立足学生发展 提升数学素养

[摘 要] 新课标强调学生的全面发展及数学学科核心素养的落实. 基于这一目标，教师需及时更新教学理念，以及数学学科核心素养的培养机制，引导学生深入理解数学知识的形成过程，充分挖掘学生的主体潜能，以促进其长期发展. 在讲授等比数列的定义及其通项公式时，教师应以核心素养为指导，以学生发展为重心，精心策划教学流程，引导学生通过类比的方式进行分析、探索和归纳，从而逐步增强学生的综合能力和素养，提升教学有效性.

[关键词] 核心素养;等比数列;类比

作者简介：包洪乾（1981—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学工作.

随着《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称新课标）的发布，培养学生的数学学科核心素养已成为高中数学教学的核心任务. 对于每位数学教师来说，如何在继承数学教学的优良传统的同时，为学生数学学科核心素养的发展探索新的路径，是一个需要在教学实践中不断学习、思考和反思的问题. 作者认为，鉴于新课标已经明确指出数学学科核心素养的发展是数学教学的主要目标，当前的教学活动应以此目标为导向. 同时，必须认识到学科核心素养的发展是学生个人的事情，教师的所有努力最终都应服务于学生的实际需求. 因此，只有坚持以学生为中心的教学理念，激发学生在数学学习中对知识积累和核心素养发展的内在动力，才能确保核心素养的真正落实.

等比数列作为高中数学的核心内容之一，同时也是高考中的关键考查点. 在讲授等比数列时，笔者依据学生的已有知识和经验，精心设计了一系列探究性问题，旨在引导学生主动参与知识的形成过程. 现将教学设计过程分享给大家，供参考. 若有不足，请指正.

教学分析

1. 教材分析与学情分析

等比数列是紧随等差数列之后，又一基础且普遍的数列类型，它标志着对数列知识的进一步深入探究与拓展. 等比数列与等差数列虽共享诸多相似性质，但二者间亦存在显著差异. 在对等比数列进行研究时，可将其与等差数列进行类比，以此归纳等比数列的概念，推导等比数列的通项公式，从而培养学生的自主探究能力，提升学生的数学素养.

从学生的知识基础出发，他们在学习等比数列时，不仅可能唤醒大脑中与等比数列相关的、但尚未用专业数学语言表述的直觉经验，还可能激发基于等比数列规律的规律性思维. 对于高中生而言，掌握基本的等比数列通常不是难题，他们往往能够迅速识别其中的规律，并用准确的数学语言进行描述. 因此，在教学过程中，教师应充分考虑学生的这一实际能力，采取循序渐进的教学策略，以促进学生在等比数列知识构建上的优秀表现. 这不仅有助于数学知识的积累，而且对于数学学科核心素养的发展，特别是数学思维的培养，具有重要的积极影响.

2. 教学目标

（1）理解和掌握等比数列的定义，了解公比、中项的概念;

（2）精通等比数列的通项公式及其推导过程，并能够运用该公式解决实际问题;

（3）通过类比探究，培养学生分析、归纳、推理的能力，以提升其数学学科核心素养.

3. 教学重点和难点

（1）掌握等比数列的定义及其通项公式;

（2）应用等比数列的定义及其通项公式.

教学过程

1. 回顾旧知，引出主题

问题1 我们学习了等差数列的哪些内容？当时我们是如何研究的？

师生活动：教师提出问题，学生归纳总结.

设计意图 引导学生回顾等差数列的相关知识，为掌握等比数列的定义及其通项公式提供必要的知识准备.

情境1 曾有一位数学家说过，如果将一张纸对折38次，他就可以顺着纸爬到月球上去. 那么，每次对折后纸张的层数是多少？真的有那么长吗？

师生活动：学生动手操作，思考交流.

设计意图 引导学生动手操作，发现蕴含其中的规律，为等比数列的引入积累感性素材. 同时借助情境让学生感受数列在生活中的实际应用，为后续等比数列求和埋下伏笔.

