回归知识原点 追寻数学本质

[摘 要] 在新课改背景下，概念教学的研究受到广大教育工作者的关注. 概念是构成数学体系的“细胞”，想要提高其教学实效，最好的办法就是带领学生回归知识原点，追寻数学本质. 文章以“幂函数”的概念教学为例，从“温故知新，导入新课”“问题驱动，建构概念”“辨析概念，深化理解”“结合性质，描绘图象”“归纳提炼，完善性质”“实际应用，发展学力”等方面设计教学活动，并有针对性地提出一些思考.

[关键词] 知识原点;数学本质;概念教学

作者简介：徐纪伟（1988—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.

概念是构成数学体系的“细胞”. 数学概念以星链状分布在整个数学体系内，不同概念之间互相独立又关联. 想要让学生基于深度学习视域理解概念的内涵与外延，最好的办法就是在课堂中带领学生回归概念形成的原点，亲历概念形成与发展的过程，实现从感性思维到理性思维的转变. 此为夯牢知识基础，发展数学学科核心素养的重要路径. 笔者在“幂函数”的概念教学中，通过回归知识原点去追寻其本质.

教学过程

1. 温故知新，导入新课

知识的形成与发展是一个逐步积累的过程，而幂函数概念的构建也是基于学生现有的认知经验逐步建立起来的. 因此，教师需有意识地带领学生回归知识原点，促使学生从原点出发，探索概念的形成与发展，为揭露数学本质奠定基础. 如何让课堂丰富、有趣且充满探索味呢？结合学生认知特点设计恰当的问题情境，可帮助学生温习旧知，为导入新课做好铺垫.

情境 数学知识源于生活，又服务于生活. 这是一个广为人知的事实. 然而，如何培养敏锐的洞察力，去发现日常生活中隐藏的数学奥秘呢？这需要我们投入情感，深入体验和观察生活. 例如，老师每天往返于家校之间，必经一家面包店，根据这一现象，请大家思考以下问题.

（1）老师往返于家校之间的交通工具为自行车，若x分钟骑行了1千米，则老师的平均骑行速度v为______.

（2）已知面包店的占地为一个正方形，边长是x米，那么该面包店的占地面积S为______.

（3）老师买了一块面包，店家用一个正方体的打包盒包装，已知该打包盒的棱长是x厘米，那么该打包盒的体积V为______.

设计意图 在本节课之前，学生学习过一次函数、二次函数、反比例函数等，这些都是本节课构建幂函数知识的基础. 带领学生回归知识原点，基于学生所熟悉的生活情境，利用几个简单的问题巧妙地将与幂函数相关的知识串联起来，使学生的思维自然过渡，且为探索幂函数的概念夯实了基础. 低门槛的导入设计，可增强学生的参与度，让每个学生都积极主动地参与到课堂中来，并对学习充满信心.

2. 问题驱动，建构概念

为了激发学生主动回归知识原点，并为深入理解幂函数的概念打下坚实的基础，教师在这一环节引入以下问题.

问题1 如图1所示，①，②，③分别为函数y=ax，y=bx，y=cx的图象. 请仔细观察图象，比较以下各组数的大小：a，b，c;a，b，c;aα，bα，cα（α≠0）.

随着问题的解决，师生共同总结：以上函数都呈现出了y=xα的形式，此类形式的函数统称为幂函数，常数为α，自变量为x. 教师趁机揭露此为本节课的探索主题——幂函数.

设计意图 此问涉及学生所熟悉的指数函数，以此作为导入素材，可激发学生的学习兴趣. 其中，比较a，b，c的大小，意在帮助学生巩固“用x=1判定底数大小”;比较a，b，c的大小，意在启迪学生“在x=-的条件下判定函数值的大小”. 前两个问题的探索，为分类比较aα，bα，cα的大小奠定了基础.

