不妨设点P的坐标，将△PCD的面积用点P的坐标表示出来.

师：具体如何表示呢？

生8：已知椭圆的标准方程为+y2=1，易求点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1）. 设P（x，y），C（0，m），D（n，0），又P，A，C三点共线，所以=. 同理，点P，B，D三点共线，所以=. 所以，m=，n=. 所以，S=S-S=·AD·

y-AD·

y=

+2

·

-y

. 我做到这里就没有继续下去了，感觉运算太复杂了，很难求出其最值.

师：生8虽然没有得到最终结果，但是在求C，D坐标时用到了“三点共线”这个定理，非常精彩. 在考试过程中，也有许多同学采用了与生8同样的思路，不过在处理二元分式时遇到了困难，最终半途而废. 难道该方法真的行不通吗？

生9：通分后可得

=·.观察这个分式不难发现，它是由x-2y+2和-xy组成的. 如果能够找到它们之间的联系就好了.

师：很好，它们之间会有怎样的联系呢？结合椭圆方程的结构特征，看看可以如何转化呢？

（教师预留时间供学生思考，很快就有学生有了新的发现.）

生10：（x0-2y0+2）2=（x+4y+4）+4（x0-2y0）-4x0y0=4（x0-2y0+2）-4x0y0，令t=x0-2y0+2≤+2=2+2，则-x0y0=-t，S=·=·=·（t-4）≤（2+2-4）=-1，当且仅当x=，y=-时取等号. 所以，△PCD面积的最大值为-1.

师：非常好，从整体出发，通过换元、消元等运算，构造单元函数，顺利地解决了问题. 整个过程思路清晰、运算严谨，展现了较强的分析和推理能力.

教学说明 数学课堂是学生的舞台，只有当学生积极参与时，课堂才能发挥最大的效用. 在教学中，若教师直接将自己所理解的“最优答案”抛给学生，学生或许能够理解这个“最优答案”，但由于缺乏思考和探索的过程，他们很难形成深刻的印象. 这很容易导致“懂而不会”情况的发生. 基于此，教师应从学生的视角出发，重视呈现学生的思考过程，顺应学生的思维进行适度的启发和点拨，以此帮助学生突破思维障碍，重拾解题信心，提升教学有效性.

师：以上方法虽然能够顺利地解决问题，但是双变量最值问题处理起来过于复杂，对运算能力的要求较高，很容易陷入思维瓶颈. 那么，有没有其他方法呢？

生11：结合已知条件，不妨设直线PB的方程为y=kx+1

. 这样便转化成了单变量最值问题，但是其结构比较复杂，我不知道接下来该如何计算.

师：思路非常清晰，在解题时充分考虑了隐含条件k<-，可见生11考虑问题非常周到. 这里一定要设直线PB的斜率吗？是否可以设直线PA的斜率呢？（学生积极思考）

生12：可设直线PA的斜率为k，不过将其与椭圆方程联立，所得方程不缺常数项，这样在求点P的坐标时需要因式分解，显然比设直线PB的斜率更复杂.

师：很好，通过对比分析易于发现，生11所用的方法是一个优秀的方法，不过，为什么在最后化简时会遇到困难呢？是否可以简化呢？

生13：m=可以进一步化简，得到m=. 将其代入面积表达式可得S= -2·. 令t=1+2k<0，则f（t）=2≤2×=-1，当且仅当k=时取等号. 所以，△PCD面积的最大值为-1.

师：很好，看来运算时要多观察、多分析，这样能达到优化运算的效果.

教学说明 在明确目标的指引下引导学生积极参与解题过程，有利于培养学生的理性思维习惯，促进学生的思维向高层次进阶.

问题解决后，教师预留时间让学生将以上两种方法进行对比分析，进一步体会两种方法的优势和不足，通过有效反思和归纳，帮助学生形成解决此类问题的一般思路，提高学生分析和解决问题的能力. 当然，对于本题，其解法并不局限于以上两种，教师还可以启发运用化动为静、数形结合、化归与转化等思想方法来探索问题，以此通过多角度探索，帮助学生突破思维障碍，提升学生的解题能力，增强学生的解题信心.

教学思考

在解析几何问题面前，学生常常会有这样的感受：一听就会，一做就错. 那么，在学习过程中，为什么会出现这种现象呢？其实这与教师的教学方式和学生的学习方式息息相关. 从“教”的角度来看，部分教师习惯以自己的主观意识为出发点，将自己认为的最优解题方法“灌输”给学生，导致学生缺乏独立思考和自主探究的经历，难以达到深刻的理解，使得学生在遇到相似的问题情境时依然一筹莫展. 从“学”的视角分析，受传统讲授式教学模式的影响，学生容易对教师产生依赖. 在教师的带领下，学生能够很漂亮地解决问题，但是独立求解时却束手无策. 另外，师生为了追求解题速度，常常在形成解题思路后便急于探索后面的问题，而忽略了对运算能力的有效训练，使得学生在运算过程中漏洞百出，直接影响解题效果. 因此，在实际教学中，教师要改变传统的教学模式，给学生更多的时间展示自己，让学生在探究中逐渐完善自己，切实提升学生的解题能力，发展学生的数学学科核心素养.

总之，在高中数学教学中，教师不要急于求成，应关注学生的认知起点，合理创设问题进行适度的启发和指导，充分发挥学生的主体价值，这是学生在课堂上具有自主性的保障;让学生亲历问题发现、分析、解决等过程，以此帮助学生积累丰富的活动经验，这是学生在课堂上具有探究性的保障. 在确保学生数学学习的自主性和探究性的同时，他们便能在学习过程中有效地克服思维障碍，进而推动自己的思维向更高层次发展.