2. 自主探究，提升能力

问题2 观察下列数列，看看它们有何共同特点. 结合等差数列的学习经验，你能用数学语言来表示共同特点吗？

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

设计意图 借助实例引导学生对比观察、归纳总结，自然引出新课程——等比数列.

问题3 对比等差数列和等比数列，请说一说，两者有何异同呢？

师生活动：问题给出后，学生积极互动交流，明确两个数列的后项与前项存在某种数量关系，在等差数列中，这个数量关系是通过作差来呈现的，而在等比数列中，则是通过作商来呈现的.

设计意图 引导学生对比等差数列和等比数列的异同，有效沟通新旧知识的内在联系，为引出等比数列的定义做铺垫.

问题4 类比等差数列的定义，你能给等比数列下定义吗？

师生活动：教师在课堂上点名，要求学生阐述等差数列的概念，并通过PPT展示其定义. 随后，教师引导学生运用类比的方式进行推理和总结. 最终，教师对学生的归纳进行点评，并正式给出等比数列的定义.

设计意图 通过类比让学生感悟数学知识间的内在联系，培养学生观察问题、分析问题的能力. 同时，引导学生经历思考、交流、归纳等学习过程，帮助学生突破本节课的重难点问题，提高学生的自主学习能力[1]. 另外，教学中教师引导学生用数学语言进行归纳总结，让学生深刻体会数学语言的严谨性和简洁性. 这样不仅能够提高学生的归纳概括能力，还能增强他们的语言表达能力，进而提升他们的数学素养.

问题5 对于下列三个等比数列，请分别说一说它们的首项是什么、公比是什么. （教师又给出问题2中的三个数列让学生进一步观察、分析）

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

师生活动：问题提出后，教师点名让基础稍显薄弱的学生来回答.

设计意图 借助练习了解学生对等比数列首项、公比等概念的掌握情况，从而为接下来研究等比数列的通项公式提供知识准备.

问题6 下列数列是否为等比数列？如果是，请给出它的首项和公比;如果不是，请说一说你的理由.

（1）243，81，27，9，…;

（2）1，-，，-，…;

（3）1，0，1，0，…;

（4）2，2，2，2，….

师生活动：教师先让学生独立辨析，然后组织学生集中讨论，最后总结归纳出如下结论. ①在等比数列中，每一项和公比q都不为0;②求公比q必须是后一项除以前一项;③若数列{a}的公比q=1，则{a}不仅是等比数列，还是等差数列和常数数列.

设计意图 通过实例进行思考和辨析，进一步加深学生对等比数列定义的理解. 同时，在此过程中，教师通过特例引导学生进行归纳总结，明确一个数列是等比数列的限定条件，从而提高学生发现问题和解决问题的能力，并培养他们思维的严谨性和深刻性.

情境2 年初，小明的妈妈在一家银行存入了一万元人民币作为定期存款，存款期限定为一年，年利率为1.9%. 请问当存款期满时，小明的妈妈可以提取多少钱？如果次年本金和利息自动续存（年利率不变），那么10年后，小明的妈妈能够提取多少钱？（只列式子不计算）

设计意图 以生活情境为背景，让学生体验数学与日常生活的紧密联系，引导他们利用新知解决问题，从而培养学生的数学应用意识，并提高他们分析和解决问题的能力.

3. 深入探究，应用巩固

问题7 试猜想下列等比数列的通项公式.

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

师生活动：教师先让学生猜想，然后引导学生回顾等差数列通项公式的推导过程，以此引发学生推导等比数列通项公式的热情. 学生通过合作探究，得到以下推导过程：=q，=q，=q，…，将各式左右相乘，得···…·=qn-1，所以等比数列的通项公式为a=aqn-1. 在推导出等比数列的通项公式之后，教师指导学生运用该公式表达上述等比数列的通项，并鼓励他们对比自己的解答与先前的假设. 该过程旨在让学生深刻体验数学建模的实际优势，并激发他们对数学建模的兴趣和意识.

设计意图 引导学生亲历观察、猜想、类比等过程，推导等比数列的通项公式，从而培养他们的推理能力和合作意识.

