基于问题导向的高中数学教学实践与思考

[摘 要] 问题导向教学，作为一种创新的教育方法，着重于通过提问激发学生的数学学习兴趣，培养学生独立思考的能力，促进学生主动学习. 在高中数学教学实践中，教师可以将教学内容融入问题探究中，让学生通过解决问题深化对知识的理解，提高学习效率，培养思维品质.

[关键词] 问题导向教学;问题探究;学习效率

作者简介：陈李志（1972—），本科学历，一级教师，从事高中数学教学与研究工作.

随着新课改的不断推进，高中数学教学方法也在不断发生变化. 如何通过恰当的教学方法激发学生在数学学习中主动探索，并培养他们将知识应用于实践的能力，这不仅挑战着教师对《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称新课标）的深刻理解，也考验着教师在教学现场的实践技巧. 笔者认为，在实施新课标的过程中，我们既要致力于将新课标所规定的普通高中数学课程的核心要素与日常教学紧密融合，同时也要坚持保留传统数学教学中有价值的成分. 这样，我们才能在继承与创新的平衡中，有效地落实核心素养. 笔者在研究过程中发现，传统的高中数学教学非常注重问题的设计和提出，这种做法在教学实践中具体体现为一种问题导向的教学模式. 与传统的问题导向教学不同，新课标背景下的问题导向教学着重强调“以生为本”的教学理念，通过问题优化数学课堂，确保问题在激发学生学习兴趣、提高自主学习能力等方面发挥关键作用. 实际上，正是因为问题导向教学方法具有其独特的优势，它在教学领域得到了广泛的应用. 在教学“函数的单调性”时，可以采取问题导向教学方法，培养学生在概念形成阶段发现、探究和解决数学问题的能力，进而促进其数学学科核心素养的发展.

教学分析

1. 内容分析与学情分析

函数的单调性，作为函数四大基本性质之一，不仅是对函数概念等知识的延续和拓展，而且又是研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数单调性的基础. 它在求解函数值域、最值以及比较数的大小等方面具有广泛的应用. 探究函数单调性的过程，展现了数形结合、归纳与转化以及从特殊到一般等数学思想方法. 这些思想方法对于培养学生的数学能力以及提高他们的数学素养具有深远的影响. 通过本课程的学习，不仅可以加深学生对函数本质的理解，而且能为深入研究函数的其他性质打下基础.

在深入分析学情之前，先来探讨学生对函数单调性的理解. 大多数学生在学习函数的单调性时，常常会感到困惑. 他们难以理解为何函数的变化要用“单调性”这一术语来描述. 这表明，在教学过程中，恰当地引入函数单调性概念的时机至关重要. 深入探究学生的学习状况揭示，面对函数图象时，学生往往能够运用其几何直觉，辨识出函数图象的变化特征，并且认识到这些特征在不同区间具有差异性. 学生的这种直观理解构成了函数单调性学习的基础. 在实际教学中，教师应当通过问题激发学生的这些认识，确保问题能够有效地引导学生构建思维和知识体系.

2. 教学目标

（1）理解并掌握函数单调性的概念，能够运用函数单调性的定义来证明函数的单调性.

（2）感悟数形结合、特殊与一般、归纳与转化等思想方法的价值，提高观察能力、分析归纳能力，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.

3. 教学重点和难点

（1）掌握函数单调性的概念，深刻理解函数单调性的本质;

（2）用函数单调性的定义来证明函数的单调性.

教学过程

1. 创设情境，引入概念

问题1 观察图1、图2，它所反映的是相应函数的哪些变化规律？

师生活动：在教师的启发和指导下，学生通过观察、交流提出“随着x的增大，y随之变化”.

设计意图 借助图象让学生直观感知随着x的增大，y增大或减小，激发学生的探究热情，为新课程的顺利导入做好准备. 该设计实际上是在前述学习分析的基础上构建的. 在这一阶段，学生的直觉感知构成了问题导向学习的基础. 提供两个图象的目的在于引导学生通过对比，理解函数图象所展示的变化特性与自变量取值范围之间的联系. 通过构建这样的认识，并在“观察图象”和“识别函数变化规律”等活动下提出问题，可以激发学生在问题驱动下激活思维，探究函数单调性.