随着上述问题的解决，学生的思维经历了从特殊到一般的过程. 同时，这组比较问题引导学生回归知识的根基，使他们对幂函数的标准形式有了初步的了解. 实践证明，问题正是激发学生深入探究的利器，在问题的引领下，学生的思维变得更加敏捷.

3. 辨析概念，深化理解

问题2 辨析下列函数，指明哪些属于幂函数：①y=3x;②y=x3;③y=3x2;④y=x-3;⑤y=2x3-1.

设计意图 概念辨析应从概念的本质入手. 仔细观察这五个函数，不难看出，函数①和函数②在形式上极为相似，但又有所区别. 摆放这两个函数，旨在引导学生对比幂函数与指数函数，深入理解它们之间的差异. 摆放后面三个函数，则旨在进一步加深学生对幂函数的理解. 如此设计，则是为了进一步巩固学生的概念基础，为接下来的教学做好铺垫.

4. 结合性质，描绘图象

之前研究指数函数与对数函数的性质时，都应用了描点绘图法——获得图象后探索其性质. 教师鼓励学生结合学习经验，讨论抽象出幂函数的概念后，还需要研究什么. 毫无悬念，学生一致表示要先画图，再探索其性质. 考虑到学生已经具备了一定的研究经验，教师决定反其道而行之，即引导学生先研究幂函数的性质，根据其性质再绘制其图象.

问题3 分别将函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x的图象绘制在同一平面直角坐标系内.

学生自主作图，其中y=x，y=x2，y=x-1的作图方法处于学生认知范围内，因此没有什么障碍，但绘制函数y=x3，y=x的图象，却让学生感到困难.

问题4 分别探索函数y=x3，y=x的性质——可从函数的奇偶性、单调性、值域与定义域等维度展开分析.

函数y=x3的值域与定义域均为R，此为一个单调递增的奇函数. 单调递增的图象可以分为直线和曲线两大类. 显然，此函数的图象属于曲线类型. 曲线的弯曲程度又可以细分为两种情况，这要求学生自行选择点进行分析. 对于函数y=x的图象，同样以这种方法去探索，即先分析其性质，根据其性质再获得其图象.

问题5 类比绘制函数y=x3，y=x图象的方法，以合作交流的方式作函数y=x-2，y=x，y=x的图象，并汇总结论（汇总结果见表1）.

设计意图 让学生自主发现、提出并分析问题，可有效推动学生“四能”的发展. 在这一教学环节中，引导学生从他们熟悉的函数概念出发，但又不拘泥于传统教学模式，有效地激发了学生探索新知的兴趣，并为他们深入研究复杂的幂函数打下了坚实的基础. 当然，函数y=x3，y=x图象的获得并非一帆风顺，其中少不了教师适当的点拨以及学生的自主尝试与思考. 而函数y=x-2，y=x，y=x图象的探索与总结，不仅为学生提供了丰富的思维空间，促进了合作学习的机会，还进一步巩固了学生的知识基础. 这种设计能够有效提升学生的思维能力，使他们能够从知识原点出发，自主地揭示数学的内在本质.

5. 归纳提炼，完善性质

问题6 基于以上探索，请自主总结幂函数的性质.

关于函数y=xα的单调性为：当α>1时，函数y=xα呈现单调递增的趋势;当α<0时，函数y=xα呈现单调递减的趋势;当0<α<1时，函数y=xα呈现单调递增的趋势.

关于函数y=x（p，q互为质整数）的奇偶性为：在p取值为偶，q取值为奇的情况下，函数y=x为偶函数;在p，q均为奇的情况下，函数y=x为奇函数;在p取值为奇，q取值为偶的情况下，函数y=x为非奇非偶函数.

设计意图 通过归纳和提炼，帮助学生更全面地理解幂函数的性质. 在从特殊到一般的思维引导下，学生逐渐完善他们的认知结构，加深对幂函数概念及其性质的理解，从而为灵活运用幂函数解决实际问题打下坚实的基础.