问题8 类比等差数列的中项及其公式，你有什么发现？

师生活动：教师利用特例引导学生观察、交流和归纳，使学生得到等比数列中项的定义及其公式.

设计意图 通过类比探究，培养学生的推理与总结归纳能力，引导他们以发展的眼光分析问题，从而增强其数学思维能力.

4. 课堂练习，加深理解

为了进一步加深学生对等比数列及其通项公式的理解，教师从教学实际出发，设计以下练习：

（1）已知等比数列的第3项是12，第4项是18，求该数列的第1项和第2项;

（2）已知等比数列的首项是1，公比是3，求该数列的第6项及通项;

（3）在等比数列{a}中，已知a=3，q=2，a=24，求n;

（4）在等比数列{a}中，已知a=6，a=48，求a，q和a;

（5）对于情境2，请问第15年可取多少钱？你能写出它的通项公式吗？

师生活动：教师鼓励学生独立完成问题解答，并展示他们的思考过程. 解答完毕后，教师指导学生归纳总结，明确通项公式中各个变量的含义，并体会方程思想方法的实际应用.

设计意图 指导学生运用等比数列的通项公式来解决实际问题，深化他们对等比数列通项公式的掌握，体会方程思想方法的重要性，从而提高学生的思维品质.

5. 课堂小结，升华认知

问题9 通过本节课的学习，你有哪些收获？

设计意图 教师激励学生以小组合作的形式进行探索性学习，整理相关知识和思维策略，以此培养他们的表达技巧和总结概括能力.

教学思考

1. 精心设计，落实素养

新课标强调，高中数学教师不仅要关注学生对知识和技能的掌握情况，更要关注学生的数学能力和思维能力的发展情况;不仅要让学生学会知识，更重要的是要让学生会学知识，促进学生数学核心素养的落实[2]. 因此，在高中数学教学中，教师应结合教学内容设计教学情境，引导学生经历知识生成的过程，从而落实“四基”、发展“四能”，提升数学学科核心素养. 实际上，从数学学科核心素养要素的视角来审视等比数列知识的教学，我们可以发现，在问题驱动下，学生进行思考时，往往伴随着对等比数列相关知识的关注. 这些知识中许多与现实生活紧密相连，因此，它们可以作为培养学生数学抽象素养的有效载体. 在构建和理解等比数列的过程中，学生的思维参与至关重要，这自然促进逻辑推理素养的发展. 当学生借助数学语言去理解、表达和应用等比数列时，他们的数学建模能力能得到有效的提升. 此外，等比数列的学习和应用所涉及的数学运算，为数学学科核心素养的实践提供了坚实的基础.

2. 以生为主，提升能力

学生是课堂教学的主体，因此教学中需要预留充足的时间让学生独立思考和合作探究，从而培养学生良好的思维品质，提高他们的数学能力. 在本节课教学中，教师从学生现有认知水平出发，精心设计问题，充分调动学生参与课堂的积极性，让学生在解决问题的过程中获得知识、提升技能、发展素养. 在多个教学案例研究的过程中，笔者均发现，核心素养的培养必须以学生为中心，确保学生真正成为教学的主体. 只有当教学以学生为主体时，才能清晰地梳理教学逻辑，并确保教师精心准备的教学内容有效地转化为学生的素养和能力. 因此，坚持“以生为主”去提升能力，就可以奠定核心素养发展的基础.

总之，在高中数学教学中，教师应学会从学生的角度思考和提出问题，引导学生经历观察、思考、交流、归纳等过程，鼓励学生类比探究，让学生在获得知识的同时，建构知识体系，提高逻辑推理、归纳概括、数学迁移等能力和素养，从而促进全面发展.

参考文献：

[1] 李永永.将数学核心素养渗透于概念教学中：以“排列”的概念教学为例[J]. 数学教学通讯，2022（18）：31-32.

[2] 缪勇. 提升高中数学教学有效性的方法[J]. 试题与研究，2022（24）：23-25.