问题2 请画出函数y=x2的图象，观察图象的变化规律，并用数学语言加以描述.

师生活动：引导学生通过“列表—描点—连线”绘制函数图象，并借助表格和图象进行分析. 学生通过互动交流达成共识：在（-∞，0）上，随着x的增大，y减小;在（0，+∞）上，随着x的增大，y增大.

设计意图 通过动手实践、动眼观察和动脑思考，学生能够深刻理解随着x的增大，y增大或减小的特性，为理解增函数和减函数的概念打下基础. 之所以鼓励学生运用数学语言来阐述他们的发现，目的在于通过问题的引导，促使学生在问题的驱动下，将他们用日常语言表述的直觉理解，转变为用数学语言精确表达的深刻认识.

2. 观察归纳，形成概念

问题3 构成图象的基本要素有哪些？它们与图象的变化之间存在怎样的联系？

学生活动：学生通过交流，明确构成函数图象的基本要素是点，而观察函数图象的实质，即观察这些点的变化.

问题4 如何刻画函数图象的运动变化呢？

学生活动：有了问题3的铺垫，学生很容易想到利用动点（x，y）来刻画函数图象的运动变化.

问题5 用几个点来刻画函数图象最为合适？一个点？两个点？三个点？……

师生活动：学生通过交流发现，若仅使用一个点，就缺乏对比，难以展现图象变化的特性;而使用三个点，则它们之间的变化过于复杂. 因此，最终确定使用两个点来刻画图象的运动变化.

设计意图 通过环环相扣的问题引导学生分析引发函数图象变化的实质，由此明确利用动点刻画图象变化的合理性. 另外，教师引导学生对比分析，发现若选择两个点来刻画图象的运动变化，不仅可以比较，而且不会太复杂. 经过上述分析过程，为接下来使用定义法来证明函数单调性奠定了基础.

问题6 动点（x，f（x））和（x，f（x））中，随着x，x的变化，其纵坐标f（x）和f（x）也随之变化，这样用数值来刻画图象的运动变化比较困难，如何解决呢？

师生活动：学生通过交流和争论，一致认为固定两个动点的横坐标——固定x，x，即令xx，就可以比较f（x）和f（x）的大小，从而知晓函数图象的变化趋势.

设计意图 从学生已有的知识和经验出发，让他们理解用变化的数值来刻画图象的运动变化比较困难，由此自然而然地引发学生思考如何将坐标固定下来，以便更深入地掌握函数单调性的概念.

问题7 对于x，x的取值，除了令xx外，还有其他要求吗？

学生回答道：x，x是定义域的元素，用字母D表示，即x，x∈D.

问题8 任取x，x∈D，且xx，其对应的函数值存在怎样的关系？又该如何刻画呢？

师生活动：学生通过交流得知，若在区间范围内都有f（x）f（x），则说明在该区间范围内，随着自变量x的增大，f（x）逐渐增大;反之，在该区间范围内都有f（x）f（x），则说明在该区间范围内，随着自变量x的增大，f（x）逐渐减小. 在教师的指导下，学生学会利用数值来刻画函数递增或递减的性质.

问题9 基于以上分析，你能否提供增函数的定义？

师生活动：学生负责整理和归纳知识点，而教师则在此基础上进行补充和完善. 随后，教师利用PPT展示增函数的定义. （定义内容略）

追问：根据增函数的概念，你能否提供减函数的定义？

学生活动：学生通过类比增函数的定义，轻松提出减函数的定义. （定义内容略）

问题10 讨论分析增函数和减函数的定义，说说定义中的关键词有哪些.

师生活动：教师在PPT中呈现增函数和减函数的定义，引导学生进行观察、分析和交流. 学生从中抽象出以下关键词：定义域、区间、任意、都有.

追问：你是如何理解这些关键词的？

师生活动：教师创造机会鼓励学生积极表达自己的观点，随后师生共同参与讨论，从而更深入地理解增函数和减函数的定义.