6. 实际应用，发展学力

例1 如图2所示，图中曲线为幂函数y=xα位于坐标系内第一象限的图象，且明确α的值分别是2，，1，-1，那么图中C～C的排列顺序是______.

根据幂函数的特征，学生首先判断出在α=1时，曲线为C;结合幂函数的单调性，知道曲线C为α=-1时的图象;结合α>1时图象在（0，+∞）上位于直线y=x上方的性质，判断出曲线C为α=2时的图象;根据0<α<1时，幂函数y=xα的图象在（0，+∞）上位于直线y=x下方的性质，得到曲线C为α=的图象. 当然，也有学生直接利用幂函数y=xα在图象逆时针旋转时α值逐渐增大的特性，迅速地排列出顺序.

设计意图 对幂函数图象位置关系的深入探究，进一步加深学生对幂函数特性的理解，同时巩固基础知识，并促进学生能力的提升.

例2 已知幂函数y=x（a∈Z）的图象与直角坐标系的坐标轴之间不存在公共点，若该函数图象关于坐标纵轴对称，那么a的值是什么？

因为该函数与坐标轴不存在公共点，所以a2-2a-3<0. 又其图象关于坐标纵轴对称，所以其为偶函数. 因此确定a2-2a-3为小于0的偶数，而符合条件的只有a=1.

设计意图 本题旨在深化学生对不同指数函数图象的理解，巩固幂函数奇偶性质的基础知识. 通过引导学生在知识迁移的过程中逐步提高思维灵活性，帮助他们深入理解数学的内在本质，并促进核心素养的发展.

教学思考

1. 回归原点是概念教学的基础

数学教育家弗赖登塔尔和克莱因极力主张教师应通过“再创造”教材来激发学生的学习兴趣，促使他们积极主动地参与数学知识的探索，并亲身体验数学创造的过程[1]. 为了让学生在概念教学中构建起一个完整的认知体系，教师应当引导学生追溯至概念形成的起点，深入探究概念的起源和发展过程，从而为揭示数学的内在本质打下坚实的基础. 幂函数的定义相对直观，通过引导学生回顾一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等先前掌握的数学概念，可以自然而然地引出幂函数的定义. 这种回归基础知识的教学方法，不仅能帮助学生构建知识体系，还能激发他们在独立探索和交流过程中培养有效的知识迁移能力.

2. 追寻知识本质是概念教学的关键

何为本质？从字面上理解，本质就是某种事物本身所具备的形体，可引申为固有的根本属性;从哲学的视角来看，本质则为事物存在的依托，是一种事物与另一种事物区分的特质. 数学本质则指数学知识所固有的根本属性. 本节课，教师从幂函数概念的起源入手，引导学生探讨其本质. 这不仅帮助学生构建了知识体系，还促进了他们能力的发展.

3. 发展核心素养是概念教学的目标

新课标引领下的概念教学，必然以发展核心素养为主要目标. 然而，核心素养的发展却非一蹴而就的事情，需要师生共同努力，通过长期、循序渐进的渗透逐步完成. 教师在制定教学方案时，要将学生认知水平与核心素养目标考虑进去，并渗透到教学的每一个环节，让学生在润物细无声中逐步提升认知水平，提炼数学思想方法，获得数学审美能力，形成良好的逻辑推理、数据分析、数学抽象、直观想象等核心素养. 在本节课的每一个教学环节中，教师都秉承“生本”理念，引导学生主动探索、构建并内化新知，从而形成了结构化的思维模式，为发展核心素养奠定了基础.

总之，“回归知识原点，追寻数学本质”是概念教学应秉承的基本理念. 在教学实践中，教师要关注学生已有的认知水平，根据学情与教情精心设计问题，不断推动学生思维的发展，提升学生的学习能力和核心素养.

参考文献：

[1] 贺旭. 根置教材，关注本质：以“幂函数”教学为例[J]. 中小学数学（高中版），2015（12）：32-34.