设计意图 通过引导学生自主探究，帮助他们归纳并总结增函数和减函数的形式化定义，从而让学生领略数学的简洁之美和严谨之美. 在此过程中，一旦学生掌握了定义，教师应进一步引导他们提炼并深入分析定义中的关键词. 这样的做法有助于学生准确且深刻地理解增函数和减函数的定义，培养他们思维的严谨性和深度，同时提升他们的数学抽象思维和归纳概括能力. 上述问题构成了一个连贯的问题链，旨在逐步引导学生的思维不断深化. 在这一过程中，学生能够从直观感受出发，逐渐过渡到理性分析，即在数形结合的框架下，将通过函数图象获得的直观感受转化为用数学语言，特别是集合语言表达的理性理解. 这种认识的提升过程表明，学生在经验积累的基础上，形成了关于函数单调性的数学智慧. 这种智慧不仅支撑了对函数单调性知识体系的构建，而且为数学学科核心素养的发展奠定了基础.

3. 应用举例，深化概念

例1 图3是函数y=f（x）在[-5，5]上的图象. 请结合图象分析函数y=f（x）的单调区间，并阐述在每个单调区间内，函数y=f（x）是增函数还是减函数.

学生活动：学生通过直观观察确定函数y=f（x）的单调区间为[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，其中，在[-5，-2]，[1，3]上是减函数，在[-2，1]，[3，5]上是增函数.

设计意图 通过直观观察，进一步加深学生对函数单调性的理解，并锻炼他们的数学表达技巧.

例2 判断下列命题的真假：

（1）如果对于区间（0，+∞）上任意x，都有f（x）>f（0），那么函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数;

（2）x，x，x在区间（a，b）上，且当xxx时，f（x）f（x）f（x），则函数f（x）在（a，b）上是增函数.

师生活动：教师鼓励学生利用画图或举例的方式来阐释. 对于第（1）问，忽视了“任意两个”这一关键条件，在区间内选取单一值是不足以进行比较的，因此无法讨论函数的单调性;对于第（2）问，忽视了“都有”这一关键条件，即便在区间内取多个值，也无法确保函数的单调性.

设计意图 通过深入的思考和辨析，加深学生对“任意两个”和“都有”等关键条件的理解，从而深化他们对函数单调性概念的认识，并提升他们的思辨能力.

例3 物理学中的玻意耳定律为P=（其中k为正常数），即对于一定质量的气体，在温度不变时，体积V减小，其压强P增大. 请用函数的单调性加以证明[1].

师生活动：教师先安排时间让学生独立思考，随后引导学生集体完成证明过程. 具体证明过程如下：

设V，V是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且VV，则P（V）-P（V）=-=k·，V，V∈（0，+∞），VV>0. 由VV，得V-V0. 又k>0，所以P（V）-P（V）>0，即P（V）>P（V）. 所以，函数P=（V∈（0，+∞））是减函数. 也就是说，对于一定质量的气体，在温度不变时，体积V减小，其压强P增大.

设计意图 通过例题的讲解和方法步骤的归纳，进一步加深学生对函数单调性的理解，提高学生应用知识解决问题的能力.

4. 总结反思，提高认识

问题11 本节课主要学习了哪些内容？你有哪些收获？还存在哪些问题？

师生活动：教师安排时间让学生回顾、反思和交流，随后鼓励学生进行互动和展示.

设计意图 通过总结和反思，进一步深化学生对相关知识和思想方法的理解，丰富其知识储备，并优化其认知结构，致力于提升学生的认知水平.

总之，在高中数学教学中，尤其在概念教学中，教师需认真分析教学内容和学情，结合教学实际创设有效的问题，以充分激发学生的主体性，有效提高学生的学习积极性，使学生明白“学习的内容”，掌握“学习的方法”以及“达到的学习深度”，从而提升他们的数学能力和数学素养.

参考文献：

[1] 王征国.再谈初高中数学的衔接教学，发展学生的数学核心素养：以高一《函数的单调性》教学为例[J].课程教育研究，2018（21）：150-151.